2024年九年级中考数学复习：与圆相关的综合题 刷题练习题汇编（含答案）

2024年九年级中考数学复习：与圆相关的综合题刷题练习题汇编

1.已知。01和。02的半径都等于1,OQ2=5,在线段0102的延长线上取一点03,使0203=3,

以03为圆心，R=5为半径作圆.

（1）如图1,003与线段0|02相交于点P1,过点Pi分别作。Oi和。02的切线PIAI、PIBI

（AHBI为切点）,连接OiAi、O2B1,求P1A1：P1B1的值;

（2）如图2,若过02作02P2JLO1O2交03于点P2，又过点P2分别作OOl和002的切线

P2A2、P2B2（A2、B2为切点），求P2A2：P2B2的值；

（3）设在。03上任取一点P,过点P分别作。Oi和。02的切线PA、PB（A、B为切点）,

由（1）（2）的探究，请提出一个正确命题.（不要求证明）

2.如图①，已知抛物线y=ax，bx+c经过坐标原点，与x轴的另一个交点为A,且顶点M

坐标为（1,2）,

（1）求该抛物线的解析式：

（2）现将它向右平移m（m>0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线

交于点P,ZkCDP的面积为S,求S关于m的关系式；

（3）如图②，以点A为圆心，以线段OA为半径画圆，交抛物线y=ax?+bx+c的对称轴于

点B,连接AB,若将抛物线向右平移m（m>0）个单位后，B点的对应点为B:A点的对

应点为A，点，且满足四边形BAAB，为菱形，平移后的抛物线的对称轴与菱形的对角线BA，

交于点E,在x轴上是否存在一点F,使得以E、F、A，为顶点的三角形与4BAE相似？若存

在，求出F点坐标；若不存在，说明理由.

第1页共69页

3.如图，在直角坐标系中，以点M（3,0）为圆心，以6为半径的圆分别交x轴的正半轴

于点A,交x轴的负半轴交于点B,交y轴的正半轴于点C,过点C的直线交x轴的负半轴

于点D（-9,0）

（1）求A,C两点的坐标；

（2）求证：直线CD是0M的切线；

（3）若抛物线y=x2+bx+c经过M,A两点，求此抛物线的解析式；

（4）连接AC,若（3）中抛物线的对称轴分别与直线CD交于点E,与AC交于点F.如

果点P是抛物线上的动点，是否存在这样的点P,使得SAPAM：SACE『石：3?若存在，请

求出此时点P的坐标：若不存在，请说明理由注意：木题中的结果均保留根号）

4.如图1,正方形ABCD中，有一直径为BC=2cm的半圆O.两点E、「分别从点B、点

A同时出发，点E沿线段BA以lcm/s的速度向点A运动，点F沿折线A・D・C以2cm/s

的速度向点C运动.设点E离开点的B时间为I（s）,其中1qV2.

（1）当t为何值时，线段EF和BC平行？

（2）EF能否与半圆O相切？如果能，求出【的值；如果不能，请说明原因.

（3）如图2,设EF与AC相交于点P,当点E、F运动时，点P的位置是否发生变化？若

发生变化，请说明理由；若不发生变化，也请说明理由，并求AP：PC的值.

变式：如图3,若将上题改为，正方形ABCD中，有一直径为BC=2cm的半圆O.点E为

AB边上的动点（不与点A、B重合），过点E与圆O相切的直线交CD所在直线为点F,

设EB=x,FD=y.

（1）试写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

（2）是否存在切线EF,把正方形ABCD的周长分成相等的两部分？若存在，求出x的值.若

不存在，请说明理由.

5.已知：直角梯形OABC中，BC/7OA,ZAOC=90°,以AB为直径的圆M交OC于D、

E,连接AD、BD、BE.

第2页共69页

（1）在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图I中的两对相似三角形.

（2）直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系（如图2）,

若抛物线丫=2*2-22*-3a（aVO）经过点A、B、D,且B为抛物线的顶点.

①写出顶点B的坐标（用a的代数式表示）：

②求抛物线的解析式；

③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P做PN±x轴于N,使得APAN与aOAD

相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

6.如图，抛物线产ax?+bx+c的顶点为A（4,4）,且抛物线经过原点，和x轴相交于另一

点B,以AB为一边在直线AB的右侧画正方形ABCD.

