2024-2025学年新教材高中数学第三章空间向量与立体几何3.4.3第2课时空间中的距离问题课后素养落实含解析北师大版选择性必修第一册

PAGE课后素养落实(二十八)空间中的距离问题(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则点A1与对角线BC1所在直线间的距离是()A．eq\f(\r(6),2)aB．aC．eq\r(2)aD．eq\f(a,2)A[如图建立空间直角坐标系，则A1(a，0，a)，B(a，a，0)，C1(0，a，a)．∴eq\o(A1B,\s\up7(→))＝(0，a，－a)，|eq\o(A1B,\s\up7(→))|＝eq\r(2)a，eq\o(BC1,\s\up7(→))＝(－a，0，a)，|eq\o(BC1,\s\up7(→))|＝eq\r(2)a．∴点A1到BC1的距离d＝eq\r(|\o(A1B,\s\up7(→))|2－\o(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(A1B,\s\up7(→))·\f(\o(BC1,\s\up7(→)),|\o(BC1,\s\up7(→))|)))\s\up12(2)))＝eq\r(2a2－\f(a2,2))＝eq\f(\r(6),2)a．]2．如图，已知ABC­A1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，点C1到平面AB1D的距离为()A．eq\f(\r(2),4)a B．eq\f(\r(2),8)aC．eq\f(3\r(2),4)a D．eq\f(\r(2),2)aA[∵ABB1A1为正方形，∴A1B⊥AB1，又平面AB1D⊥平面ABB1A1，∴A1B⊥面AB1D，∴eq\o(A1B,\s\up7(→))是平面AB1D的一个法向量，由于C1D＝CD，所以C1到平面AB1D的距离等于C到平面AB1D的距离，设点C到平面AB1D的距离为d，则d＝eq\f(|\o(AC,\s\up7(→))·\o(A1B,\s\up7(→))|,|\o(A1B,\s\up7(→))|)＝eq\f(|\o(AC,\s\up7(→))·\o(A1A,\s\up7(→))＋\o(AB,\s\up7(→))|,\r(2)a)＝eq\f(|\o(AC,\s\up7(→))·\o(A1A,\s\up7(→))＋\o(AC,\s\up7(→))·\o(AB,\s\up7(→))|,\r(2)a)＝eq\f(|0＋a×a×cos60°|,\r(2)a)＝eq\f(\r(2),4)a．]3．正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面边长为2eq\r(2)，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD＝G．则三棱锥B1­EFD1的体积V等于()A．eq\f(\r(6),6)B．eq\f(16\r(3),3)C．eq\f(16,3)D．16C[以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(2eq\r(2)，2eq\r(2)，4)，D1(0，0，4)，E(2eq\r(2)，eq\r(2)，0)，F(eq\r(2)，2eq\r(2)，0)，∴eq\o(D1E,\s\up7(→))＝(2eq\r(2)，eq\r(2)，－4)，eq\o(D1F,\s\up7(→))＝(eq\r(2)，2eq\r(2)，－4)，eq\o(D1B1,\s\up7(→))＝(2eq\r(2)，2eq\r(2)，0)，∴cos〈eq\o(D1E,\s\up7(→))，eq\o(D1F,\s\up7(→))〉＝eq\f(\o(D1E,\s\up7(→))·\o(D1F,\s\up7(→)),|D1E|·|D1F|)＝eq\f(24,\r(26)·\r(26))＝eq\f(12,13)，∴sin〈eq\o(D1E,\s\up7(→))，eq\o(D1F,\s\up7(→))〉＝eq\f(5,13)，所以Seq\s\do5(△)eq\s\do5(D1EF)＝eq\f(1,2)|eq\o(D1E,\s\up7(→))|·|eq\o(D1F,\s\up7(→))|·sin〈eq\o(D1E,\s\up7(→))，eq\o(D1F,\s\up7(→))〉＝eq\f(1,2)×eq\r(26)×eq\r(26)×eq\f(5,13)＝5，又∵平面D1EF的法向量为n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(3,4)\r(2)))，∴点B1到平面D1EF的距离d＝|eq\o(D1B1,\s\up7(→))·eq\f(n,|n|)|＝eq\f(16,5)，∴Veq\s\do5(B1­EFD1)＝eq\f(1,3)·Seq\s\do5(△EFD1)·d＝eq\f(1,3)×5×eq\f(16,5)＝eq\f(16,3)．]4．△ABC的顶点分别为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD等于()A．5B．eq\r(41)C．4D．2eq\r(5)A[设eq\o(AD,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→))，D(x，y，z)．则(x－1，y＋1，z－2)＝λ(0，4，－3)．∴x＝1，y＝4λ－1，z＝2－3λ，∴eq\o(BD,\s\up7(→))＝(－4，4λ＋5，－3λ)．∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，∴λ＝－eq\f(4,5)，∴eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(9,5)，\f(12,5)))，∴|eq\o(BD,\s\up7(→))|＝eq\r(16＋\f(81,25)＋\f(144,25))＝5．]5．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为()A．eq\r(2)aB．eq\r(3)aC．eq\f(\r(2),3)aD．