2025年高考数学重难点突破训练：平面向量中的最值与范围问题【十大题型】（含答案及解析）

重难点15平面向量中的最值与范围问题【十大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1定义法求最值（范围）问题】..........................................................4

【题型2基底法求最值（范围）问题】..........................................................4

【题型3坐标法求最值（范围）问题】..........................................................5

【题型4与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】.........................................6

【题型5与数量积有关的最值（范围）问题】....................................................7

【题型6与模有关的最值（范围）问题】........................................................8

【题型7平面向量中参数的最值（范围）问题】..................................................8

【题型8极化恒等式】.........................................................................9

【题型9矩形大法】..........................................................................10

【题型10等和（高）线定理】....................................................................11

►命题规律

1、平面向量中的最值与范围问题

平面向量中的范围、最值问题是高考的热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的

交汇组合；其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系

数的范围等.

►方法技巧总结

【知识点1平面向量中的最值与范围问题的解题策略】

1.平面向量中的最值（范围）问题的两类求解思路：

（i）“形化”，即利用平面向量的相关知识将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后结合平面图

形的特征直接进行判断；

（2）“数化"，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方

程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.

2.平面向量中的最值（范围）问题的常用解题方法：

（1）定义法

①利用向量的概念及其运算将所求问题进行转化，得到相应的等式关系；

②运用基木不等式、二次函数求其最值（范围）问题，即可得出结论.

（2）坐标法

①建立适当的直角坐标系，把几何图形放在坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标；

②将平面向量的运算坐标化，进行相应的代数运算和向量运算；

③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值(范围).

(3)基底法

①适当选取一组基底，利用基底转化向量；

②写出向量之间的联系，根据向量运算律化简目标，构造关于设定未知量的关系式来进行求解；

③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值(范围)，

即可得出结论.

【知识点2极化恒等式】

1.极化恒等式的证明过程与几何意义

(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：

|£+斤+耳_斤=2(|浦+时).

证明：不妨设在=£,而=3,贝!］又=%+B,DB=a-b,

匹卜定=R+.第2+2a4+W①，

|喝2=丽?=(1可=@-2屋3+同2②，

①②两式相加得：

\AC［+\DB［=2(@+W卜2(画2+1石0.

(2)极化恒等式：

上面两式相减，得：［君=+一--------极化恒等式

平行四边形模式：=「-|0同［.

2.几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平

方差的

4

(1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角

线长”平方差的;，即:.I=(如图).

⑵三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即=

/2一应声(〃为2C的中点X如图).

极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关

【知识点3矩形大法】

1.矩形大法

矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等.

即：已知点。是矩形/BCD与所在平面内任一点，可以得到：O^+OC2=OB2+OD2.

【知识点4等和(高)线定理】

1.等和(高)线定理

(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若苏=%51+〃加Q,〃eR),

则%+〃=1,由△048与40AE相似，必存在一个常数k,kER,使得OP'^kOP,则

OP'=kOP=k^OA+k^iOB,又OP'=xOA+yOB(x,yGR),-'-x+y=k^+k/i=k；反之也成立.

(2)平面内一个基底｛51,而｝及任一向量而，OP'=XOA+//O3(/,Z/eR),若点P在直线N8上或在平

行于N8的直线上，贝IU+〃=M定值)；反之也成立，我们把直线48以及与直线N8平行的直线称为等和(高)

线.

①当等和线恰为直线时，k=\-,

②当等和线在。点和直线之间时，蛇(0,1)；

③当直线4B在。点和等和线之间时，任(1,+8)；

④当等和线过。点时，A=0；

⑤若两等和线关于。点对称，则定值左1，左2互为相反数；

⑥定值k的变化与等和线到0点的距离成正比.

►举一反三

【题型1定义法求最值（范围）问题】

【例1】（24-25高三上•广东•开学考试）已知单位向量无修的夹角为泰则|瓦-1（互-五）|（teR）的最小值为

()

A.|B.烂C.1D.1

Z24

【变式1-1]（23-24高一下•安徽芜湖•期中）如图，已知点G是△4BC的重心，过点G作直线分别与ZB,AC

两边交于M,N两点，设彳而=%同，AN=yAC,贝!|x+4y的最小值为（）

A.9B.4C.3D.|

【变式1-2]（23-24高一下•陕西西安•阶段练习）点。是△ABC所在平面内一点，若出+方+而=0,AM

=久屈，AN=yAC,MO=AON,贝by的最小值为（）

124

A.-B.1C.-D.-

【变式1-3]（23-24高一下•上海•期末）已知向量2,注，满足同=同=1,a-b=-|,c=xa+yb

（x、y£R,y>0）,则下列四个命题中，正确命题的个数是（）.

