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文档简介
椭圆的几何性质
椭圆的概念是什么？椭圆的标准方程是什么？
我们把平面内与两定点
的距离的和等于常数（大于
）的点的轨迹叫做椭圆.复习回顾
标准方程图
形椭圆的标准方程新课讲授我们利用椭圆的形状研究几何性质，包括椭圆的范围、对称性、顶点、扁平程度（离心率）等。问题一
我们容易看出椭圆上的点都在一个特定的矩形内，你能利用方程（代数方法）确定出具体边界吗？
由椭圆的标准方程
可知
所以椭圆上点的横坐标都适合不等
式
即
同理有
即这说明椭圆位于直线
和
围成的矩形框里。
问题二
观察椭圆的形状，可以发现，椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，你能利用椭圆的方程证明它的对称性吗？
在椭圆的标准方程
中，以
代
，方程不变.这说明当点
在椭圆上时，它关于
轴的对称点
也在椭圆上，所以椭圆关于
轴对称。同理，以
代
，方程不变.这说明当点
在椭圆上时，它关于
轴的对称点
也在椭圆上，所以椭圆关于
轴对称。
以
代
，以
代
，方程不变，这说明当点
在椭圆上时，它关于原点的对称点
也在椭圆上，所以椭圆关于原点对称。综上，椭圆关于
轴、
轴都是对称的.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。问题三
请同学们观察椭圆的图形，你觉得有哪些比较特殊的点，你能通过椭圆的方程得到这些点的坐标吗？
在椭圆的标准方程
中，令
得
，因此
是椭圆与
轴的两个交点。同理，令
，得
.因此
是椭圆与
轴的两个交点。因为
轴、
轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点.
线段
分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于
和,和
分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。问题四
观察下图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同.扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？
，因此
与
本质上是相关的，它们都可以刻画椭圆的扁平程度.而两者对比，
和
都来自于椭圆定义，是确定圆锥曲线的基本量，不仅能有效刻画两个焦点离开中心的程度，而且还蕴含着圆锥曲线几何特征的统一性.综上分析，我们选择了
和
这两个量来刻画椭圆的扁平程度。
椭圆
的长半轴长为
，半焦距为
.保持长半轴长
不变，改变椭圆的半焦距
，可以发现，
越接近
，椭圆越扁平.
这样，利用
和
这两个量，可以刻画椭圆的扁平程度.
我们把椭圆的焦距与长轴长的比
称为椭圆的离心率，用
表示，即
。
因为
，所以.越接近1，越接近
，
就越小，因此椭圆越扁平；反之，
越接近0，
越接近0，越接近
，这时椭圆就越接近于圆.当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为
例
求椭圆
的长轴和短轴的长、
离心率、焦点和顶点的坐标.
解：把原方程化成标准方程，得
于是例题学习
例
求椭圆
的长轴和短轴的长、
离心率、焦点和顶点的坐标.
解：因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是和
，离心率
，两个焦点坐标分别是和
，四个顶点坐标分别是
和
.
例题学习
最后我们回顾一下本节课的内容，请大家思考以下问题：
（1）本节课我们研
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