专题15综合训练（一）

专题15综合训练（一）一：单项选择题（共8小题，每题3分，共24分）1．在去年的足球联赛上，一队每场比赛平均失球个数是1.5，全年比赛失球个数的标准差是1.1；二队每场比赛平均失球个数是2.1，全年比赛失球个数的标准差是0.4.则下列说法错误的是（

）A．平均来说一队比二队防守技术好 B．二队很少失球C．一队有时表现差，有时表现又非常好 D．二队比一队技术水平更不稳定【答案】B【分析】利用平均数和标准差的定义及意义即可求解.【解析】对于A，因为一队每场比赛平均失球数是1.5，二队每场比赛平均失球数是2.1，所以平均说来一队比二队防守技术好，故A正确；对于B，因为二队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4，所以二队经常失球，故B错误；对于C，因为一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，所以一队有时表现很差，有时表现又非常好，故C正确；对于D，因为一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，所以二队比一队技术水平更稳定，故D正确;故选：B.2．某高中学校开展学生对宿舍管理员满意度的调查活动，已知该校高一年级有学生1100人，高二年级有学生1000人，高三年级有学生900人.现从全校学生中用分层抽样的方法抽取60人进行调查，则抽取的高一年级学生人数为（

）A．18 B．20 C．22 D．30【答案】C【分析】求出高一年级学生、高二年级学生、高三年级学生之比，然后可得答案.【解析】该校高一年级学生、高二年级学生、高三年级学生之比为所以抽取的高一年级学生人数为故选：C3．在试验“甲射击三次，观察中靶的情况”中，事件A表示随机事件“至少中靶1次”，事件B表示随机事件“正好中靶2次”，事件C表示随机事件“至多中靶2次”，事件D表示随机事件“全部脱靶”，则（）A．A与C是互斥事件 B．B与C是互斥事件C．A与D是对立事件 D．B与D是对立事件【答案】C【分析】根据互斥事件、对立事件的定义即可求解.【解析】解：因为A与C，B与C可能同时发生，故选项A、B不正确；B与D不可能同时发生，但B与D不是事件的所有结果，故选项D不正确；A与D不可能同时发生，且A与D为事件的所有结果，故选项C正确．故选：C.4．已知复数z满足，其中为虚数单位，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用复数的除法运算求解.【解析】解：因为，所以，故选：B5．已知非零向量与满足，且，则为（

）A．等腰非等边三角形 B．等边三角形C．三边均不相等的三角形 D．直角三角形【答案】A【分析】由，得，再由，得判断.【解析】解：都为单位向量，所以在的角平分线上，由，得,由，得，所以为等腰非等边三角形，故选：A6．函数是奇函数，则等于（以下）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，化简函数的解析式可得结合正弦函数的性质可得若函数为奇函数，则有从而可得答案.【解析】根据题意，若函数为奇函数，则有即.故选：A．7．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依题意可得为的中点，即可得到，再由余弦定理及基本不等式求出的最大值，最后利用数量积的运算律得到的最小值；【解析】解：因为，所以为的中点，所以，由余弦定理，即，即，所以，当且仅当时取等号，所以，即所以当且仅当时取等号，故选：C8．《九章算术》卷第五《商功》中描述几何体“阳马”为底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥，在直角梯形中，，，过点A作交SC于点D，以AD为折痕把折起，当几何体为阳马时，下列四个命题：①；②平面；③SA与平面所成角的大小等于；④AB与SC所成的角等于．其中正确的是（

）A．①② B．①③ C．②④ D．③④【答案】A【分析】根据阳马的定义得平面，通过证明平面，可得，可判断①；利用，可证平面，可判断②；利用平面，得到是SA与平面所成的角，计算可判断③；根据，可得是AB与SC所成的角，计算可判断④.【解析】当几何体为阳马时，平面，对于①，平面，所以，又，，故平面，所以，故①正确；对于②，因为，且不在平面内，平面，故平面，所以②正确；对于③，由①知，平面，连，则是SA与平面所成的角，因为，，所以，故③不正确；对于④，因为，所以是AB与SC所成的角，因为，所以，故④不正确.故选：A二：多项选择题（共4小题，每小题3分，共12分）9．已知，是随机事件，则下列结论正确的是（