①若x=l,则目的最小值为冬

②若久=1，则存在唯一的力使得方•工=0；

③若晅|=1,贝放+y的最小值为一1；

④若©=1,贝皈•c+c•石的最小值为一看

A.1B.2C.3D.4

【题型2基底法求最值（范围）问题】

【例2】（23・24高一下•重庆巴南•阶段练习）在矩形ZBCD中，已知瓦F分别是BC,CD上的点，且满足族=丽

存=2万.若点P在线段BD上运动，且”=〃!E+m4/”,〃ER）,则1+4的取值范围为（）

A[一级]B.[|,|]C.[|,1]D,[-1.|]

【变式2-1]（23-24高一下•浙江•期中）如图，在四边形48CD中，AB\\CD,AB=2CD,P为线段CD上一个

动点（含端点），AC=mDB+nAPf则m+九的取值范围是（）

A.（0,1]B.[2,3]C.[1,2]D.[2,4）

【变式2-2]（23-24高一下•河南•阶段练习）已知口45。。中，点尸在对角线4。上（不包括端点4C）,

点。在对角线5。上（不包括端点3,。），若羽=九荏+%而，而=超四+〃2前，记2周一〃1的最小

17

值为次，彳+丁的最小值为〃，则（）

19-19

AA.m=n=-B.m=n=-

oZ4Z

19-19

C.m=~-,n=-D.m=--,n=-

【变式2-3]（23-24高三下•云南•阶段练习）已知。为△ABC的内心，角/为锐角，sin&=q，若而=〃

O

AB+AAC,贝!J〃+a的最大值为（）

A.-ZB.74C.~5D.6

【题型3坐标法求最值（范围）问题】

【例3】（2024•河北沧州•一模）如图，在等腰直角△2BC中，斜边48=4a,点。在以8c为直径的圆上

运动，贝犷话+而|的最大值为（）

A.4V6B.8C.6V3D.12

【变式3-1]（2024•四川成都三模）在矩形48CD中，48=5,2。=4,点E满足2族=3而，在平面48CD

中，动点P满足无♦丽=0,则丽.加的最大值为（）

A.V41+4B.V41-6C.2V13+4D.2413—6

【变式3-2]（2024•湖南永州•三模）在△48C中，N"B=120。，|XC|=3,|BC|=4,DC-~DB^0,^\\AB+AD\

的最小值为（）

A.6V^—2B.25/19—4C.3V3-1D.V19-2

【变式3-3]（2024・贵州贵阳•一模）如图，在边长为2的正方形4BCD中.以C为圆心，1为半径的圆分别

交CD,BC于点E,F.当点尸在劣弧EF上运动时，丽•市的取值范围为（）

A.[1_-JB.[1-2^2,-1]

C.[-1,1-V2]D.[1-2vxi-

【题型4与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】

【例4】（2024•四川遂宁•模拟预测）在△4BC中，点歹为线段2C上任一点（不含端点），^AF=xAB+2y

AC（x>0,y>0）,贝岭+：的最小值为（）

A.3B.4C.8D.9

【变式4-1]（23-24高一下•广西南宁•阶段练习）在△ABC中，点。满足丽=2沆，过点。的直线分别交

射线ZB,AC于不同的两点跖N.设前='荏，丽=/，则在+九的最小值是（）

323

A.3B.1C.—D.—

loIO

【变式4-2]（23-24高一下•安徽六安•期末）在△A8C中，已知布•前=9,sinB=cosZsinC,SAABC=6,P

为线段4B上的一点，且而="啬+噜j，贝岭+和勺最小值为（）

【变式4-3]（2024•全国•模拟预测）如图所示，在△ABC中，M为线段8c的中点，G为线段4M上一点，

AG=2GM,过点G的直线分别交直线AB,4C于P,Q两点.设屈=%而（久>。），左=y湎（y>0）,则京+崇

的最小值为（）

A

C36

D.

