2024-2025学年高一数学月考446

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024-2025学年高一数学月考446考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：100分钟；命题人：WNNwang02学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、若函数则的值域是

(

)A.B.C.D.2、【题文】函数的定义域是（

）A.B.C.D.3、【题文】若，则满足集合的个数为（

）A.1个B.2个C.3个D.4个4、【题文】一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能是（

）

5、【题文】高为的四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（

）A.B.C.D.6、若=，则的值为（

）A.﹣B.C.2D.﹣27、对实数和，定义运算“”：，设函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是()

A.B.C.D.评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)8、科技周活动中，数学老师展示出一个数字迷宫：将自然数1，2，3，4，…排成数阵，在2处转第1个弯，在3处转第2个弯，在5处转第3个弯，…，则第100个弯处的数是

．

9、已知

，则向量在向量方向上的投影的值为

_

．

10、计算：2log510+log50.25=

；

+=

．11、已知幂函数f（x）=xα图象过点，则f（9）=______．12、执行如图所示程序框图所表达的算法，若输出的x值为48，则输入的x值为______评卷人得分三、解答题(共6题，共12分)13、已知圆M：x2+y2-4x-8y+m=0与x轴相切．

（1）求m的值；

（2）求圆M在y轴上截得的弦长；

（3）若点P是直线3x+4y+8=0上的动点，过点P作直线PA、PB与圆M相切，A、B为切点．求四边形PAMB面积的最小值．

14、（本题满分15分）已知集合M={1，2，3，4，5}，.（1）用列举法表示集合；(2)设N是M的非空真子集，且时，有，试写出所有集合N；(3)已知M的非空子集个数为31个，依次记为，分别求出它们各自的元素之和，结果依次记为，试计算：的值.

15、【题文】在锐角△ABC中，已知a、b、c分别是三内角A、B、C所对应的边长，且b=2asinB．

（1）求角A的大小；

（2）若b=1，且△ABC的面积为，求a的值．16、已知平面内两点A（8，-6），B（2，2）．

（1）求AB的中垂线l的方程；

（2）一束光线从B点射向y轴，若反射光线恰好经过点A，求反射光线所在的直线方程．17、已知：圆C过点A（6，0），B（1，5）且圆心在直线l：2x-7y+8=0上，求圆C的方程．18、如图，△ABC

中，sin∠ABC2=33

，AB=2

，点D

在线段AC

上，且AD=2DC

，BD=评卷人得分四、作图题(共4题，共24分)19、作出函数y=的图象．20、画出计算1+++…+的程序框图．21、以下是一个用基本算法语句编写的程序，根据程序画出其相应的程序框图．

22、已知简单组合体如图，试画出它的三视图（尺寸不做严格要求）

评卷人得分五、证明题(共3题，共24分)23、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．24、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点，弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．25、初中我们学过了正弦

余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°，根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b，BC=a

（1）用b，c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．评卷人得分六、综合题(共4题，共28分)26、已知：甲、乙两车分别从相距300（km）的M、N两地同时出发相向而行，其中甲到达N地后立即返回，图1、图2分别是它们离各自出发地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象．

（1）试求线段AB所对应的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（2）当它们行驶到与各自出发地距离相等时，用了（h），求乙车的速度；

（3）在（2）的条件下，求它们在行驶的过程中相遇的时间．27、如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．

（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？

（2）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．28、已知抛物线y=-x2+2mx-m2-m+2．

（1）判断抛物线的顶点与直线L：y=-x+2的位置关系；

（2）设该抛物线与x轴交于M、N两点，当OM•ON=4，且OM≠ON时，求出这条抛物线的解析式；

（3）直线L交x轴于点A，（2）中所求抛物线的对称轴与x轴交于点B．那么在对称轴上是否存在点P，使⊙P与直线L和x轴同时相切？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．29、已知抛物线y=ax2-2ax+c-1的顶点在直线y=-上，与x轴相交于B（α，0）、C（β，0）两点，其中α＜β，且α2+β2=10．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设这个抛物线与y轴的交点为P，H是线段BC上的一个动点，过H作HK∥PB，交PC于K，连接PH，记线段BH的长为t，△PHK的面积为S，试将S表示成t的函数；

（3）求S的最大值，以及S取最大值时过H、K两点的直线的解析式．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、C【分析】,所以其值域为.

【解析】【答案】C2、C【分析】【解析】

试题分析：由得：，所以选C.