（1）求抛物线的解析式和点C、D的坐标；

（2）能否将此抛物线沿着直线x=4平移，使平移后的抛物线恰好经过正方形ABCD的另两

个顶点C、D若能，写出平移后抛物线的解析式；若不能，请说明理由；

（3）若以点A（4,4）为圆心，r为半径画圆，请你探究：

①当尸时，OA上有且只有一个点到直线BD的距离等于2：

②当r=时，0A上有且只有三个点到直线BD的距离等于2；

③随着r的变化，0A上到直线BD的距高等于2的点的个数也随着变化，请根据（DA上到

直线BD的距离等于2的点的个数，讨论相应的r的值或取值范围.

7.如图，在平面直角坐标系中，以点A（英，0）为圆心，以2加为半径的圆与x斛相交

于点B、C,与y轴相交于点D、E.

第3页共69页

(I)若抛物线y=2x?+bx+c经过C、D两点，求出此抛物线的解析式;

3

(2)在(1)中的抛物线的对称轴上求一点F,使得AFBD的周长最小；

(3)设Q为(1)中抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M,使得四

边形BCQM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

(4)连接BD、CD,设P为(1)中抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样

的点P，使得4ABP与ADBC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

8.已知：如图，直线尸-ax+3交x轴于。1，交y轴于。2,。02与x轴相切于0点，交

直线0102于P点，以O1为圆心，O1P为半径的圆交x轴于A、B两点，PB交。02于点F,

。0|的弦BE=BO,EF的延长线交AB于D,连接PA、P0.

(1)求证：ZAP0=ZBP0；

(2)求证：EF是。02的切线；

(3)EOi的延长线交。0i于C点，若G为BC上一动点，以OiG为直径作。03交01c于

点M,交OiB于N.下列结论：①0iM・0iN为定值；②线段MN的长度不变.只有一个

是正确的，请你判断出正确的结论，井证明正确的结论，以及求出它的值.

9.如图：在平面直.角坐标系中，直线y=2x+3与X轴、y轴分别交于A、B两点，直.线y=kx+8

2

与直线AB相交于点D,与x轴相交于点C,过D作DEJ_x轴，E为垂足，E点的横坐标

为2.

(1)求直线CD的解析式；

第4页共69页

（2）若点P为x轴上一点，P点的坐标为（1，0）,过P作x轴的垂线，交直线AB于点Q,

边Q点作x轴的平行线交直线CD于点M,设线段QM的长为y,当-6VtV2时，求y与

t的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，当I为何值时，过P、Q、M三点的圆与直线AB和直线CD这两

条直线只有三个公共点.

10.已知，如图，点M在x轴上，以点M为圆心，2.5长为半径的圆交y轴于A、B两点,

交X轴于C（XI,0）、D1x2，0）两点，（X|〈X2），XI、X2是方程X（2x4-1）=（X+2）2的

两根.

（1）求点C、D及点M的坐标；

（2）若直线y=kx+b切。M于点A,交x轴于P,求PA的长；

（3）（DM上是否存在这样的点Q,使点Q、A、C三点构成的三角形与△AOC相似？若存

在，请求出点的坐标，并求出过A、C、Q三点的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.

11.如图，AB是。O的直径，BD是00的弦，延长BD到点C,使DC=BD,连接AC交

0O于点F.

（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？

（2）按角的大小分类，请你判断AABC属于哪一类三角形，并说明理由.

个明按下面的方法作出了NMON的平分线：

①反向延长射线OM；

②以点O为圆心，任意长为半径作圆，分别交/MON的两边于点A、B,交射线OM的反

向延长线于点C；

③连接CB；

④以O为顶点，OA为一边作NAOP=NOCB.

（1）根据上述作图，射线OP是NMON的平分线吗？并说明理由.

（2）若过点A作。O的切线交射线OP于点F,连接AB交OP于点E,当NMON=60。、

OF=10时，求AE的长.

第5页共69页

12.已知如图，过O且半径为5的0P交x的正半轴于点M(2m,0)、交y轴的负半轴于

点D,弧OBM与弧OAM关于x轴对称，其中A、B、C是过点P且垂直于x轴的直线与

两弧及圆的交点.

(1)当m=4时,

①填空:B的坐标为,C的坐标为,D的坐标为：

②若以B为顶点且过D的抛物线交。P于点E,求此抛物线的函数关系式和写出点E的坐

林；

③除D点外，直线AD与②中的抛物线有无其它公共点并说明理由.

