2024-2025学年高中数学第四章定积分3定积分的简单应用课后作业含解析北师大版选修2-2

PAGE第四章定积分[A组基础巩固]1．曲线y＝x3与直线y＝x所围图形的面积等于()A.(x－x3)dx B.x3－x)dxC．2eq\i\in(0,1,)(x－x3)dx D．2(x－x3)dx解析：∵y＝x3，y＝x为奇函数，且x≥0时交于(0,0)、(1,1)，∴围成面积为2eq\i\in(0,1,)(x－x3)dx.答案：C2.由曲线y＝x2－1、直线x＝0、x＝2和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是()A.eq\i\in(0,2,)(x2－1)dxB．|eq\i\in(0,2,)(x2－1)dx|C.eq\i\in(0,2,)|x2－1|dxD.eq\i\in(0,1,)(x2－1)dx＋eq\i\in(1,2,)(x2－1)dx解析：分为两块，(0,1)为一块此时积分值为负，(1,2)对应另一块，积分值为正，∴有－eq\i\in(0,1,)(x2－1)dx＋eq\i\in(1,2,)(x2－1)dx＝eq\i\in(0,2,)|x2－1|dx.答案：C3．若a＝eq\i\in(0,2,)x2dx，b＝eq\i\in(0,2,)x3dx，c＝eq\i\in(0,2,)sinxdx，则a，b，c的大小关系是()A．a<c<b B．a<b<cC．c<b<a D．c<a<b解析：a＝eq\i\in(0,2,)x2dx＝eq\f(1,3)x3|eq\o\al(2,0)＝eq\f(8,3)，b＝eq\i\in(0,2,)x3dx＝eq\f(1,4)x4|eq\o\al(2,0)＝4，c＝eq\i\in(0,2,)sinxdx＝－cosx|eq\o\al(2,0)＝1－cos2<2.∴b>a>c.答案：D4．曲线y＝x2＋2x与直线x＝－1，x＝1及x轴所围成图形的面积为()A．2 B.eq\f(8,3)C.eq\f(4,3) D.eq\f(2,3)解析：S＝－(x2＋2x)dx＋eq\i\in(0,1,)(x2＋2x)dx＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3＋x2))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(0,－1)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3＋x2))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,0)))＝eq\f(2,3)＋eq\f(4,3)＝2.答案：A5．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,7)解析：阴影部分的面积为eq\i\in(0,1,)(eq\r(x)－x)dx＝eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,0)))＝eq\f(1,6)，故所求的概率P＝eq\f(阴影部分的面积,正方形OABC的面积)＝eq\f(1,6)，故选C.答案：C6．如图所示一个质点做直线运动的v­t图像，则质点在前6s内的位移为________．答案：97．如图所示，图中阴影部分的面积为________．答案：S＝eq\i\in(a,c,)f(x)dx＋eq\i\in(c,b,)g(x)dx－eq\i\in(a,b,)y(x)dx.8．抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围图形的面积为________．解析：由y′＝－2x＋4得在点A、B处切线的斜率分别为2和－2，则两切线方程分别为y＝2x－2和y＝－2x＋6.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－2,y＝－2x＋6))，得两切线交点坐标为C(2,2)，∴S＝S△ABC－eq\i\in(1,3,)(－x2＋4x－3)dx＝eq\f(1,2)×2×2－(－eq\f(1,3)x3＋2x2－3x)|eq\o\al(3,1)＝2－eq\f(4,3)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)9．求曲线x＝3y2和直线y＝x－2所围成的平面图形的面积．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3y2，,y＝x－2，))解得交点坐标为(3,1)和(eq\f(4,3)，－eq\f(2,3))，则对应变量y的改变区间为[－eq\f(2,3)，1]于是所求面积S＝＝(eq\f(1,2)y2＋2y－y3)|＝eq\f(125,54).10．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2.(1)求y＝f(x)的表达式；(2)若直线x＝－t(0<t<1)把y＝f(x)的图像与两坐标轴所围成的图形的面积两等分，求t的值．解析：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.又已知f′(x)＝2x＋2，∴a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋c.又方程f(x)＝0有两个相等的实根，∴Δ＝4－4c＝0，即c＝1.∴f(x)＝x2＋2x＋1.(2)依题意有eq\i\in(－1,－t,)(x2＋2x＋1)dx＝(x2＋2x＋1)dx，∴(eq\f(1,3)x3＋x2＋x)|eq\o\al(－t,－1)＝(eq\f(1,3)x3＋x2＋x)|eq\o\al(0,－t).∴－eq\f(1,3)t3＋t2－t＋eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)t3－t2＋t.∴2t3－6t2＋6t－1＝0.∴2(t－1)3＝－1，解得t＝1－eq\f(1,\r(3,2)).[B组实力提升]1．依据＝0推断，直线x＝0，x＝2π，y＝0和正弦曲线y＝sinx所围成的图形的面积时，正确结论为()A．面积为0B．图形在x轴上方的面积大于在x轴下方的面积C．图形在x轴上方的面积小于在x轴下方的面积D．图形在x轴上方的面积等于在x轴下方的面积解析：作出图像可知，D正确．sinxdx＝－eq\i\in(0,π,)sinxdx.答案：D2．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c>0)围成图形的面积是eq\f(2,3)，则c等于()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C．1 D.eq\f(2,3)解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2，,y＝cx3，))得A(0,0)，B(eq\f(1,c)，eq\f(1,c2))，S＝(x2－cx3)dx＝(eq\f(1,3)x3－eq\f(1,4)cx4)|＝eq\f(1,12)·eq\f(1,c3)＝eq\f(2,3)，∴c＝eq\f(1,2).答案：B3．如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是________．解析：因为eq\i\in(0,π,)sinxdx＝－cosx＝－cosπ＋cos0＝2，又S矩形＝2π，所以所投的点落在阴影部分的概率是P＝eq\f(2,2π)＝eq\f(1,π).答案：eq\f(1,π)4．已知a∈[0，eq\f(π,2)]，当eq\i\in(0,a,)(cosx－sinx)dx取最大值时，a＝________.解析：eq\i\in(0,a,)(cosx－sinx)dx＝(sinx＋cosx)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(a,0)))＝sina＋cosa－1＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(π,4)))－1，当a＝eq\f(π,4)时，eq\i\in(0,a,)(cosx－sinx)dx取最大值eq\r(2)－1.答案：eq\f(π,4)5．给定直角边为2的等腰直角三角形，绕一条直角边旋转一周，得到一个圆锥体，求它的体积．解析：在平面直角坐标系中，直角边为2的等腰直角三角形可以看成是由直线y＝x，x＝2以及x轴所围成的平面图形．则旋转体的体积V＝πeq\i\in(0,2,)x2dx＝eq\f(π,3)x3|eq\o\al(2,0)＝eq\f(8π,3).6．如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．解析：抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1，∴抛物线与x轴所围图形的面积为S＝eq\i\in(0,1,)(x－x2)dx＝(eq\f(x2,2)－eq\f(x3,3))|eq\o\al(1,0)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－x2，,y＝kx，))解得两交点的横坐标分别为x1′＝0，x2′＝1－k，∴