考点：函数的定义域及解不等式.【解析】【答案】C3、C【分析】【解析】因为集合A中至少有a,b,两个元素，同时最多不能为4个元素，那么符合题意的集合有

{a,b},{a,b,c},{a,b,d},有三个，选C【解析】【答案】C4、D【分析】【解析】考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D。【解析】【答案】D5、A【分析】【解析】

试题分析：由题意可知ABCD是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，推出高就是四棱锥的一条侧棱，最长的侧棱就是球的直径，然后利用勾股定理求出底面ABCD的中心与顶点S之间的距离．

解：由题意可知ABCD是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，球的直径为2，所以四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径，所以底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为：=

故选A

点评：本题是基础题，考查球的内接多面体的知识，能够正确推出四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径是本题的关键，考查逻辑推理能力，计算能力．【解析】【答案】A6、D【分析】【解答】解：∵==，

∴2tanα+2=tanα﹣1，即tanα=﹣3，

则===．

故选：D．

【分析】已知等式左边分子分母同除以cosα，利用同角三角函数间的基本关系化简求出tanα的值，所求式子利用同角三角函数间的基本关系化简后，把tanα的值代入计算即可求出值．7、A【分析】【解答】由题意知：，画出函数的图像，由图像可知；要使函数恰有两个不同的零点，的范围为。

【分析】函数的零点、对应方程的根、函数图像的交点，三者可以转化。本题就是把“函数恰有两个不同的零点”转化为“函数和函数有两个不同的交点”来做的，体现了转化与化规的数学思想，以及数形结合的数学思想。二、填空题(共5题，共10分)8、略

【分析】

观察由1起每一个转弯时增加的数字，

可发现为“1，1，2，2，3，3，4，4，…”，

即第一、二个转弯时增加的数字都是1，

第三、四个转弯时增加的数字都是2，

第五、六个转弯时增加的数字都是3，

第七、八个转弯时增加的数字都是4，

…

故在第100个转弯处的数为：

1+2（1+2+3+…+50）

=1+2=2551．

故答案为：2551．

【解析】【答案】由图表观察可得：由1起每一个转弯时增加的数字可发现为“1，1，2，2，3，3，4，4，…”，由此结合等差数列的求和公式能求出在第100个转弯处的数．

9、略

【分析】设的夹角，则向量在向量方向上的投影的值为。

【解析】【答案】310、略

【分析】

2log510+log50.25

=log5100+log50.25

=log525

=2．

+

=[（）2]+[（）3]