(2)是否存在实数m,使得以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形？若存在，求m的值;

若不存在，请说明理由.

13.已知：如图，RSABC中，ZB=90°,ZA=30°,BC=6cm.点O从A点出发，沿AB

以每秒丘m的速度向B点方向运动，当点O运动了t秒(1>0)时，以O点为圆心的圆

与边AC相切于点D,与边AB相交于E、F两点.过E作EGJ_DE交射线BC于G.

(1)若E与B不重合，问t为何值时，aBEG与ADEG相似？

(2)问：当I在什么范围内时，点G在线段BC上当I在什么范围内时，点G在线段BC

的延长线上？

第6页共69页

（3）当点G在线段BC上（不包括端点B、C）时，求四边形CDEG的面积S（cm2）关于

时间t（秒）的函数关系式，并问点0运动了几秒钟时，S取得最大值最大值为多少？

14.如图，在平面直角坐标系中，A（8,0）、B（6,2丘）、C（0,2次），有两点P、Q

同时从A点出发分别作匀速运动，其中点P沿AB、BC向终点C运动，速度为每秒2个单

位，点Q沿AD向终点D运动，速度为每秒1个单位，当这两个点中有一个点到达自己的

终点时，另一个点也停止运动，设这两点从A点出发运动了I秒.

（1）动点P与Q哪一点先到达自己的终点？此时t为何值？

（2）若OB的半径为1,t为何值时以PQ为半径的OP既与OB相切又与AD相切？

（3）以PQ为直径的圆能否与CD相切？若有可能求出t的值或t的取值范围，若不可能请

说明理由.

2

15.如图，已知抛物线m的解析式为y=x2・4,与x轴交于A、C两点，B是抛物线门上

的动点（B不与A、C重合），且B在x轴的下方，抛物线n与抛物线m关于x轴对称，以

AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D.

（1）求证：点D一定在抛物线n上.

（2）平行四边形ABCD能否为矩形？若能为矩形，求出这些矩形公共部分的面积（若只有

一个矩形符合条件，则求此矩形的面积）；若不能为矩形，请说明理由.

（3）若（2）中过A、B、C、D的圆交y轴于E、F,而P是弧CF上一动点（不包括C、F

两点），连接AP交y轴于N,连接EP交x轴于M.当P在运动时，四边形AEMN的面积

是否改变？若不变，则求其面积；若变化，请说明理由.

第7页共69页

16.如图I,在直角坐标系中，点A的坐标为(0,10),点B的坐标为(1(),0),0P和。

Q的半径分别为4和1.P从A开始在线段AO上以3单位/秒的速度移动，Q从OB的中点

C开始在线段CO上以1单位/秒的速度移动，当其中一个点到达原点O时，另一点也随即

停止运动.圆心移动时，圆也跟着移动.设点P和点Q运动的时间为t(秒).如图2,当

里时，设四边形APQB的面积为s.

3

(1)求S与t的函数关系式；

(2)如图3,当。P和。Q外切时，求s的值；

(3)在运动的过程中，是否存在某一时刻，0P和。Q内切，若存在，直接写出点P的坐

17.已知：抛物线y=ax，bx+c(awO),顶点C(l,-3),与x轴交于A,B两点，A(-1,

0).

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D,与抛物线对称轴交于点E,依次连接

A,D,B,E,点P为线段AB上一个动点(P与A,B两点不重合)，过点P作PM1AE

于M,PN_LDB于N,请判断更3是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明

BEAE

理由；

第8页共69页

（3）在（2）的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG_LEP,FG分别与边AE,

BE相交于点F,G（F与A,E不重合，G与E,B不重合），请判断图月是否成立？若

PBEG

成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

18.请阅读下列材料：

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.即如图1，若弦AB、CD交于点P,

贝ijPA・PB=PC・PD.请你根据以上材料，解决下列问题.

己知。O的半径为2,P是OO内一点，且OP=1,过点P任作-弦AC,过A、C两点分别

作。O的切线m和n,作PQJ_m于点Q,PR_Ln于点R.（如图2）

（1）若AC恰经过圆心0,请你在图3中画出符合题意的图形，并计算：工二•的值；

PQT

（2）若OP_LAC,请你在图4中画出符合题意的图形，并计算：工二的值；

PQT

（3）若AC是过点P的任一弦（图2）,请你结合（1）（2）的结论，猜想：工」的值，

PQT

并给出证明.