eq\f(\r(3),3)aD[以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1，1)，由A(a，0，0)，B(a，a，0)，得eq\o(BA,\s\up7(→))＝(0，－a，0)，则两平面间的距离d＝|eq\o(BA,\s\up7(→))·eq\f(n,|n|)|＝eq\f(a,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)a．]二、填空题6．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，则点C1到直线CE的距离为________．eq\f(\r(5),3)[建立空间直角坐标系，如图，则C(1，1，0)，C1(1，1，1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，1))，所以eq\o(EC,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，－1))，eq\o(CC1,\s\up7(→))＝(0，0，1)，所以eq\o(CC1,\s\up7(→))在eq\o(EC,\s\up7(→))上的投影长度为eq\f(\o(CC1,\s\up7(→))·\o(EC,\s\up7(→)),|\o(EC,\s\up7(→))|)＝eq\f(－1,\r(1＋\f(1,4)＋1))＝－eq\f(2,3)，所以点C1到直线EC的距离d＝eq\r(|\o(CC1,\s\up7(→))|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\x(\o(CC1,\s\up7(→))·\o(EC,\s\up7(→))),|\o(EC,\s\up7(→))|)))\s\up12(2))＝eq\r(1－\f(4,9))＝eq\f(\r(5),3)．]7．设A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(－5，－4，8)，则点D到平面ABC的距离为________．eq\f(49\r(17),17)[设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)，∵n·eq\o(AB,\s\up7(→))＝0，n·eq\o(AC,\s\up7(→))＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，y，z·2，－2，1＝0，,x，y，z·4，0，6＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－2y＋z＝0，,4x＋6z＝0，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(3,2)z,y＝－z))，取z＝－2，则n＝(3，2，－2)．又eq\o(AD,\s\up7(→))＝(－7，－7，7)，∴点D到平面ABC的距离为d＝|eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\f(n,|n|)|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3×－7＋2×－7－2×7,\r(32＋22＋－22))))＝eq\f(49,\r(17))＝eq\f(49\r(17),17)．]8．设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是________．eq\f(2\r(3),3)[如图建立空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)，∴eq\o(D1A1,\s\up7(→))＝(2，0，0)，eq\o(DA1,\s\up7(→))＝(2，0，2)，eq\o(DB,\s\up7(→))＝(2，2，0)，设平面A1BD的法向量n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DA1,\s\up7(→))＝2x＋2z＝0，,n·\o(DB,\s\up7(→))＝2x＋2y＝0，))取x＝1，得n＝(1，－1，－1)，∴点D1到平面A1BD的距离d＝|eq\o(D1A1,\s\up7(→))·eq\f(n,|n|)|＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3)．]三、解答题9．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，点E是AD1的中点，求点E到直线BD的距离．[解]建立如图所示的空间直角坐标系．设EF⊥BD，F为垂足，由于F的位置未确定，设eq\o(DF,\s\up7(→))＝λeq\o(DB,\s\up7(→))(λ∈R)，则F(λ，λ，0)．∵eq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))，∴eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\o(DF,\s\up7(→))－eq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,2)，λ，－\f(1,2)))．∵eq\o(EF,\s\up7(→))⊥eq\o(DB,\s\up7(→))，eq\o(DB,\s\up7(→))＝(1，1，0)，∴eq\o(EF,\s\up7(→))·eq\o(DB,\s\up7(→))＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,2)))＋λ＝0．∴λ＝eq\f(1,4)．∴eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(1,4)，－\f(1,2)))．∴|eq\o(EF,\s\up7(→))|＝eq\f(\r(6),4)，故点E到直线BD的距离为eq\f(\r(6),4)．10．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，试求点F到平面A1D1E的距离．[解]取AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．如图，则A1(0，0，1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，\f(1,2)))，D(0，1，0)，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，0))，D1(0，1，1)．