=（）-1+（）2

=+

=．

故答案为：2，．

【解析】【答案】利用对数的运算法则和运算性质，把2log510+log50.25等价转化为log5100+log50.25，由此能求出结果．

利用指数的运算法则和运算性质，把+等价转化为[（）2]+[（）3]，由此能求出结果．

11、略

【分析】解：∵幂函数f（x）=xα图象过点，

∴f（）==2，解得α=2，

∴f（x）=x2，

∴f（9）=92=81．

故答案为：81．

由已知先求出f（x）=x2，由此能求出f（9）．

本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数的性质的合理运用．【解析】8112、略

【分析】解：∵设输出的x值为k，

当n=1时，满足进行循环的条件，执行循环体后，x=2k，n=2，

当n=2时，满足进行循环的条件，执行循环体后，x=4k，n=3，

当n=3时，满足进行循环的条件，执行循环体后，x=8k，n=4，

当n=4时，不满足进行循环的条件，

故输出结果为：8k=48，

解得：k=6，

故输入的x值为6，

故答案为：6

由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．【解析】6三、解答题(共6题，共12分)13、略

【分析】

（1）令y=0，有x2-4x+m=0，由题意知，△=16-4m=0，∴m=4

即m的值为4．…（4分）

（2）设⊙M与y轴交于E（0，y1），F（0，y2），令x=0有y2-8y+4=0①，

则y1，y2是①式的两个根，则|y1-y2|==4．

所以⊙M在y轴上截得的弦长为．…（9分）

（3）由题意知：SPAMB=2S△PAM=2×=4PB=4，…（10分）

∵PM的最小值等于点M到直线3x+4y+8=0的距离…（11分）

∴=6…（12分）

∴=，即四边形PAMB的面积的最小值为．…（14分）

【解析】【答案】（1）令y=0，利用△=0，即可求m的值；

（2）令x=0，求出圆M在y轴上的两个交点的纵坐标之差的绝对值，即可求弦长；

（3）由题意知：SPAMB=2S△PAM=2×=4PB=4，利用PM的最小值等于点M到直线3x+4y+8=0的距离，即可求得结论．

14、略

【分析】【解析】试题分析：(1)要注意集合A中的元素是M中不属于L的元素.显然是L相对于M的补集.（2）N是M的非空真子集，然后从真子集当中选出时，有即可.据此可找出满足条件的N有：(3)因为在所有的真子集中，每个元素出现的次数均为,所以所有集合中元素的和为.（1）……（2）单元子集是,两个元素的子集有……集合还有：.

……（3）在所有的真子集中，每个元素出现的次数均为

故

…….考点：集合的补运算，集合的元素的性质.【解析】【答案】（1）；（2）单元子集是,两个元素的子集有集合还有：.（3）在所有的真子集中，每个元素出现的次数均为

15、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）根据正弦定理可直接推倒得出。（2）由面积公式可得边的长，用余弦定理可得边长。

试题解析：解：由及正弦定理得

3分

又为锐角，所以

6分

（2）由△ABC的面积为得

8分

又

，，∴

11分

由余弦定理得

∴

14分

考点：1正弦定理；2余弦定理。【解析】【答案】（1）（2）16、略

【分析】

（1）求出AB的中点坐标、AB的斜率，即可求AB的中垂线l的方程；

（2）求出B关于y轴对称点的坐标，即可求反射光线所在的直线方程．

本题考查直线方程，考查学生的计算能力，比较基础．【解析】解：（1）AB的中点坐标为（5，-2），AB的斜率为=-，

∴AB的中垂线l的方程y+2=（x-5），即3x-4y-23=0；

（2）B关于y轴对称点的坐标为（-2，2），

∴反射光线所在的直线方程为，即4x+5y-2=0．17、略

【分析】

用点斜式求出AB的垂直平分线方程，把它和直线l联立方程组，求出圆心坐标，可得半径，从而求得圆C的方程．

本题主要考查用点斜式求直线方程，直线和圆相交的性质，求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于基础题．【解析】解：求出AB中点为（，），AB的斜率为=-1，可得AB的垂直平分线的斜率为1，

故AB的垂直平分线方程为y-=1×（x-），即x-y-1=0．

联立方程组，故圆心坐标为（3，2），

求出半径，故圆C的方程为（x-3）2+（y-2）2=13．18、略

【分析】

(

Ⅰ)

由sin∠ABC2

的值，利用二倍角的余弦函数公式即可求出cos∠ABC

的值，设BC=a

，AC=3b

，由AD=2DC

得到AD=2b

，DC=b

，在三角形ABC

中，利用余弦定理得到关于a

与b

的关系式，记作①

，在三角形ABD

和三角形DBC

中，利用余弦定理分别表示出cos∠ADB

和cos∠BDC

，由于两角互补，得到cos∠ADB

等于−cos∠B【解析】解：(

Ⅰ)

因为sin∠ABC2=33

，所以cos∠ABC=1−2sin2∠ABC2=1−2×13=13

．

在△ABC

中，设BC=a

，AC=3b

，

由余弦定理可得：9b2=a2+4−43a①

在△ABD

和四、作图题(共4题，共24分)19、【解答】图象如图所示

【分析】【分析】描点画图即可20、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题意，设计的程序框图时需要分别设置一个累加变量S和一个计数变量i，以及判断项数的判断框．21、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题目中的程序语言，得出该程序是顺序结构，利用构成程序框的图形符号及其作用，即可画出流程图．22、

解：几何体的三视图为：

【分析】【分析】利用三视图的作法，画出三视图即可．五、证明题(共3题，共24分)23、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置，考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1，设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC、BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上，

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖，命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．24、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=，代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F，求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC，

∴∠BAD=∠CAD，

∴，

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F，

∵=，=，

∴BA=BC，

∴F为AC中点，

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，

由勾股定理得：BF==CF，

∴tan．

答：tan的值是．25、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E，根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E，

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β），

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD，

∵AD⊥BC，

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD，

∴sin（α+β）=，

=+，

=sinαcosβ+cosαsinβ．六、综合题(共4题，共28分)26、略

【分析】【分析】（1）首先设线段AB所表示的函数的解析式为y=kx+b，根据题意知道函数经过（3，300），（，0）两点，利用待定系数法即可确定函数的解析式和自变量的取值范围；