【题型5与数量积有关的最值（范围）问题】

【例5】（2024•陕西渭南•二模）已知菱形4BCD的边长为LcosNB4D=初1为菱形的中心，E是线段AB上的

动点，则丽•丽的最小值为（）

【变式5-1]（2024・重庆•模拟预测）如图，圆。内接边长为1的正方形4BCD,P是弧BC（包括端点）上一

A.[1符B.[1,呼C.[1,用D.片,1]

【变式5-2]（2024•陕西安康•模拟预测）如图，在平面四边形4BCD中，△4BD为等边三角形,

CB=CD=2BD=2,当点E在对角线AC上运动时，无•丽的最小值为（）

【变式5-3]（2024•全国•模拟预测）如图，已知正六边形2BCDEF的边长为2,对称中心为。，以。为圆心

作半径为1的圆，点M为圆。上任意一点，则而•屈的取值范围为（）

E

C.[—8,0]D.[-6^/3^,0]

【题型6与模有关的最值（范围）问题】

【例6】（2024•安徽六安•模拟预测）已知平面向量入b,不满足同=1,㈤=8，a-b=-l，（a-c^-c）

=30°,则©的最大值等于（）

A.2V7B.V7C.2V3D.3V3

【变式6-1］（2024•湖南长沙•三模）在平行四边形4BCD中，AC=2BD=4,点P为该平行四边形所在平面

内的任意一点，贝1||诃|2+|丽仔+|而『+|而『的最小值为（）

A.6B.8C.10D.12

【变式6-2］（23-24高一下•天津•期末）如图，在△4BC中，己知2B=2,AC=3,NA=120。，E,F分别

是力B,AC边上的点，且族=久而，AF=yAC,且2久+y=l,若线段EF,BC的中点分别为M,N,则|而

|的最小值为（）

A.孝B.啜C.fD.需

【变式6-3］（23-24高一下•广东广州•期末）已知平面向量出b,e,且同=1,同=2.已知向量后与］所成

的角为60°,且后一同却%|对任意实数唯成立，则同+矶+跟一同的最小值为（）

A.V3+1B.2V3C.V3+V5D.2V5

【题型7平面向量中参数的最值（范围）问题】

【例7】（23-24高一下•甘肃陇南•期末）已知平面向量为而满足同=同=4,|4=21=-8,若E=4五+〃

贝眨4+〃的取值范围是（）

A.[-竽，陷B.上亨,亨]C.卜亨，亨]D.[-2V6,2V6]

【变式7-1]（23-24高一下•黑龙江哈尔滨•期末）在△48C中，AB=6/C=8,48"=9/是N84C的平分

线上一点，且4/=8，若△ABC内（不包含边界）的一点D满足而=%四+"，则实数x的取值范围是

（）

A-。，月B.（得给C.（-1）1）D.（一/

【变式7-2]（23-24高一下•四川成都・期末）在直角梯形4BCD中，AB1AD,DC//AB,AD=DC1,AB=2.E.F

分别为4B/C的中点，点P在以力为圆心，4D为半径的圆弧0E上运动（如图所示）.若丽=4而+〃而，

其中无“ER,则22—〃的取值范围是（）

C.[—1,2]D.[—2,2]

【变式7-3]（23-24高一下•安徽芜湖•阶段练习）如图扇形20B所在圆的圆心角大小为g,P是扇形内部（包

括边界）任意一点，^OP=xOA+yOB,那么2（x+y）的最大值是（）

OA

A.2B.V3C.4D.2V3

【题型8极化恒等式】

【例8】（2024•重庆•模拟预测）已知△Q4B的面积为1/8=2,动点P,Q在线段AB上滑动，且|PQ|=1,则

OP■丽的最小值为.

【变式8-1]（2024•山东•模拟预测）边长为1的正方形内有一内切圆，MN是内切圆的一条弦，点P为正方

形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，两•西的取值范围是.

【变式8-2]（2024•湖北省直辖县级单位•模拟预测）如图直角梯形/BCD中，斯是CD边上长为6的可

移动的线段，2。=4,AB=8V3,8c=12,则而•前的取值范围为.

【变式8-3］（23-24高一下•广东潮州•阶段练习）阅读以下材料，解决本题：我们知道①@+石）2=原+2a

——2-2772T272tt_»->2_»-*2

-b+b；②（五一B）=a2-2a-b+b.由①■②得（2+B）—（a—fe）=•Bo五•/=（°+“）一（。一>）,我们把最

4

后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如

图所示的四边形2BCD中，BD=8AB-AD=48,E为BD中点.