19.已知AB是。0的直径，C是。O上一点，连接AC,过点C作CD_LAB于点D.

第9页共69页

（1）当点E为DB上任意一点（点D、B除外）时，连接CE并延长交。O于点F,AF与

CD的延长线交于点G（如图①）.

求证：AC2=AG*AF.

（2）李明证明（I）的结论后，又作了以下探究：当点E为AD上任意一点（点A、D除外）

时，连接CE并延长交。0于点F,连接AF并延长与CD的延长线在圆外交于点G,CG与

。。相交于点H（如图②）.连接FH后，他惊奇地发现NGFH=NAFC.根据这一条件，

可证GF・GA=GH・GC.请你帮李明给出证明.

（3）当点E为AB的延长线上或反向延长线上任意一点（点A、B除外）时，如图③、④

所示，还有许多结论成立.请你根据图③或图④再写出两个类似问题（1）、（2）的结论（两

角、两弧、两线段相等或不相等的关系除外）（不要求证明）.

20.如图（1）,已知圆O是等边z^ABC的外接圆，过O点作MN〃BC分别交AB、AC于

M、N,且MN=a.另一个与AABC全等的等边ADEF的顶点D在MN上移动（不与点M、

N重合），并始终保持EF〃BC,DF交AB于点P,DE交AC于点Q.

（1）试判断四边形APDQ的形状，并进行证明；

（2）设DM为x,四边形APDQ的面积为y,试探究y与x的函数关系式；四边形APDQ

的面积能取到最大值吗？如果能，请求出它的最大值，并确定此时D点的位置.

（3）如图（2）,当D点和圆心O重合时，请判断四边形APDQ的形状，并说明理由；你

能发现四边形APDQ的面枳与AABC的面积有何关系吗？为什么？

第10页共69页

21.如图，已知一次函数y=x+2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，圆Oi过以0B为

边长的正方形OBCD的四个顶点，两动点P、Q同时从点A出发在四边形ABCD上运动，

其中动点P以每秒灯个单位长度的速度沿A^B^C运动后停止，动点Q以每秒2个单位

长度的速度沿A3O玲D1C3B运动，AO1交于y轴于E点，P、Q点运动的时间为tl秒）

（1）点E的坐标是：

（2）三角形ABE的面积是;

（3）当Q点运动在线段AD上时，是否存在某一时刻I（秒），使得SMPQ：SAABE=3：4?

若存在，请确定I的值和直线PQ所对应的函数解析式；若不存在，请说明理由？

22.如图，OA和。B是外离两圆，0A的半径长为2,0B的半径长为1,AB=4,P为连

接两圆圆心的线段AB上的一点，PC切（DA于点C,PD切（DB于点D.

（1）若PC=PD,求PB的长.

（2）试问线段AB上是否存在一点P,使PC?+PD2=4?如果存在，问这样的P点有儿个并

求出PB的值；如果不存在，说明理由.

（3）当点P在线段AB上运动到某处，使PC_LPD时，就有ZiAPCsZ\PBD.请问：除上

述情况外，当点P在线段AB上运动到何处（说明PB的长为多少；或PC、PD具有何种关

23.已知抛物线y=』x2+bx+c与x轴交于A（xi,0）,D（X2,0）（xi>x2）两点，并且AD=1,

2

又经过点B（4,I）,与y轴交于点C.

（1）求抛物线y=-^x2+bx+c的函数关系式；

（2）求点A及点C的坐标；

（3）如图1,连接AB,在题1中的抛物线上是否存在点P,使APAB是以AB为直角边的

直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）如图2,连接AC,E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点

的圆交直线AB于点F,当aOEF的面积取得最小值时，求点E的坐标.

第11页共69页

24.关于图形变化的探讨：

(1)①例题1.如图1,AB是。。的直径，直线I与OO有一个公共点C,过A、B分别

作1的垂线，垂足为E、F,则EC=CF.

②上题中，当直线1向上平行移动时，与。O有了两个交点Ci、C2,其它条件不变，如图

2,经过推证，我们会得到与原题相应的结论：ECI=C2F.