（2）首先可以判定x=在3＜x≤中，然后把x=代入（1）的函数解析式y=-80x+540中可以求出甲所走的路程，同时也知道了乙的路程，最后利用速度公式即可求解；

（3）首先确定依有两次相遇，①当0≤x≤3时，100x+40x=300，②当3＜x≤时，（540-80x）+40x=300，分别解这两个方程即可求解．【解析】【解答】解：（1）设线段AB所表示的函数的解析式为y=kx+b，

把（3，300），（，0）代入其中得，

解之得，

∴线段AB所表示的函数解析式为y=-80x+540，

自变量的取值范围为3＜x≤；

（2）∵x=在3＜x≤中，

∴把x=代入（1）的函数解析式y=-80x+540中，

得y甲=180，

∴乙车的速度为180÷=40km/h；

（3）依题意有两次相遇，

①当0≤x≤3时，100x+40x=300，

∴x=，

②当3＜x≤时，（540-80x）+40x=300，

∴x=6，

∴当它们行驶了小时和6小时时两车相遇．27、略

【分析】【分析】（1）设△ABC的边AB上的高为h，由三角形的面积公式即可得出=，=，再由点D为边AB的黄金分割点可得出=，故可得出结论；

（2）由DF∥CE可知△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等，故S△DEC=S△FCE，设直线EF与CD交于点G，由同底等高的三角形的面积相等可知S△DEG=S△FEG，故可得出S△ADC=S四边形AFGD+S△FCG=S△AEF，再由S△BDC=S四边形BEFC，再由=可知=，故直线EF也是△ABC的黄金分割线．【解析】【解答】解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：

设△ABC的边AB上的高为h．

∵S△ADC=AD•h，S△BDC=BD•h，S△ABC=AB•h，

∴=，=，

又∵点D为边AB的黄金分割点，

∴=，

∴=，

∴直线CD是△ABC的黄金分割线；

（2）∵DF∥CE，

∴△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等，

∴S△DEC=S△FCE，

设直线EF与CD交于点G，

∴S△DEG=S△FCG，

∴S△ADC=S四边形AFGD+S△FCG=S四边形AFGD+S△DGE=S△AEF，

S△BDC=S四边形BEFC，．

又∵=，

∴=，

∴直线EF也是△ABC的黄金分割线．28、略

【分析】【分析】（1）根据抛物线y=-x2+2mx-m2-m+2=-（x-m）2-m+2，得出顶点坐标代入一次函数解析式即可；

（2）利用已知得出x1x2=m2+m-2，|m2+m-2|=4，进而求出m的值，再利用根的判别式得出m的取值范围，进而求出；

（3）分别利用点P1到直线L的距离P1Q1为a，以及点P2到直线L的距离P2Q2为b求出即可．【解析】【解答】解：（1）由抛物线y=-x2+2mx-m2-m+2=-（x-m）2-m+2，

得顶点坐标为（m，-m+2），显然满足y=-x+2

∴抛物线的顶点在直线L上．

（2）设M（x1，0），N（x2，0），且x1＜x2．

由OM•ON=4，OM≠ON，得|x1•x2|=4．

∵x1x2=m2+m-2，∴|m2+m-2|=4．

当m2+m-2=4时，m1=2，m2=-3

当m2+m-2=-4时，△＜0，此方程无解，

∵△1=（2m）2-4（m2+m-2）=-4m+8=-4m+8＞0．

∴m＜2．

故取m=-3．

则抛物线的解析式为y=-x2-6x-4．

（3）抛物线y=-x2-6x-4的对称轴为x=-3，顶点（-3，5）．

依题意，∠CAB=∠ACB=45°．

若点P在x轴的上方，设P1（-3，a）（a＞0），

则点P1到直线L的距离P1Q1为a（如图），

∴△CP1Q1是等腰直角三角形．

∴，．

∴P1（-3，5．

若点P在x轴的下方，设P2（-3，-b）（b＞0），

则点P2到直线L的距离P2Q2为b（如图），

同理可得△CP2Q2为等腰直角三角形，

∴，．

∴P2（-3，．

∴满足条件的点有两个，

即（-3，）和（-3，）．29、略

【分析】【分析】（1）把顶点A的坐标代入直线的解析式得出c=a+，根据根与系数的关系求出c=