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文档简介

椭圆的几何性质

椭圆的概念是什么？椭圆的标准方程是什么？

我们把平面内与两定点

的距离的和等于常数（大于

）的点的轨迹叫做椭圆.复习回顾

标准方程图

形椭圆的标准方程新课讲授我们利用椭圆的形状研究几何性质，包括椭圆的范围、对称性、顶点、扁平程度（离心率）等。问题一

我们容易看出椭圆上的点都在一个特定的矩形内，你能利用方程（代数方法）确定出具体边界吗？

由椭圆的标准方程

可知

所以椭圆上点的横坐标都适合不等

式

即

同理有

即这说明椭圆位于直线

和

围成的矩形框里。

问题二

观察椭圆的形状，可以发现，椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，你能利用椭圆的方程证明它的对称性吗？

在椭圆的标准方程

中，以

代

，方程不变.这说明当点

在椭圆上时，它关于

轴的对称点

也在椭圆上，所以椭圆关于

轴对称。同理，以

代

，方程不变.这说明当点

在椭圆上时，它关于

轴的对称点

也在椭圆上，所以椭圆关于

轴对称。

以

代

，以

代

，方程不变，这说明当点

在椭圆上时，它关于原点的对称点

也在椭圆上，所以椭圆关于原点对称。综上，椭圆关于

轴、

轴都是对称的.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。问题三

请同学们观察椭圆的图形，你觉得有哪些比较特殊的点，你能通过椭圆的方程得到这些点的坐标吗？

在椭圆的标准方程

中，令

得

，因此

是椭圆与

轴的两个交点。同理，令

，得

.因此

是椭圆与

轴的两个交点。因为

轴、

轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点.

线段

分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于

和,和

分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。问题四

观察下图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同.扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？

，因此

与

本质上是相关的，它们都可以刻画椭圆的扁平程度.而两者对比，

和

都来自于椭圆定义，是确定圆锥曲线的基本量，不仅能有效刻画两个焦点离开中心的程度，而且还蕴含着圆锥曲线几何特征的统一性.综上分析，我们选择了

和

这两个量来刻画椭圆的扁平程度。

椭圆

的长半轴长为

，半焦距为

.保持长半轴长

不变，改变椭圆的半焦距

，可以发现，

越接近

，椭圆越扁平.

这样，利用

和

这两个量，可以刻画椭圆的扁平程度.

我们把椭圆的焦距与长轴长的比

称为椭圆的离心率，用

表示，即

。

因为

，所以.越接近1，越接近

，

就越小，因此椭圆越扁平；反之，

越接近0，

越接近0，越接近

，这时椭圆就越接近于圆.当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为

例

求椭圆

的长轴和短轴的长、

离心率、焦点和顶点的坐标.

解：把原方程化成标准方程，得

于是例题学习

例

求椭圆

的长轴和短轴的长、

离心率、焦点和顶点的坐标.

解：因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是和

，离心率

，两个焦点坐标分别是和

，四个顶点坐标分别是

和

.

例题学习

最后我们回顾一下本节课的内容，请大家思考以下问题：

（1）本节课我们研

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