③把直线1继续向上平行移动，使弦C|C2与AB交于点P(P不与A,B重合).在其它条

件不变的情况下，请你在图3的圆中将变化后的图形画出来，标好对应的字母，并写出与

①②相应的结论等式.判断你写的结论是否成立，若不成立，说明理由，若成立，给以证

明.结论.证明结论成立或说明不成立的理由

(2)①例题2.如图4,BC是。O的直径.直线I是过C点的切线.N是。O上一点，直

线BN交I于点M.过N点的切线交I于点P,则PM2=PC2.

②把例题2中的直线1向上平行移动，使之与。。相交，且与直线BN交于B、N两点之

间.其它条件仍然不变，请你利用图5的圆把变化后的图形画出来，标好相应的字母，并写

出与①相应的结论等积式，判断你写的结论是否成立，若不成立，说明理由，若成立，给

以证明.结论.证明结论成立或说明不成立的理由：

(3)总结：请你通过(I)、(2)的事实，用简练的语言，总结出某些几何图形的一个变化

规律_____________.

第12页共69页

25.如I图I,已知抛物线y悖2+bx+c经过A(3,())、B(0,4)两

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若抛物线与x轴的另一个交点为C,求点C关于直线AB的对称点C的坐标；

(3)若点D是第二象限内点，以D为圆心的圆分别与x轴、y轴、直线AB相切于点E、F、

H(如图2),问在抛物线的对称轴上是否存在一点一点P,使得IPH-PAI的值最大？若存在,

求出该最大值；若不存在，请说明理由.

26.如图1,在直角坐标系中，点A的坐标为(1,0),以OA为边在第四象限内作等边AAOB,

点C为x轴的正半轴上一动点(OC>1),连接BC,以BC为边在第四象限内作等边aCBD,

直线DA交y轴于点E.

(1)试问AOBC与AABD全等吗？并证明你的结论；

(2)随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；

若有变化，请说明理由；

(3)如图2,以0C为直径作圆，与直线DE分别交于点F、G,设AOm,AF=n,用含n

27.如图，半圆O的直径AB=l2cm,射线BM从与线段AB重合的位置起，以每秒6。的旋

转速度绕B点按顺时针方向旋转至BP的位置，BP交半同于E,设旋转时间为ts(0<t<15),

(1)求E点在圆弧上的运动速度(即每秒走过的弧长)，结果保留儿

第13页共69页

(2)设点C始终为标的中点，过C作CD_LAB于D,AE交CD、CB分别于G、F,过F

作FN〃CD,过C作圆的切线交FN于N.

求证：①CN〃AE；

②四边形CGFN为菱形：

③是否存在这样的t值，使BE2=CF・CB?若存在，求t值：若不存在，说明理由.

28.如图，经过。0的圆心，E、F是两圆的交点，直线00,交。0,于点P,交EF于点

C,交。O于点Q,且EF=2，I^,sin/P」.

4

(1)求证：PE是。0的切线；

(2)求。O和。O”的半径的长；

(3)若点A在劣弧而上运动(与点Q、F不重合)，连接PA交劣弧而于点B,连接BC并

延长交。0于点G,设CG=x,PA=y,求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范

29.已知RSABC,/BAO90。，点D是BC中点，AD=AC,BO4加，过A,D两点作

。0,交AB于点E,

(1)求弦AD的长；

(2)如图1,当圆心0在AB上且点M是。O上一动点，连接DM交AB于点N,求当

ON等于多少时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形？

(3)如图2,当圆心0不在AB上且动圆(DO与DB相交于点Q时，过D作DH_LAB(垂

足为H)并交。0于点P,问：当。0变动时DP-DQ的值变不变？若不变，请求出其值；

若变化，请说明理由.

第14页共69页

c

（图1）（图2）

第15页共69页

参考答案

1.已知。Ol和。02的半径都等于1,0102=5,在线段0102的延长线上取一点03,使0203=3,

以03为圆心，R=5为半径作圆.

（1）如图1,003与线段0102相交于点Pi,过点P1分别作。0|和。02的切线P1A|、PIBI

（Al、Bl为切点），连接OlAi、O2B1,求P1A1：P1B1的值；

（2）如图2,若过02作02P2_LO1O2交03于点P2,乂过点P2分别作。O1和。02的切线

P2A2、P2B2（A2、B2为切点）,求P2A2：P2B2的值；

（3）设在。03上任取一点P,过点P分别作。Oi和。02的切线PA、PB（A、B为切点）,

由（1）（2）的探究，请提出一个正确命题.（不要求证明）

解：（1）在图1中，由已知A为切点，得OIAI_LPIAI.

