2024-2025学年新教材高中数学第二章等式与不等式2.2不等式2.2.4第1课时均值不等式课时跟踪训练含解析新人教B版必修第一册

PAGE均值不等式一、复习巩固1．下列不等式正确的是()A．a＋eq\f(1,a)≥2B．(－a)＋(－eq\f(1,a))≤－2C．a2＋eq\f(1,a2)≥2D．(－a)2＋(－eq\f(1,a))2≤－2答案：C2．已知m＝a＋eq\f(1,a)＋1(a>0)，n∈{x|0<n＜3}，则m，n之间的大小关系是()A．m>n B．m<nC．m＝n D．m≤n解析：因为a>0，所以m＝a＋eq\f(1,a)＋1≥2eq\r(a·\f(1,a))＋1＝3，当且仅当a＝1时等号成立．所以m>n.答案：A3．已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(2,3)解析：由x(3－3x)＝eq\f(1,3)×3x(3－3x)≤eq\f(1,3)×eq\f(9,4)＝eq\f(3,4)，当且仅当3x＝3－3x，即x＝eq\f(1,2)时等号成立．答案：B4．已知y＝x＋eq\f(1,x)－2(x<0)，则y有()A．最大值为0 B．最小值为0C．最大值为－4 D．最小值为－4答案：C5．下列不等式中正确的是()A．a＋eq\f(4,a)≥4 B．a2＋b2≥4abC.eq\r(ab)≥eq\f(a＋b,2) D．x2＋eq\f(3,x2)≥2eq\r(3)解析：a<0，则a＋eq\f(4,a)≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错；a＝4，b＝16，则eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)，故C错；由均值不等式可知D项正确．答案：D6．给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能使eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2成立的条件有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：当eq\f(b,a)，eq\f(a,b)均为正数时，eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2，故只须a、b同号即可，∴①③④均可以．答案：C7．小王从甲地到乙地的来回时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则()A．a<v<eq\r(ab) B．v＝eq\r(ab)C.eq\r(ab)<v<eq\f(a＋b,2) D．v＝eq\f(a＋b,2)解析：设甲、乙两地之间的距离为s.∵a<b，∴v＝eq\f(2s,\f(s,a)＋\f(s,b))＝eq\f(2sab,a＋bs)＝eq\f(2ab,a＋b)<eq\f(2ab,2\r(ab))＝eq\r(ab).又v－a＝eq\f(2ab,a＋b)－a＝eq\f(ab－a2,a＋b)>eq\f(a2－a2,a＋b)＝0，∴v>a.答案：A8．已知a>b>c，则eq\r(a－bb－c)与eq\f(a－c,2)的大小关系是________．答案：eq\r(a－bb－c)≤eq\f(a－c,2)9．下列不等式：①a2＋1>2a；②|x＋eq\f(1,x)|≥2；③eq\f(a＋b,\r(ab))≤2；④x2＋eq\f(1,x2＋1)≥1.其中正确的个数是________．解析：由均值不等式可知②④正确．答案：210．设a，b为非零实数，给出不等式：①eq\f(a2＋b2,2)≥ab；②eq\f(a2＋b2,2)≥(eq\f(a＋b,2))2；③eq\f(a＋b,2)≥eq\f(ab,a＋b)；④eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2.其中恒成立的不等式是________．解析：由重要不等式a2＋b2≥2ab，可知①正确；eq\f(a2＋b2,2)＝eq\f(2a2＋b2,4)＝eq\f(a2＋b2＋a2＋b2,4)≥eq\f(a2＋b2＋2ab,4)＝eq\f(a＋b2,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，可知②正确；当a＝b＝－1时，不等式的左边为eq\f(a＋b,2)＝－1，右边为eq\f(ab,a＋b)＝－eq\f(1,2)，可知③不正确；当a＝1，b＝－1时，可知④不正确．答案：①②二、综合应用11．若－4＜x＜1，则f(x)＝eq\f(x2－2x＋2,2x－2)()A．有最小值1 B．有最大值1C．有最小值－1 D．有最大值－1答案：D12．已知x≥1，则函数f(x)＝eq\f(x,x2＋2x＋4)的最大值是________．解析：∵x≥1，∴f(x)＝eq\f(x,x2＋2x＋4)＝eq\f(1,x＋\f(4,x)＋2)≤eq\f(1,2\r(4)＋2)＝eq\f(1,6).当且仅当x＝eq\f(4,x)且x≥1，即x＝2时等号成立．答案：eq\f(1,6)13．已知关于x的不等式2x＋eq\f(2,x－a)≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．解析：因为x＞a，所以2x＋eq\f(2,x－a)＝2(x－a)＋eq\f(2,x－a)＋2a≥2eq\r(2x－a·\f(2,x－a))＋2a＝2a＋4，即2a＋4≥7，所以a≥eq\f(3,2).即a的最小值为eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)14．设x＞0，求证：x＋eq\f(2,2x＋1)≥eq\f(3,2).证明：因为x＞0，所以x＋eq\f(1,2)＞0，所以x＋eq\f(2,2x＋1)＝x＋eq\f(1,x＋\f(1,2))＝x＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,x＋\f(1,2))－eq\f(1,2)≥2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))·\f(1,x＋\f(1,2)))－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).当且仅当x＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,x＋\f(1,2))，即x＝eq\f(1,2)时，等号成立．15．已知a，b，c为不全相等的正实数，且abc＝1.求证：eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c)＜eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c).证明：因为a，b，c都是正实数，且abc＝1，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2eq\r(\f(1,ab))＝2eq\r(c)，eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥2eq\r(\f(1,bc))＝2eq\r(a)，eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)≥2eq\r(\f(1,ac))＝2eq\r(b)，以上三个不等式相加，得2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))≥2(eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c))，又因为a，b，c不全相等，所以eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c)＜eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c).16．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.求证：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥9.证明：∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(a＋b＋c,a)＋eq\f(a＋b＋c,b)＋eq\f(a＋b＋c,c)＝3＋eq\b\lc\(\rc\)(