（1）若COSAB2D=百，求△4BD的面积；

⑵若2族=诙，求而•丽的值；

（3）若P为平面4BCD内一点，求丽・（丽+而）的最小值.

【题型9矩形大法】

【例9】（2024•浙江绍兴•一模）已知向量五，b,E满足同二历尸五七=2,（a-c）-（h-2c）0,则后一耳的

最小值为

V7-V3「V3

A.宇DB-CTD.日

【变式9-1］（23-24高三下•四川成都•阶段练习）已知单位向量乙君满足|22一引=2,若存在向量不，使得

（工―2①・0—3）=。，则间的取值范围是（）

A•悸，苧+1]B.印—1月c.悸—1,苧+1]D.[V6-1.V6+1]

【变式9-2]（23-24高三上•四川资阳•阶段练习）已知。为单位向量，向量反满足：（a-e）-（a-5e）=0,则|五+。|

的最大值为（）

A.4B.5C.6D.7

【变式9-3]（23-24高三上・贵州贵阳•阶段练习）已知平面向量五，b,c,满足|可=|瓦=港B=2,且

（a—2c）-（h-c）=0,贝！J|五一百的最小值为（）

【题型10等和（高）线定理】

【例10】（23-24高一下•重庆•阶段练习）在平行四边形4BCD中，E为CD的中点，BF=^BC,AF与BE交于

点G,过点G的直线分别与射线BA,BC交于点M,N,BM^ABA,BN^fiBC,贝壮+2〃的最小值为（）

A.1B.1C.|D.|

【变式10-1]（23-24高三上•河南•阶段练习）对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对

称都能给人以美感，在菱形48C。中，乙48。=120°,以菱形4BCD的四条边为直径向外作四个半圆，P是这

四个半圆弧上的一动点，^DP=WA+nDC,则2+〃的最大值为（）

3S

A.5B.3C.-D.-

【变式10-2]（23-24高一下•四川绵阳•期中）在扇形。力B中，AAOB=60°,C为弧4B上的一动点，若觉=x

OA+yOB,贝归久+y的取值范围是.

【变式10-3]（23-24高二上•上海浦东新•阶段练习）正六边形/8CDE/中，P是△CDE内（包括边界）的

动点，设而=m同+n而，（m,nG/?）,则m+n的取值范围是.

►过关测试

一、单选题

1.（2024•江苏泰州•模拟预测）在平行四边形4BCD中4=45。/3=1/。=鱼，^AP=AB+xAD{x6/?）,

则|赤|的最小值为（）

A.|B.掾C.1D.V2

2.（2024•宁夏银川・模拟预测）在△ABC中，~BD=2DC,过点。的直线分别交直线45、4C于点E、F,且

AE=mAB,AF=nAC,其中m>0,n>0,则m+2?i的最小值为（）

O

A.2B.V2C.3D.-

3.（2024•广东东莞•模拟预测）己知在同一平面内的三个点4B,C满足|4B|=2,2-窖>1,贝日尼+丽|

|C4|\CB\

的取值范围是（）

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,V3]D.[0,2V3]

4.（2024•天津河北•二模）△4BC是等腰直角三角形，其中AB12&|同|=1,P是△A8C所在平面内的一

点，^CP=XCA+MCB（4N0,〃NO且4+2〃=2）,则8?在而上的投影向量的长度的取值范围是（）

A.（0,用B.惇,1]C.[1,V2]D.[V2,2]