/.△OIAIPI是直角三角形.

同理可得△OzBB是直角二角形.

APiAi=V8，PiBi=V3-

AP1A1：PiBi=V8：73=272：近.

（2）在图2中，连接O1A2,O2B2,P2O1,P2O3.

在RtZkO2O3P2中，P2O2=4,P2B2=VT5-

同理可解，得P2O1=J^LP2A

・・.p2A2：P2B2=V4C：V15=V8：73=272：V3-

（3）提出的命题是开放性的，只要正确都可以.

如：1.设在。03上任取一点P,过点P分别作001、002的切线PA、PB（A、B

为切点）.

则有PA：PB=2沈：加或PA：PB是一个常数；

2.在平面上任取一点P,过点P分别作。Ol、。02的切线PA、PB（A、B为切点）,

若PA：PB=V8：J5，则点P在。03上.

第16页共69页

2.如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过坐标原点，与x轴的另一个交点为A,且顶点M

坐标为（1,2）,

（1）求该抛物线的解析式；

（2）现将它向右平移m（m>0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线

交于点P,ACDP的面积为S,求S关于m的关系式；

（3）如图②，以点A为圆心，以线段OA为半径画圆，交抛物线y=ax?+bx+c的对称轴于

点B,连接AB,若将抛物线向右平移m（m>0）个单位后，B点的对应点为B\A点的对

应点为A，点，且满足四边形BAAB，为菱形，平移后的抛物线的对称轴与菱形的对角线B"

交于点E,在x轴上是否存在一点F,使得以E、F、X为顶点的三角形与4BAE相似？若存

在，求出F点坐标；若不存在，说明理由.

解：（1）由抛物线丫=2*2+6乂+<:经过坐标原点可得，

c=0,

由顶点M坐标为（1,2）,可得A点坐标为（2,0）,

将他们的坐标值分别代入解析式可得，

‘2二a+b

0=4a+2b

解得，（a=-2,

b=4

故该抛物线的解析式为：y=-2X2+4X；

第17页共69页

(2)现将它向右平移m(m>0)个单位，所得抛物线解析式为:

y=-2(x-m)2+4(x-m),

原抛物线与平移后的解析式交于P点，

_2

y=2X+4X

则有4

y=_2(x_ID)2+4(x-ID)

ID,1

x=2+1

解得，2

y=--y+2

即p点坐标为:2)，

那么ACDP的高为:9而CD=29

贝ljS=-ix2x(-

2

化简得，S=-资+介

2

(3)如图，

四边形BAAB，为菱形，则有菱形的边长就是圆的半径为2,

B点的纵坐标为：杼二立，

那么tan/BA'A=1,

3

故NBA'A=NA'BA=30°,

A，口AC12^3

AE=AE=---1•-二—▲,

cos303

则毡二亚正好是tan30。的值，

AB3

故NBAE=90。而△BAES^A'EF,

则NA，EF=90。，

A，F='N…

cos303

则AF=2-S=ZF横坐标为：2+2属

3333

故在x轴上存在一点F,F的坐标为：(且0).

3

第18页共69页

图②

3.如图，在直角坐标系中，以点M(3,0)为圆心，以6为半径的圆分别交x轴的正半轴

于点A,交x轴的负半轴交于点B,交y轴的正半轴于点C,过点C的直线交x轴的负半轴

丁点D(-9,0)

(1)求A,C两点的坐标；

(2)求证：直线CD是0M的切线；

(3)若抛物线y=x?+bx+c经过M,A两点，求此抛物线的解析式；

(4)连接AC,若(3)中抛物线的对称轴分别与直线CD交于点E,与AC交于点F.如

果点P是抛物线上的动点，是否存在这样的点P，使得S"AM：SACEF=V3：3?若存在，请

求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.(注意：本题中的结果均保留根号)

解：(1)连接CM,由题意得：OM=3,OB=3,OE=9,MC=6

OA=OM+MA=3+6=9

A(9,0)

V0C=VMC2-OM2=3^

AC(0,373)

(2)证法一:

第19页共69页

在RSDCO中，VDC=^DQ2+CO2=6VS

在ADCM中，VCM2+DC2=144

DM2=(DO+OM)2=(9+3)2=122=144

.*.CM2+DC2=DM2

•••△DCM直角三角形.