）．A．若，是对立事件，则，是互斥事件B．若事件，相互独立，则C．假如，，若事件，相互独立，则与不互斥D．假如，，若事件，互斥，则与相互独立【答案】AC【分析】利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的意义对各选项逐一分析判断作答.【解析】对于A，由对立事件定义知，，是对立事件，则，是互斥事件，A正确；对于B，事件，相互独立，则，而不一定成立，B不正确；对于C，因，，事件，相互独立，则，即与可以同时发生，它们不互斥，C正确；对于D，因事件，互斥，则，而，，即，于是得与不相互独立，D不正确.故选：AC10．PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一．划分等级为日均值在以下，空气质量为一级，在，空气质量为二级，超过为超标．如图是某地12月1日至10日的日均值（单位：），则下列说法正确的是（

）A．这10天日均值的80%分位数为60B．从日均值看，前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差C．从日均值看，前5天的日均值的方差小于后5天日均值的方差D．这10天中日均值的平均值是50【答案】BC【分析】A由百分位数的定义求80%分位数；B、C求出前后5天的极差、方差判断；C由平均值求法求10天中日均值的平均值即可.【解析】由图知：从小到大为，而，所以分位数为，A错误；日均值的平均值，D错误；前5天极差为，后5天极差为，B正确；前5天平均值为，后5天平均值为，所以前5天的日均值的方差，后5天日均值的方差，C正确；故选：BC11．已知数据的平均数为，标准差为，则（

）A．数据的平均数为，标准差为B．数据的平均数为，标准差为C．数据的平均数为，方差为D．数据的平均数为，方差为【答案】BC【分析】根据平均数、方差、标准差的定义逐项判断可得答案.【解析】，，对于A，与不存在关系，不一定相等，故错误；对于B，，，所以数据的标准差为，故正确；对于C，，，故正确；对于D，数据的平均数为，方差为，故错误.故选：BC.12．已知正四棱台的上底面的边长为，下底面ABCD的边长为，高为，则（

）A．侧棱长为4 B．异面直线与BC所成角为C．二面角的余弦值为 D．与底面ABCD所成角为【答案】AD【分析】根据正四棱台的结构特征及线线角，线面角与面面角的求法逐个选项判断即可.【解析】易得，A选项，设上下底面的中心分别为，O，则四边形为直角梯形．其中，，，所以，A正确；B选项：因为，所以与BC所成角即为与AD所成角，在等腰梯形中，，，，过作于，所以与AD所成角的余弦值为，B错误；C选项：点在底面ABCD的射影为OB的中点，设为E，过E作，垂足为则，，面，，所以平面，所以，则为二面角的平面角．因为，，所以，，C错误；D选项：正四棱台中，与底面ABCD所成角与与底面ABCD所成角相等，由C选项知为与底面ABCD所成角，，得，故D正确．故选：AD.三：填空题（共4小题，每小题3分，共12分）13．复数、满足，，则______．【答案】【分析】可以采用向量方法求解，原问题等价于：已知，，求.【解析】原题等价于，，求.，，，.故答案为：.14．甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束）.根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高，反之，降低，则甲以取得胜利的概率为______________.【答案】0.174【分析】设甲在第一、二、三、四局比赛中获胜分别为事件、、、，则所求概率为：，再根据概率计算公式计算即可.【解析】设甲在第一、二、三、四局比赛中获胜分别为事件、、、，由题意，甲要以取胜的可能是，，，所以=.故答案为：0.174.15．若，且，，则__________．【答案】【分析】由条件分析知并求得、，根据及差角余弦公式求值即可.【解析】由题设且，又，所以，故，则.故答案为：16．已知三角形，点D为线段上一点，是的角平分线，I为直线上一点，满足，，，则_______．【答案】8【分析】由已知有为△的旁心且，作于点，可得，再由，即可求值.【解析】由为方向上的单位向量，易知：是外角的角平分线，又BD是的角平分线，即为△的旁心，而，，作于点，则，如下图示，所以，又，所以.故答案为：8四：解答题（共6小题，52分）17.（8分）（1）已知复数，.若是纯虚数，求实数的值；（2）已知复数（，是虚数单位））.设是的共轭复数，复数在复平面上对应的点在第一象限，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）由题知，再解方程即可得答案；（2）根据除法运算得，再根据共轭复数的概念与几何意义求解即可.【解析】解：（1）因为复数，是纯虚数，所以，解得，所以.（2），所以，因为复数在复平面上对应的点在第一象限，所以，，解得，所以，的取值范围为18.（8分）某试验田分别种植了甲乙两种水稻，为了研究这两种水稻的产量，抽检了甲、乙两种水稻的谷穗各1000株．经统计，得到每株谷穗的粒数的频率分布直方图如图：(1)求乙种水稻谷穗的粒数落在之间的频率，并将频率分布直方图补齐；(2)试根据频率分布直方图估计甲种水稻谷穗粒数的中位数与平均数（精确到0.1）；(3)根据频率分布直方图，请至少从两方面对甲乙两种水稻谷穗的粒数作出评价．【答案】(1)0.2；频率分布直方图见解析(2)308.3；307.5(3)答案见解析（答案不唯一）【分析】（1）根据频率分布直方图的小矩形的面积和为1，可求落在[325，375）内的频率，利用组距为50，求出小矩形的高；（2）根据中位数的左右两边小矩形的面积和相等，求得从左开始面积和为0.5的小矩形底边横坐标值，即为中位数；计算各个小矩形的底边中间值乘以其面积之和，即为数据的平均数；（3）根据甲、乙两种水稻谷粒的平均数大小和频率分布情况说明．【解析】(1)乙种水稻谷穗的粒数落在[325，375）之间的频率为1﹣50×（0.002+0.004+0.008+0.002）＝0.2，频率分布直方图如图所示．(2)设中位数估计值为x，则有