5.（2024•安徽芜湖•三模）已知。C:久2+y2-10%+9=0与直线/交于4B两点，且。C被/截得两段圆弧的

长度之比为1:3,若。为OC上一点，则瓦[•丽的最大值为（）

A.18V2+12B.16V2+16C.12&+20D.10V2+24

6.（2024•河北沧州・三模）对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分

支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边△A8C中，AB=2,以三条边为直径向外作三

个半圆，M是三个半圆弧上的一动点，若前=4万+〃n，贝〃的最大值为（）

7.（2024•湖北•模拟预测）向量区加满足（五,刃）=也\b\=|V3>且VteR,不等式区+时2历-团恒成立.函

数/（*）=I.一田+|口一同（比6R）的最小值为（）

A.1B.1C.V3D.V5

8.（2024・四川成都•三模）已知正方形ABCD的边长为1,M,N分别是边AB,AD上的点（均不与端

点重合），记△4MN,△CMN的面积分别为Si，S2.若Si=|加・同川而・诟|,则S2的取值范围

是（）

A.|）B.[V2-1,C,[i,|）D.[V2-1,I）

二、多选题

9.（2024•浙江宁波•二模）若平面向量五，立满足向=1,回=1,同=3且3♦工=B则（）

A.B+3+耳的最小值为2

B.B+B+W的最大值为5

C.忖一刃+才|的最小值为2

D.忸―办+工|的最大值为履

10.（2024•山西晋中•模拟预测）在△ABC中，。为边4C上一点且满足而=河，若P为边上一点，且

满足而=4屈+〃尼，九〃为正实数，则下列结论正确的是（）

1

A.川的最小值为1B.加的最大值为五

C•抖击的最大值为12D.抖5的最小值为4

A3MA

11.（2024,山东潍坊•二模）已知向量2,b,工为平面向量，同=L同=2,a-b=0,\c-a\=贝!]

（）

A.1<|C|<|B.五>白―励的最大值为当空

Z4

C.—1<b-c<1D.若才=2花+曲，则4+〃的最小值为1—当

三、填空题

12.（2024・四川宜宾•模拟预测）己知点。,48在同一平面内且力为定点，•万=-2,而•同=2CD分别

是点B轨迹上的点且8C=2,则丽•方的最大值与最小值之和是.

13.（2024•安徽马鞍山•模拟预测）已知△ABC中，角4,8,C所对的边分别为a,b,c,ABAC=^,6=1,

c=V3,若力D=2（m+n）4B+急AC,则|南|的最小值为-------

14.（2024•天津滨海新•三模）在平行四边形4BCD中，N&=60。，2D="B,点E在边DC上，满足反=/

DC,则向量荏在向量而上的投影向量为（请用而表示）；若4B=3,点M,N分别为线段4B,BC

上的动点，满足BM+BN=1,则前•丽的最小值为.

四、解答题

15.(23-24高一下•江苏南京•阶段练习)如图，在△ABC中，点P满足於=2而，过点P的直线与力B/C所

在的直线分别交于点MN,若前=AABjN=/zXC,(A>O,fi>0).

(1况与〃的关系;

(2)求4+〃的最小值

16.(23-24高一・浙江•期中)在△2BC中，已知AB=3,AC=1,AB-AC^-1,设点P为边BC上一点，点

Q为线段C4延长线上的一点，且而=t而(t<0).

⑴当t=_l且P是边BC上的中点时，设PQ与4B交于点M,求线段CM的长；

(2)若丽•所+3=而•荏，求历初的最小值.

17.(23-24高一下•湖南长沙•期末)如图，设。%,Oy是平面内相交成60。角的两条数轴，无，专分别是与x轴、

y轴正方向同向的单位向量.若向量丽=xei+y带则把有序实数对(x,y)叫做向量而在坐标系Oxy中的坐

标，记作曲=(x,y).在此坐标系。孙中，若61=(3,0),砺=(0,2),5?=(3,2),E尸分别是。的中点，AE.AF

分别与。P交于R,7两点.

(1)求：而I；

(2)求市，加的坐标；

(3)若点〃在线段4F上运动，设丽=(x,y),求xy的最大值.

18.(23-24高二上•上海虹口・期中)在/力BC中，满足：AB1AC,M是BC的中点.

ci)若I荏1=1*I，求向量南+2前与向量2而+前的夹角的余弦值；

(2)若。是线段AM上任意一点，且|南|=|就|=鱼，求函•赤+沆•初的最小值：

(3)若点尸是N82C内一点，且|而|=2,AP-AC=2,AP-AB^l,求|而+衣+而|的最小值.

19.(23-24高一下•江苏苏州•期中)在锐角aaBC中，cosB=¥，点。为△4BC的外心.

(1)若前=万而+丫就，求x+y的最大值；

⑵若b=V2,

(i)求证：OB+sin2A•。力—cos2A,0C=6；

(ii)求|3赤+2D1+而|的取值范围.

