2020年广东省深圳市第七届“鹏程杯”八年级邀请赛数学试卷

第1页（共1页）2020年广东省深圳市第七届“鹏程杯”八年级邀请赛数学试卷一、选择题（满分36分，每小题6分，将你选择的答案写在题后的圆括号内）1．（6分）不能在有理数范围内分解因式的是（）A．﹣m2+n2 B．﹣m2﹣4n2 C．3m4﹣2m2﹣5 D．m2+2mn+n2﹣12．（6分）已知关于x的分式方程﹣2＝的解为正数（）A．﹣2＜k＜0 B．k＞﹣2且k≠﹣1 C．k＞﹣2 D．k＜2且k≠13．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，AB＝4，BC＝6（）A．1：2：3 B．2：1：3 C．3：2：1 D．3：1：24．（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，点P为边AB上一动点（且点P不与点A，B重合），PE⊥BC于E，点M为EF的中点，则PM的最小值为（）A．3 B． C．2 D．5．（6分）[a]表示不超过a的最大整数．若实数a满足方程，则[a]＝（）A．1 B．2 C．3 D．46．（6分）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝5，点E是直线AB、CD之间任意一点，连接AE、BE、CE、DE（）A．36 B．30 C．15 D．12二、填空题（满分48分，每小题8分，将你的答案写在题后的横划线处）7．（8分）已知9+与9﹣的小数部分分别是a和b．8．（8分）已知△ABC的三边a、b、c满足a3﹣a2b+ab2﹣ac2﹣b3+bc2＝0，则△ABC的形状是．9．（8分）使代数式的值为整数的全体自然数x的和是．10．（8分）如图，在△ABC中，高AD和BE交于点H，则∠ABC＝．11．（8分）已知﹣＝2，则+的值为．12．（8分）如图△ABC中，AB＝AC，BC＝2，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、CA的延长线于点E、F，则S△GPE﹣S△GAF的值为．三、解答题（满分66分，第13-15题16分，第16题18分）13．（16分）已知，其中x、y、z互不相等，求证：x2y2z2＝1．14．（16分）将15个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，求每个盒子放入的球的个数不小于它的编号数的放法有多少种？15．（16分）已知如图1，在△ABC中，高BD、CE交于点H（1）求证：∠ADE＝∠ABC；（2）如图2，连结AH分别交DE、BC于G、F，若AH＝4，求AG的长．16．（18分）n个人参加象棋循环赛，每两人都对弈一局且决出胜负．（1）求总共对弈多少局？（2）证明：比赛结束后，一定可以将这n个人列为一队，使得队列中的每一个人都战胜了紧跟在他后面的那个人！

2020年广东省深圳市第七届“鹏程杯”八年级邀请赛数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（满分36分，每小题6分，将你选择的答案写在题后的圆括号内）1．（6分）不能在有理数范围内分解因式的是（）A．﹣m2+n2 B．﹣m2﹣4n2 C．3m4﹣2m2﹣5 D．m2+2mn+n2﹣1【解答】解：A、﹣m2+n2＝n8﹣m2＝（n+m）（n﹣m），能分解因式；B、不能因式分解；C、利用十字相乘法能分解因式；D、利用分组分解法和公式法能分解因式．故选：B．2．（6分）已知关于x的分式方程﹣2＝的解为正数（）A．﹣2＜k＜0 B．k＞﹣2且k≠﹣1 C．k＞﹣2 D．k＜2且k≠1【解答】解：∵＝7，∴＝2，∴x＝2+k，∵该分式方程有解，∴2+k≠1，∴k≠﹣3，∵x＞0，∴2+k＞6，∴k＞﹣2，∴k＞﹣2且k≠﹣6，故选：B．3．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，AB＝4，BC＝6（）A．1：2：3 B．2：1：3 C．3：2：1 D．3：1：2【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCE＝∠DEC，∵CE是∠DCB的平分线，∴∠BCE＝∠CDE，∴∠DCE＝∠CDE，∴ED＝CD＝AB＝4，∵F是AD的中点，DF＝BC＝，∴EF＝ED﹣DF＝4﹣3＝1，∴AE＝AD﹣EF﹣DF＝6﹣3﹣3＝2，∴AE：EF：DF＝2：1：3，故选：B．4．（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，点P为边AB上一动点（且点P不与点A，B重合），PE⊥BC于E，点M为EF的中点，则PM的最小值为（）A．3 B． C．2 D．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，∴BC＝＝3，∵PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，∴∠PEC＝∠PFC＝∠EPF＝90°，∴四边形CEPF是矩形，∵M是EF的中点，∴延长PM经过点C，∴EF＝CP，PM＝PC，当PC⊥AB时，PC＝，∴PM的最小值为，故选：D．5．（6分）[a]表示不超过a的最大整数．若实数a满足方程，则[a]＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由题意得，1﹣，a﹣0．∵a＝+，∴＝a﹣，两边平方得：a﹣＝a8﹣2a+1﹣，整理得：a2﹣a+1＝2a，两边都除以a，得：a﹣1+，两边平方得：a5+1+﹣2a+2﹣，整理得：（a﹣1）7﹣2（1﹣）+，∴（a﹣6﹣）2＝6，∴a﹣1﹣＝8，∴a2﹣a﹣1＝4，解得：a＝，∵a＞0．