《应用数值分析》课件数值分析5.1-5.2线性方程组的数值解法

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第5章线性方程组的数值解法线性方程组Ax=b的一般数值解法：适用于低阶稠密方程组非零元素较多，零元素较少适用于大型稀疏方程组上万阶，零元素很多，非零元素很少评价求解Ax=b数值方法好坏的标准：§5.2线性方程组的性态及条件数

矩阵的基本运算(5)单位矩阵(1)矩阵加法(2)矩阵与标量的乘法(3)矩阵与矩阵乘法(4)转置矩阵(6)非奇异矩阵

称为非奇异矩阵.

如果均为非奇异矩阵，

设如果则称是的逆矩阵，记为且则(7)矩阵的行列式

设则的行列式可按任一行(或列)展开，其中为的代数余子式，即

的余子式.为元素行列式性质矩阵的特征值与谱半径设若存在数（实数或复数）和非零向量，使（1）则称为的特征值，为对应的特征向量，称为矩阵的谱半径.（2）有非零解，

由(1)知可使齐次线性方程组

的全体特征值记为的谱，记作，即故系数行列式，记

为矩阵的特征多项式，方程(3)称为矩阵的特征方程.（3）记行列式展开

因为次代数方程复数域中有个根故故矩阵个特征值是它的特征方程(3)的个根.且（4）记（5）称为的迹.

的特征值和特征向量的其他性质：(1)与有相同的特征值.(2)若非奇异，则的特征值为，特征向量为.(3)相似矩阵有相同的特征多项式.矩阵的特征方程为故特征值为2,2，-7

例

求的特征值及谱半径

的谱半径为解

设(1)对角矩阵

(2)三对角矩阵(3)上三角矩阵(4)海森伯格（Hessenberg）阵(5)对称矩阵

(6)埃尔米特矩阵(7)对称正定矩阵

特殊矩阵(12)设矩阵，若且至少有一个不等式严格成立，则称矩阵为弱对角占优阵，对所有不等式严格成立，则称矩阵

为严格对角占优阵。若(8)正交矩阵(9)酉矩阵(10)初等置换阵单位矩阵交换第行与第行(或交换第列与第列)(11)置换阵

（为交换第行与第行得到的矩阵）；（为交换第列与第列得到的矩阵）；由初等置换阵的乘积得到的矩阵.

定理1

设则下述命题等价：(1)对任何方程组有唯一解.(2)齐次方程组只有唯一解.(4)存在.(5)的秩(3)或的特征值定理2

设为对称矩阵.如果则为对称正定阵.定理3

设为对称正定阵，则(1)

为非奇异矩阵，且亦是对称正定阵.(2)

记为的顺序主子阵，则亦是对称正定矩阵，其中(3)

的特征值(4)

的顺序主子式都大于零，即

定理4(若尔当（Jordan）标准型)设为阶矩阵，则存在一个非奇异矩阵使

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