重难点15平面向量中的最值与范围问题【十大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1定义法求最值（范围）问题】..........................................................4

【题型2基底法求最值（范围）问题】..........................................................6

【题型3坐标法求最值（范围）问题】.........................................................10

【题型4与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】.........................................14

【题型5与数量积有关的最值（范围）问题1..............................................................................16

【题型6与模有关的最值（范围）问题】.......................................................21

【题型7平面向量中参数的最值（范围）问题】.................................................23

【题型8极化恒等式】........................................................................26

【题型9矩形大法】..........................................................................30

【题型10等和（高）线定理】....................................................................33

►命题规律

1、平面向量中的最值与范围问题

平面向量中的范围、最值问题是高考的热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的

交汇组合；其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系

数的范围等.

►方法技巧总结

【知识点1平面向量中的最值与范围问题的解题策略】

1.平面向量中的最值（范围）问题的两类求解思路：

（i）“形化”，即利用平面向量的相关知识将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后结合平面图

形的特征直接进行判断；

（2）“数化"，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方

程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.

2.平面向量中的最值（范围）问题的常用解题方法：

（1）定义法

①利用向量的概念及其运算将所求问题进行转化，得到相应的等式关系；

②运用基木不等式、二次函数求其最值（范围）问题，即可得出结论.

（2）坐标法

①建立适当的直角坐标系，把几何图形放在坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标；

②将平面向量的运算坐标化，进行相应的代数运算和向量运算；

③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值(范围).

(3)基底法

①适当选取一组基底，利用基底转化向量；

②写出向量之间的联系，根据向量运算律化简目标，构造关于设定未知量的关系式来进行求解；

③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值(范围)，

即可得出结论.

【知识点2极化恒等式】

1.极化恒等式的证明过程与几何意义

(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：

|£+斤+耳_斤=2(|浦+时).

证明：不妨设在=£,而=3,贝!］又=%+B,DB=a-b,

匹卜定=R+.第2+2a4+W①，

|喝2=丽?=(1可=@-2屋3+同2②，

①②两式相加得：

\AC［+\DB［=2(@+W卜2(画2+1石0.

(2)极化恒等式：

上面两式相减，得：［君=+一--------极化恒等式

平行四边形模式：=「-|0同［.

2.几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平

方差的

4

(1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角

线长”平方差的;，即:.I=(如图).

⑵三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即=

/2一应声(〃为2C的中点X如图).

极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关

【知识点3矩形大法】

1.矩形大法

矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等.

即：已知点。是矩形/BCD与所在平面内任一点，可以得到：O^+OC2=OB2+OD2.

【知识点4等和(高)线定理】

1.等和(高)线定理

(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若苏=%51+〃加Q,〃eR),

则%+〃=1,由△048与40AE相似，必存在一个常数k,kER,使得OP'^kOP,则

OP'=kOP=k^OA+k^iOB,又OP'=xOA+yOB(x,yGR),-'-x+y=k^+k/i=k；反之也成立.

(2)平面内一个基底｛51,而｝及任一向量而，OP'=XOA+//O3(/,Z/eR),若点P在直线N8上或在平

行于N8的直线上，贝IU+〃=M定值)；反之也成立，我们把直线48以及与直线N8平行的直线称为等和(高)

线.

①当等和线恰为直线时，k=\-,

②当等和线在。点和直线之间时，蛇(0,1)；

③当直线4B在。点和等和线之间时，任(1,+8)；

④当等和线过。点时，A=0；

⑤若两等和线关于。点对称，则定值左1，左2互为相反数；

⑥定值k的变化与等和线到0点的距离成正比.

►举一反三

【题型1定义法求最值（范围）问题】

【例1】（24-25高三上•广东•开学考试）已知单位向量无修的夹角为泰则|瓦-1（互-五）|（teR）的最小值为

（）

A.|B.烂C.1D.1

Z24

【解题思路】直接利用数量积与模的关系结合二次函数的性质计算即可.

【解答过程】易知瓦•逻=cos（=今

-1

2

所以|万T（冕—药）|2=|（l-t）ej+t*|2=（IT）2+2（i-t）t.-+t

=t2-t+l=（t-|）+%

即当t=9时，同-K冕-初|min=当

故选：B.

【变式1-1］（23-24高一下•安徽芜湖•期中）如图，已知点G是△4BC的重心，过点G作直线分别与AB,AC

两边交于M,N两点，设莉=%而，AN=yAC,贝!|x+4y的最小值为（）

A.9B.4C.3D.|

【解题思路】借助平面向量线性运算与三点共线定理及基本不等式计算即可得.