∴eq\o(A1E,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，－\f(1,2)))，A1D1＝(0，1，0)．设平面A1D1E的一个法向量为n＝(x，y，z)．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(A1E,\s\up7(→))＝0，,n·\o(A1D1,\s\up7(→))＝0，))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)z＝0，,y＝0.))取z＝2，得n＝(1，0，2)．又eq\o(A1F,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，－1))，∴点F到平面A1D1E的距离d＝|eq\o(A1F,\s\up7(→))·eq\f(n,|n|)|＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－2)),\r(5))＝eq\f(3\r(5),10)．11．如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值是()A．eq\f(\r(3),3)a B．eq\f(\r(2),2)aC．eq\f(1,2)a D．aA[设M(0，m，m)(0≤m≤a)，eq\o(AD1,\s\up7(→))＝(－a，0，a)，直线AD1的一个单位方向向量s0＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0，\f(\r(2),2)))，由eq\o(MD1,\s\up7(→))＝(0，－m，a－m)，故点M到直线AD1的距离d＝eq\r(\o(|\o(MD1,\s\up7(→))|2－|\o(MD1,\s\up7(→))·s0|2))＝eq\r(m2＋a－m2－\f(1,2)a－m2)＝eq\r(\f(3,2)m2－am＋\f(1,2)a2)，故当m＝－eq\f(－a,2×\f(3,2))＝eq\f(a,3)时，d取最小值eq\f(\r(3),3)a．]12．如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，Q为线段AP的中点，AB＝3，BC＝4，PA＝2，则点P到平面BQD的距离为()A．eq\f(5,13)B．eq\f(12,13)C．eq\f(13,5)D．eq\f(13,12)B[如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(3，0，0)，D(0，4，0)，P(0，0，2)，Q(0，0，1)，eq\o(QB,\s\up7(→))＝(3，0，－1)，eq\o(BD,\s\up7(→))＝(－3，4，0)，eq\o(QP,\s\up7(→))＝(0，0，1)．设平面BQD的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BD,\s\up7(→))＝0，,n·\o(QB,\s\up7(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x＋4y＝0，,3x－z＝0.))令x＝4，则y＝3，z＝12，∴n＝(4，3，12)．∴点P到平面BQD的距离d＝eq\f(|\o(QP,\s\up7(→))·n|,|n|)＝eq\f(12,13)．]13．(多选题)若平面α∥平面β，直线l⊂α，且平面α与β之间的距离为d，下面给出了四个命题，其中正确的命题的为()A．β内有且仅有一条直线与l的距离等于dB．β内全部直线与l的距离等于dC．β内多数条直线与l的距离等于dD．β内全部的直线与α的距离都等于d[答案]CD14．(一题两空)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，全部棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则(1)点B1到平面ABC1的距离为________；(2)点C到平面ABC1的距离为________．(1)eq\f(\r(21),7)(2)eq\f(\r(21),7)[(1)法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，B(0，1，0)，B1(0，1，1)，C1(0，0，1)，则eq\o(C1A,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，－1))，eq\o(C1B1,\s\up7(→))＝(0，1，0)，eq\o(C1B,\s\up7(→))＝(0，1，－1)．设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，1)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(C1A,\s\up7(→))·n＝\f(\r(3),2)x＋\f(1,2)y－1＝0，,\o(C1B,\s\up7(→))·n＝y－1＝0，))解得n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1，1))，则所求距离为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(C1B1,\s\up7(→))·\f(n,|n|)))＝eq\f(1,\r(\f(1,3)＋1＋1))＝eq\f(\r(21),7)．法二：连接AB1(图略)，VB1­ABC1＝VA­BB1C1，VA­BB1C1＝eq\f(1,3)Seq\s\do5(△BB1C1)×eq\f(\r(3),2)AB＝eq\f(\r(3),12)．设点B1到平面ABC1的距离为h，则VB1­ABC1＝eq\f(1,3)Seq\s\do5(△ABC1)·h，Seq\s\do5(△ABC1)＝eq\f(1,2)AB×eq\f(\r(7),2)＝eq\f(\r(7),4)，所以h＝eq\f(\r(21),7)．(2)设B1C与BC1相交于点D，则D为B1C的中点，所以点B1到平面ABC1的距离与点C到平面ABC1的距离相等．所以点C到平面ABC1的距离为eq\f(\r(21),7)．]15．如图，已知ABCD­A1B1C1