2024-2025学年广东省广州市三校高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省广州市三校高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知z1=(a+1)−2i为纯虚数，则z2=a+iA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.在2ℎ内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是(

)A. B.

C. D.3.设全集U=R，集合A={x|2x>1}，B={x|y=ln(2−x)}，则图中阴A.(0,+∞)

B.(0,2)

C.[2,+∞)

D.(−∞,0)∪[2，+∞)4.设α∈(0,π2)，β∈(0,π2)A.3α−β=π2 B.3α+β=π2 C.5.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1BA.−12a+12b+c6.已知点M(3,0)关于直线x−y−1=0的对称点为P，经过点P作直线l，若直线l与连接A(−7,1)，B(5,8)两点的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为(

)A.[18,32] B.(−∞,7.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)，B(0,4).若直线2x−y+c=0上存在点P，使得PB=2PA，则实数c的取值范围是(

)A.(−5,5) B.[−8.已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，对任意x、y满足f(x−y)=f(x)g(y)−g(x)f(y)，且f(−2)=f(1)≠0，则下列说法正确的是(

)A.f(0)=1 B.函数g(2x+1)的图象关于点(1,0)对称

C.g(1)+g(−1)=0 D.若f(1)=1，则n=1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.对任意实数a，b，c，下列命题中正确的是(

)A.“a>b”是“1a<1b”的充要条件

B.“ab是无理数”是“a，b都是无理数”的既不充分也不必要条件

C.“a>b”是“a2>b210.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点(4π3A.φ=π3 B.直线x=5π6是曲线y=f(x)的对称轴

C.f(x)在区间(π12,11.两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM=BN=a(0<a<2).A.MN/​/平面BCE

B.三棱锥F−ACE的外接球的表面积为12π

C.当MN的长最小时，平面MNA与平面MNB夹角的余弦值13

D.当MN的长最小时，直线CE到平面MNB的距离三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.2023年6月4日神舟十五号载人飞行任务取得圆满成功，费俊龙、邓清明、张陆这三位航天员在空间站上工作了186天，此次神舟十五号载人飞船返回，是我国空间站转入应用与发展阶段后的首次返回任务，掀开了中国航天空间站的历史新篇章.为科普航天知识，某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，m，若去掉m，该组数据的第25百分位数保持不变，则整数m(1≤m≤10)的值可以是

(写出一个满足条件的m值即可)．13.圆x2+y2=8内有一点P0(−1,2)，过点P0的直线与圆交于AB两点，且弦14.已知函数f(x)=log12(1−x),−1≤x≤n22−|x−1|−3,n<x≤m的值域是四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在一个盒子中有2个白球，3个红球，甲、乙两人轮流从盒子中随机地取球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，每次取1个，取后不放回，直到2个白球都被取出来后就停止取球．

(1)求2个白球都被甲取出的概率；

(2)求将球全部取出才停止取球的概率．16.(本小题15分)

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC+3asinC−b−c=0．

(1)求A；

(2)若AD为BC边上的中线，cosB=17，AD=17.(本小题15分)

已知△ABC的三个顶点分别为A(2,0)，B(2,4)，C(4,2)，直线l经过点D(1,4)．

(1)求△ABC外接圆M的标准方程；

(2)若直线l与圆M相交于P，Q两点，且PQ=23，求直线l的方程；

(3)若E，F是圆M上的两个动点，当∠EDF最大时，求直线EF18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，

AB=1，AD=2，AC=CD=5．

(1)求证：PD⊥平面PAB；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM/​/平面PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．19.(本小题17分)

常用测量距离的方式有3种.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，定义欧几里得距离d(A,B)=(x1−x2)2+(y1−y2)2，定义曼哈顿距离m(A,B)=|x1−x2|+|y1−y2|，定义余弦距离e(A,B)=1−cos(A,B)，其中cos参考答案1.B

2.B

3.C

4.C

5.A

6.B

7.D

8.D

9.BD

10.AD

11.ACD

12.7(8,9,10均可)

13.x−2y+5=0

14.[1,2]