【解答过程】由点G是△ABC的重心，AM=xAB,AN=yAC,

故正=|（AB+而）=|（|AM+iZ/V）=j-AM+j-AN,

由G、M、N三点共线，故5+点=1,

则x+4y=（x+4y）（*+3='+［+M+^|+2jp|=3,

当且仅当禁=£即x=l,y=：时，等号成立.

故选：C.

【变式1-2］（23-24高一下•陕西西安•阶段练习）点。是△ABC所在平面内一点，若市+/+方=0,AM

=xAB,AN^yAC,~M0=WN,贝ijxy的最小值为（）

124

A.-B.1C.-D.—

【解题思路】易知。为△ABC的重心，由题意，根据重心的性质可得；+9=罂=,结合基本不等式计

xy1+4

算即可求解.

【解答过程】由题意知，OA+OB+OC=0,则。为△ABC的重心，

由府=xABAN=yACjW=%而知,

4MB三点共线，4MC三点共线，M,O,N三点共线,

如图，。为3C的中点，且而=|前，雨=凉+而，而=方+而，

由丽=4而，得加+而=4（市+而），又府=万标，丽=y而,

所以氯+A)AD=AyAC+xAB,

->Ay---->x>3AV---->3%----->

即“。=?i+a)4C+----------------=2(1+4力C+2(1+4)48,

因为。为2c的中点，所以而=冠+冠，

31y_1(_1+A

所以唠一?，解得"=再，所以!+2=膏=3,

=—।v=------xyi+A

、2(1+4)------2V3A

由x>0,y>0,得3=工+：22区，即

xyyxyy

当且仅当x=y=|时等号成立，所以xy的最小值为《

故选：D.

【变式1-3］（23-24高一下•上海•期末）已知向量石方总满足同=出|=1,a-b=-pc=xa+yb

（x、y£R,y>0）,则下列四个命题中，正确命题的个数是（）.

①若x=l,则旧的最小值为争

②若久=1，则存在唯一的力使得乙区=0；

③若同=1,则x+y的最小值为一1；

④若©=i,则逢2+2i的最小值为一a

A.1B.2C.3D.4

【解题思路】对于①，对工=%五+丫9两边平方转化为求y2-y+1的最值可判断①；对工=法+、石两边同乘

以2可判断②；对苒=法+好两边平方然后利用基本不等式可判断③；由③知％+y>-1可判断④.

【解答过程】|a|=\b\=l,a-b=—c=xa+y&(x,yGR,y>0),

对于①,若久=L则那=x2a2+2xya-b+y2b2=1+2yx(—2)+/

=y2-y+l=(y-1)+^>|,当且仅当y=T时，取得等号，

・••理的最小值为3.・.©的最小值为亨・•・①正确；

对于②，若％=1,由2•工=0得%彦+y五.刃=%_&=o,l-|y=0,

・・.y=2,・,•存在唯一的y=2,使得五•工=0,.,・②正确；

对于③,若间—1，则1=c2=(xa+yb)2=%2+y2-xy

=(%+y)2—3xy>(%+y)2—3•^=出产■,

当且仅当汽=y=1时取得等号，・•・生詈工1,•<-%+y<2,

又yNO,・,・%+yN%Z-l,当且仅当y=0,%=-1时取得等号，二③正确；

对于④，若同=1,则五"•石=%一|丫+(—3%+y=?，

由③知x+yN—1,・•・N•，:.④正确.

故选：D.

【题型2基底法求最值(范围)问题】

【例2】(23-24高一下•重庆巴南•阶段练习)在矩形ZBCD中，已知瓦尸分别是BC,CO上的点，且满足族=近

存=2万.若点P在线段BD上运动，且”=〃!E+m4/”,〃ER),则1+〃的取值范围为()

儿卜然]B.[|图C,[|,|]D,[-|，|]

【解题思路】建立基底，DC^a^DA^b,贝|族=2-岁，而=颉一3,然后将设而=土屈+(1-。而

,0<t<l,最终表示为而=(—"学族+R—韵福然后得到4+〃=9才，进而求出范围.

【解答过程】矩形4BCD中，已知E,F分别是B&CD上的点，且满足而=成而=2而，

AB

设反=2,瓦1=石，则族=卷+旗=五一步，AF=AD+~DF^^a-b,

{AE=a-^b(a=^AE