AMC1DC,而MC是。M的半径

・・・CD是。M的切线.

证法二：

在RtACOM中，YsinNMCO二里」，

CM2

AZMCO=30o

在RtADOC中，・・・ian/DCO=DC--"二加,

CO373

，ZDCO=60°

・•・ZDCM=ZMCO-ZDCO=90°

/.MCIDC,而MC中的。M半径.

(3)由抛物线产x?+bx+c经过点M(3,0)和点A(9,0),可得：J9+3b+c=0

81+9b+c=0

初-fb=-12

解得：＜

lc=27

，抛物线的解析式为：y=x2-12x+27.

(4)存在

设抛物线的对称釉交x轴于点H

在(2)中已证：

AZDCO=60%ZCDO=30°

•・•抛物线的对称轴平行于y,

・•・ZCEF=ZDCO=6()°

VOD=OA=9,

ACO垂直平分AD

.•.ZCAO=ZCDO=30°

在RtZkAFH中，ZAFH=60°

；・NEFC=60°

•••△CEF是等边三角形

过点C作CG_LEF于点G,则CG=6

可得：EF=4加，SaCE尸2EF・CG』4心6二12«；

22

若点P在轴的上方，设点P坐标为(x,y),SAPAM=—AM*y=3y,SAPAM：SACEF=V3-

2

3

・・・3y：12行无：3,

解得：y=4.

第20页共69页

当y=4时，即x2-l2x+27=4,解得X=6±A/13

，P<6-V13»4）或（6+V13»4）.

②若点P在x轴上，则点P与点M或与点A重合，此时构不成三角形.

③若点P在x轴下方，设点P的坐标为（x,y）

SAPAM=—AM*（-y）=-3y,S^PAM：SACEF=V3:3

2

:.-3y：1273=73：3

解得：y=-4

当y=-4时，HPx2-12x+27=-4,解得x=6±^/5-

AP（6-V5»・4；或（6+加,-4）.

•••这样的点共有4个，

AP<6-V13,4）或（6+任，4）或（6-遮-4）或（6+V^，-4）.

4.如图1,正方形ABCD中，有一直径为BC=2cm的半圆0.两点E、F分别从点B、点

A同时出发，点E沿线段BA以lcm/s的速度向点A运动，点F沿折线A-D-C以2cm/s

的速度向点C运动.设点E离开点的B时间为t（s）,其中14V2.

（1）当I为何值时，线段EF和BC平行？

（2）EF能否与半圆O相切？如果能，求出t的值；如果不能，请说明原因.

（3）如图2,设EF与AC相交于点P,当点E、F运动时，点P的位置是否发生变化？若

发生变化，请说明理由；若不发生变化，也请说明理由，并求AP：PC的值.

变式：如图3,若将上题改为，正方形ABCD中，有一直径为BC=2cm的半圆O.点E为

AB边上的动点（不与点A、B重合），过点E与圆0相切的直线交CD所在直线为点F,

设EB=x,FD=y.

（1）试写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

（2）是否存在切线EF,把正方形ABCD的周长分成相等的两部分？若存在，求出x的值.若

不存在，请说明理由.

第21页共69页

解：（1）如图1,设E、F出发后运动了ts时，有EF和BC平行.

贝ijBE=t,DF=2（-2.

t=4-2t.

解得l=&

3

・•・当t's时,线段EF和BC平行.

（2）设E、F出发后运动了t秒时，EF与半圆相切.

作OM_LEF于点M,ON〃CF交EF于点N,KFVBC交AB于点K,如图2.则

OM=1,BE=t,CF=4-2t,EK=t-（4-2t）=3t-4,ON=」［t+（4-2t）1=2-工.

22

在RQOMN中,MN2=ON2-OM2=4t2-8t+3.

22

VAOMN^AFKE,工义］二坞；，

MN2EK2

将有关数据代入上式并整理，得2t2-41+1=0

解得口空Z1

2

Vl<t<2,，匚生后.

2

工当匚咨时，线段EF与半圆相切.

2

（3）当1SIV2时，点P的位置不会发生变化.

证明：设14V2时，E、F出发后运动了t秒时，EF位置如图

贝ljBE=t,AE=2-t,CF=4-2l

・AE二2-t二1

.而二4-2tG

又•・,AB//DC/.AAEP^ACFP

.••期1」，即点P的位置与t的取值无关.