15.解：(1)若2个白球都被甲取出记为事件A，三种情况：

①第一次甲取出白球，第二次乙取出红球，第三次甲取出白球，结束取球，其概率为25×34×13=110；

②第一次甲取出白球，第二次乙取出红球，第三次甲取出红球，第四次乙取出红球，第五次甲取白球，

其概率为25×34×23×12×1=110；

③第一次甲取出红球，第二次乙取出红球，第三次甲取出白球，第四次乙取出红球，第五次甲取白球，

其概率为35×24×23×12×1=110；

故P(A)=110+110+110=310．

所以2个白球都被甲取出的概率为310，

(2)若将球全部取出才停止取球记为事件B，则最后一次即第5次取出的一定是白球，

四种情况：①第1次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球，

16.解：(1)由题意知，acosC+3asinC−b−c=0，

由正弦定理得：sinAcosC+3sinAsinC−sinB−sinC=0，

由sinB=sin[π−(A+C)]=sin(A+C)得，

sinAcosC+3sinAsinC−sin(A+C)−sinC=0，

则3sinAsinC−cosAsinC−sinC=0，

又sinC≠0，则3sinA−cosA=1，

化简得，2sin(A−π6)=1，即sin(A−π6)=12，

又0<A<π，所以A=π3；

(2)在△ABC中，cosB=17得，sinB=1−cos2B=417.解：(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，D2+E2−4F>0，

则4+2D+F=04+16+2D+4E+F=016+4+4D+2E+F=0，解得D=−4E=−4F=4，

则圆M的方程为x2+y2−4x−4y+4=0，

整理可得圆M的标准方程为(x−2)2+(y−2)2=4；

(2)由(1)得圆心M(2,2)，半径r=2，

又|PQ|=23，可知圆心M到直线l的距离d=r2−(|PQ|2)2=4−3=1，

当直线l斜率不存在时，直线方程为x=1，

此时圆心M(2,2)到直线l的距离为1，|PQ|=23成立；

当直线l斜率存在时，设直线l方程为y−4=k(x−1)，即kx−y−k+4=0，

圆心M(2,2)到直线l的距离d=|2k−2−k+4|k2+1=1，

解得k=−34，则直线方程为y−4=−34(x−1)，即3x+4y−19=0；

综上，直线方程为x=1或3x+4y−19=0；

(3)由D(1,4)在圆M外，当DE，DF与圆相切时(E,F不重合18.(1)证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

且AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，

∴AB⊥平面PAD，

∵PD⊂平面PAD，

∴AB⊥PD，

又PD⊥PA，且PA∩AB=A，PA、AB⊂平面PAB，

∴PD⊥平面PAB；

(2)解：取AD中点为O，连接CO，PO，

∵CD=AC=5，

∴CO⊥AD，

又∵PA=PD，

∴PO⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

且PO⊂平面PAD，

∴PO⊥平面ABCD，

以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：

则P(0,0,1)，B(1,1,0)，D(0,−1,0)，C(2,0,0)，

则PB=(1,1,−1),PD=(0,−1,−1)，PC=(2,0,−1)，

设n=(x0,y0,z0)为平面PCD的法向量，

则由n⋅PD=0n⋅PC=0，得−y0−z0=02x0−z0=0，令z0=1，则n=(12,−1,1)．

设PB与平面PCD的夹角为θ，则

sinθ=|cos<n,PB>|=|n⋅PB|n||PB||=|12−1−11419.解：(1)根据定义，可得d(A,B)=(1−2)2+(2−1)2=2，

因cos(A,B)=cos〈OA,OB〉=OA⋅OB|OA||OB|=45，

则e(A,B)=1−cos(A,B)=1−45=15；

(2)点P(x,y)在函数y=3x的图象上且x∈Z，点Q的坐标为(1,27)，

故m(P,Q)=|x−1|+|3x−27|=−3x−x+28,x≤1x−3x+26,1<x<33x+x−28,x≥3，

当x≤1时，m(P,Q)=−3x−x+28，

函数y=−3x−x+