50×（0.004+0.002）+（x﹣275）×0.006＝0.5，解得x＝308.3由直方图得平均数的估计值为50×0.004×200+50×0.002×250+50×0.006×300+50×0.003×350+50×0.005×400＝307.5，中位数和平均数的估计值分别为308.3和307.5，(3)乙稻谷谷穗粒数平均值为50×0.002×200+50×0.004×250+50×0.008×300+50×0.004×350+50×0.002×400＝300由于乙稻谷谷穗粒数平均值的估计值为300＜307.5故可得出结论：乙稻谷谷穗粒数总体上少于甲种水稻，又从频率分布直方图可看出乙稻谷穗粒数比甲种水稻要整齐．19.（8分）甲､乙两名同学玩摸球游戏，在一个不透朋的纸箱中装有大小相同的6个球，其中编号为1的球有3个，编号为2的球有2个，编号为3的球有1个，规定每人一次性取其中的3个，取出编号为1的球记1分，取出编号为2的球记2分，取出编号为3的球记3分.首先由甲取出3个球，并不再将所取球放回原纸箱中，然后由乙取出剩余的3个球.规定取出球的总积分多者获.(1)求甲不输的概率；(2)从概率的角度分析先后取球的顺序是否影响比赛的公平性.【答案】(1)；(2)先后取球的顺序不影响比赛的公平性【分析】（1）根据题意，记编号为1的球为，编号为2的球为，编号为3的球为，进而列举基本事件，结合古典概型概率公式和对立事件公式求解即可；（2）结合（1），分别求甲、乙获胜的概率即可判断.【解析】(1)解：记编号为1的球为，编号为2的球为，编号为3的球为，则甲取球的所有情况有，，共20种.因为6个小球的总分为分，所以若要甲不输，则甲要至少得5分.设事件表示“甲不输”，则包含，共7个基本事件，所以，故甲不输的概率.(2)解：由甲先取球时，若甲获胜，得分只能是7分或6分，即取出的3个小球中有1个编号为3的球和2个编号为2的球，或有1个编号为3的球和1个编号为2的球和1个编号为1的球，有，，共7种情况，即甲获胜的概率.若甲､乙平局，则各得5分，包含，共6个基本事件，所以甲､乙平局的概率，所以甲输，即乙获胜的概率，因此甲､乙获胜的概率相同.同理，由乙先取球时，甲､乙获胜的概率也相同.故先后取球的顺序不影响比赛的公平性.20.（8分）在中，内角的对边分别为，，，且．(1)求角的大小；(2)若是锐角三角形，，求面积的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用三角恒等变换化简即得解；（2）求出，再利用正弦定理和三角函数的图象和性质求出的范围即得解.【解析】(1)解：由得，即，

又，所以

因为，故.(2)解：，

由正弦定理知：.因为是锐角三角形，所以,所以，

于是，则.

故.21.（10分）如图所示，在正方体中，点在棱上，且，点、、分别是棱、、的中点，为线段上一点，．（1）若平面交平面于直线，求证：；（2）若直线平面，试作出平面与正方体各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹；设平面与棱交于点，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）作图步骤见解析，三棱锥的体积为【分析】（1）根据面面平行的性质即可得到，再结合线线平行的传递性即可证明结论；（2）根据公理“一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内”作出平面与正方体各个面的交线即可；根据四点共面，且三角形与三角形面积相等，那么三棱锥的体积等于三棱锥的体积，直接利用三棱锥的体积公式求解即可．【解析】解：（1）证明：在正方体中，因为平面平面，平面平面，平面平面所以，因为点、分别是棱、的中点，所以，所以．（2）作图步