PCFC2

第22页共69页

・••当13V2时，点P的位置不会发生变化，且AP：PC的值为工

2

图⑵图⑶

(1)如图(1),当F点在CD的延长线上，过E作EH_LDC,交DC于F点，易证

EB=EM=x,MF=FC=FD+DC=y+2,

在RtAEHF中，由勾股定理得EH2+FH2=EF2,

即22+(y+2-x)2=(x+2+y)2,

整理得xy+2x-1=0,

,1_2x

••尸-----

x

VI-2x>0

：•

2

・••点F在DC上的函数关系式为尸匕空(Q<x<l)

x2

如图(2),当E点重合于D点时，即FD二产0,易求出EM=EB二HC=x,DM=DC=2,

ADH=DC-HC=2-x,

即在RSEHD中,ED2=EH2+HD2,

・•・(x+2)2=22+(2-x)2,

解得x」，

2

如图(3),当F点在DC上，在RlAEHF中，

由勾股定理得EH2+FH2=EF2,

即22+(y-2+x)2=(x+2-y)2,

整理得xy=2x-1,

.2x-l

••y二.

X

V2x-l>0,

2

・••点F在DC上的函数关系式为尸(1<X<2)；

(2)如图(3),假设EF把正方形周长分成相等两部分，即EA+AD+DF=EB+BC+CF,

.*.2-x+2+y=x+2+2-y整理得x=y

第23页共69页

2x-l

由上面可知,X,解得x=l,

••・存在切线EF,把正方形的周长分成相等的两部分，此时x=l.

图1

5.已知：直角梯形OABC中，BC〃OA,ZAOC=90%以AB为直径的圆M交0C于D、

E,连接AD、BD、BE.

(1)在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形.

△OADs^CDB,AADBs△ECB；

(2)直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系(如图2),

若抛物线y=ax2-2ax-3a(a<0)经过点A、B、D,且B为抛物线的顶点.

①写出顶点B的坐标(用a的代数式表示)(1,-4a)；

②求抛物线的解析式：

③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P做PN_Lx轴于N,使得^PAN与AOAD

相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

第24页共69页

解：（1）AOAD^ACDB,AADB^AECB；（4分）

（2）①（1,-4a）（5分）

©VAOAD^ACDB

...匹g/分）

OA0D

Vax2-2ax-3a=0»可得A（3,0）（8分）

X*/OC=-4a,OD=-3a,CD=-a,CB=I,

.1-a

-一3a二3

a2=1,

Va<0,

/.a=-I；

故抛物线的解析式为：y=-X2+2X+3（10分）

③存在，（II分）

设P（x,-X2+2X+3）

•••△PAN与^OAD相似，且aOAD为等腰三角形

APN=AN

当xVO（xV-l）时，-x+3=-（-X2+2X+3）»XI=-2,X2=3（舍去），

：.P（-2,-5）（13分）

当x>0（x>3）时，x-3=-（-X2+2X+3）,XI=0,X2=3；（都不合题意舍去）

符合条件的点P为（-2,-5）.（14分）

6.如图，抛物线y=ax?+bx+c的顶点为A(4,4),且抛物线经过原点，和x轴相交于另一

点B,以AB为一边在宜线AB的右侧画正方形ABCD.

(1)求抛物线的解析式和点C、D的坐标；

(2)能否将此抛物线沿着直线x=4平移，使平移后的抛物线恰好经过正方形ABCD的另两

个顶点C、D若能，写出平移后抛物线的解析式；若不能，请说明理由；

(3)若以点A(4,4)为圆心，r为半径画圆，请你探究：

①当r=2时,0A上有且只有一个点到直线BD的距离等于2；

②当斤6时,0A上有且只有三个点到直线BD的距离等于2；

③随着r的变化，OA上到直线BD的距离等于2的点的个数也随着变化，请根据。A上到

直线BD的距离等于2的点的个数，讨论相应的I•的值或取值范围.

第25页共69页

解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x-4)2+4,

则有：a(0-4)之的加，

解得a=-l

4

Ay=-1(x-4)2+4.

4

根据A(4,4)可知，NAOB=45。

VAO=AB,

AAAOB为等腰直角三角形.

AZOAB=90%即0、A、D三点共线,

因此直线BD〃y轴，直