∴a＝≈1.618，∴[a]＝2．故选：A．6．（6分）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝5，点E是直线AB、CD之间任意一点，连接AE、BE、CE、DE（）A．36 B．30 C．15 D．12【解答】解：连接BD交AC于点O，∵AB＝BC＝CD＝DA＝5，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝×5＝3，∵AB＝5，∠AOB＝90°，∴OB＝＝＝7，∴BD＝2OB＝2×3＝8，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，交DC的延长线于点G，∵AB∥CD，∠F＝90°，∴∠G＝180°﹣∠F＝90°，∴EG⊥CD，∴S△EAB+S△ECD＝AB•EF+CD•FG＝S菱形ABCD＝×24＝12，故选：D．二、填空题（满分48分，每小题8分，将你的答案写在题后的横划线处）7．（8分）已知9+与9﹣的小数部分分别是a和b8．【解答】解：∵9＜13＜16，∴3＜＜3，∴12＜9+＜13＜﹣3，∴a＝5+﹣12＝，5＜9﹣，∴b＝3﹣﹣5＝4﹣，∴原式＝（﹣4）×（4﹣﹣3）+8×（4﹣＝4﹣13﹣12+6+9+16﹣4＝4．故答案为：8．8．（8分）已知△ABC的三边a、b、c满足a3﹣a2b+ab2﹣ac2﹣b3+bc2＝0，则△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形．【解答】解：∵a3﹣a2b+ab8﹣ac2﹣b3+bc6＝0，∴（a3+ab8﹣ac2）﹣（a2b+b6﹣bc2）＝0．∴a（a4+b2﹣c2）﹣b（a4+b2﹣c2）＝6．∴（a﹣b）（a2+b2﹣c8）＝0．∴a﹣b＝0或a4+b2﹣c2＝6．即a＝b或a2+b2＝c4．∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．故答案为：等腰三角形或直角三角形．9．（8分）使代数式的值为整数的全体自然数x的和是22．【解答】解：∵原式＝＝x﹣1+，∴使得代数式的值为整数的全体自然数x分别为0、6、2、3、2，∴全体自然数x的和是0+1+7+3+5+11＝22．故答案为22．10．（8分）如图，在△ABC中，高AD和BE交于点H，则∠ABC＝45°．【解答】解：∵△ABC为锐角三角形，∴高AD和BE在三角形内．∵高AD和BE交于点H，∴∠ADC＝∠BEC＝90°．∵∠EBD+∠BHD＝90°，∠AHE+∠HAE＝90°，∴∠EAD＝∠EBD，又∵BH＝AC，∠ADC＝∠BDH＝90°，∴△BDH≌△ADC（AAS），∴BD＝AD，∵∠ADB＝90°，∴∠ABC＝45°．故答案为45°11．（8分）已知﹣＝2，则+的值为5．【解答】解：∵﹣＝5，∴＝+4，两边平方得，25﹣x2＝4+15﹣x4+4，∴4＝3，两边平方得7（15﹣x2）＝9，化简，得x2＝，∴+＝+＝5．故答案为：8．12．（8分）如图△ABC中，AB＝AC，BC＝2，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、CA的延长线于点E、F，则S△GPE﹣S△GAF的值为1．【解答】解：∵∠BAC＝90°，P是BC的中点，∴AP＝PB，AP⊥BC，∴∠PAB＝∠PBA＝45°，∠APB＝∠APC＝90°，∵∠APF＝90°﹣∠GPB，∠BPE＝90°﹣∠GPB，∠PBE＝90°+∠PAB，∴∠APF＝∠BPE，∠PAF＝∠PBE，在△APF和△BPE中，，∴△APF≌△BPE（AAS），∴S△APF＝S△PBE，∴S△GPE﹣S△AGF＝S△PAF+△PGB﹣S△AGF＝S△PAG+S△PGB＝S△PAB＝S△ABC，∵AB＝AC，BC＝8，∴AB＝AC＝2，∴S△ABC＝AB•AC＝，∴S△PGE﹣S△PAG＝S△ABC＝×2＝8．故答案为：1．三、解答题（满分66分，第13-15题16分，第16题18分）13．（16分）已知，其中x、y、z互不相等，求证：x2y2z2＝1．【解答】解：由可得：x﹣y＝﹣，同理，zx＝，∴x6y2z2＝××＝2．故结论得证．14．（16分）将15个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，求每个盒子放入的球的个数不小于它的编号数的放法有多少种？【解答】解：先在编号为2，3的盒内分别放入6个，还剩12个小球，三个盒内每个至少再放入1个，将12个球排成一排，有11个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中，共有＝55种方法．15．（16分）已知如图1，在△ABC中，高BD、CE交于点H（1）求证：∠ADE＝∠ABC；（2）如图2，连结AH分别交DE、BC于G、F，若AH＝4，求AG的长．【解答】（1）证明：∵BD，CE是△ABC的高，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，又∵∠A＝∠A，∴△ACE∽△ABD，∴，∴，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠ABC；（2）解：如图2，过点E作EM⊥BD于M，∵BE⊥EC，DN⊥EC，∴∠BEH＝∠DNH＝90°，又∵∠EHB＝∠DHN，∴△BEH∽△DNH，∴＝，同理可得：，∵＝＝，＝＝，∴＝，＝，∴•＝•＝，同理可得：•＝•＝，∴＝，即，∴，∴＝，∴AG＝3．16．（18分）n个人参加象棋循环赛，每两人都对弈一局且决出胜负．（1）求总共对弈多少局？（2）证明：比赛结束后，一定可以将这n个人列为一队，使得队列中的每一个人都战胜了紧跟在他后面的那个