2024-2025学年北京市东城区文汇中学九年级上学期期中考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市东城区文汇中学九年级上学期期中考试数学试题一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下面四个标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.2.抛物线y=x−12+2的顶点坐标是A.1,2 B.1,−2 C.−1,2 D.−1,−23.在Rt▵ABC中，∠C=90∘.若AB=2,BC=1，则sinAA.12 B.55 C.4.若关于x的方程x2+6x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是(

)A.36 B.−36 C.9 D.−95.若点−1,y1,2,y2A.y1<y2<y3 B.6.把抛物线y=3x2向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为(

)A.y=3(x+2)2−5 B.y=3(x+5)2+27.如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE=∠C；②AEAB=DEBC；③ADAC=AEABA.①② B.②③ C.①③ D.①②③8.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是(

)

A.a>0，b>0，c>0 B.a<0，b>0，c>0

C.a<0，b>0，c<0 D.a<0，b<0，c>09.如图，将▵ABC绕点A顺时针旋转40∘得到▵ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，则∠ADE的度数为(

)

A.40∘ B.70∘ C.80∘10.使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y(单位：m3)与旋钮的旋转角度x(单位：度)(0°<x≤90°)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为A.18° B.36° C.41° D.58°二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.在平面直角坐标系xOy中，点A3,1关于原点O的对称点的坐标为

．12.写出一个图象开口向上，与y轴的交点为(0,3)的二次函数解析式

．13.平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A(2,4)，B(3,0)，在第一象限内以原点O为位似中心，把△OAB缩小为原来的12，则点A的对应点A′的坐标为

．14.如图，在反比例函数y=−2x的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数y=kx的图象上运动．若tan∠CAB=2，则k的值为

15.在Rt▵ABD中，∠ABD=90∘，点C在线段AD上，过点C作CE⊥AB于点E，CF⊥BD于点F，使得四边形CEBF为正方形，此时AC=3cm，CD=4cm，则阴影部分面积为

cm2．16.小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的徒步距离(单位：km).若选择“高强度”要求前一天必须“休息”(第一天可选择“高强度”).则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为

km．日期第1天第2天第3天第4天第5天低强度86654高强度121315128休息00000三、解答题：本题共12小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)计算或解方程：(1)4cos(2)x218.(本小题8分)如图，正方形AB′C′D′是由正方形(1)直接写出旋转中心、旋转方向与旋转角；(2)若正方形的边长是1，直接写出C′D的长．19.(本小题8分)如图，已知反比例函数y=kx的图象与一次函数y=−x+b的图象交于点A1,4(1)求n,b和k的值；(2)观察图象，不等式kx>−x+b20.(本小题8分)如图，在Rt▵ABC中，∠ACB=90∘,D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E.(1)求线段CD的长；(2)求cos∠DBE的值．21.(本小题8分)已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于−4，求m的取值范围．22.(本小题8分)如图，某班级门口有一块长为20厘米、宽为15厘米的小型长方形优秀事迹展板，展板上粘贴上下左右对齐两排的6个长方形且面积都为18平方厘米的班级学生主要事迹贴纸，若要求学生的主要事迹贴纸之间以及到上下左右的宽度都相等(设为x厘米)，如图所示，求宽度x．

23.(本小题8分)已知二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标xx⋅⋅⋅−3−2−101⋅⋅⋅y⋅⋅⋅0−3−4−30⋅⋅⋅(1)求这个二次函数的表达式；(2)当−4<x<0时，直接写出y的取值范围；(3)当y>−3时，直接写出x的取值范围；(4)当−3≤x<2时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c−t=0有实根，直接写出24.(本小题8分)如图，是位于校园内的旗杆，在学习了27章“相似”之后，学生们积极进行实践活动，小丽和小颖所在的数学兴趣小组测量旗杆的高度AB，有以下两种方案：方案一：如图1，在距离旗杆底B点30m远的D处竖立一根高2m的标杆CD，小丽在F处站立，她的眼睛所在位置E、标杆的顶端C和塔顶点A三点在一条直线上．已知小丽的眼睛到地面的距离EF=1.5m，DF=1.5m，AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，点F、D、B在同一直线上．方案二：如图2，小颖拿着一根长为16cm的木棒CD站在离旗杆30m的地方(即点E到AB的距离为30m).他把手臂向前伸，木棒竖直，CD/​/AB，当木棒两端恰好遮住旗杆(即E、C、A在一条直线上，E、D、B在一条直线上)，已知点E到木棒CD的距离为40cm．请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求旗杆的高度AB．25.(本小题8分)如图，排球运动场的场地长18m，球网高度2.24m，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为9m.一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分．在球运行时，将球与场地左边界的水平距离记为x(米)，与地面的高度记为y(米)，经多次测试后，得到如下数据：x(米)0124678y(米)22.152.282.442.52.492.44(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)击球点的高度为______米，排球飞行过程中可达到的最大高度为______米；(3)求出y与x的函数解析式；(4)判断排球能否过球网，并说明理由．26.(本小题8分)在平面直角坐标系xOy中，点(1,m)和点(3,n)在抛物线y=x

(1)当m=0时，①求抛物线的对称轴；②若点(−1,y1)，(t,y2(2)若mn<0，求b的取值范围．27.(本小题8分)在▵ABC中，AC=BC，∠ACB=90∘，点D在BC边上(不与点B，C重合)，将线段AD绕点A顺时针旋转90∘，得到线段AE

(1)根据题意补全图形，并证明：∠EAC=∠ADC；(2)过点C作AB的平行线，交DE于点F，用等式表示线段EF与DF之间的数量关系，并证明．28.(本小题8分)在平面直角坐标系xoy中，对于点Px1,y1，给出如下定义：当点Qx2,y(1)在Q12,1，Q2−4,−1，Q3(2)点Q是P点的等积点，点C在x轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．(3)已知点B(1,12)和点M(5,m)，点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的任意一点，对于线段BN上的每一点A，在线段PB上都存在一个点R使得A为R的等积点，直接写出m参考答案1.D

2.A

3.A

4.C

5.D

6.D

7.C

8.B

9.B

10.C

11.(−3,−1)

12.y=x2+3(13.(1,2)

14.8

15.6

16.36

17.(1)解：4=4×=2=3−(2)解：x2∵a=1，b=−4，c=2，Δ=bx=−b±∴x1=2+

18.(1)解：由题意知，旋转中心为点A、旋转方向为逆时针旋转，旋转角为45∘(2)解：∵正方形的边长是1，∴AD=1，AC′=∴C′D=AC′−AD=∴C′D的长为2

19.(1)解：把A1,4代入y=kx把B4,n代入y=4x把A1,4代入y=−x+b得：4=−1+b解得b=5；(2)解：观察图象得，不等式kx>−x+b的解集为0<x<1或故答案为：0<x<1或x>4．

20.(1)解：∵AC=9,cos∴cos∴AB=15，∵▵ABC为直角三角形，D是边AB的中点，∴CD=1(2)解：∵AB=15，AC=9，∴BC=15∵▵ABC为直角三角形，D是边AB的中点，∴DC=DB=15∴∠DCB=∠ABC，∴sin∵BE⊥CD，∴∠BEC=90∴sin∴BE=36∴cos

21.(1)解：b∵(m−2)∴方程总有两个实数根；(2)解：原方程可化为：(x−1)(x−m+1)=0

∴x−1=0

或x−m+1=0解得：x1=1由题意可得：m−1<−4解得：m<−3

22.解：根据题意，得20−4x15−3x整理得x2解得x1=2，x故宽度x为2．

23.(1)解：∵二次函数的图象过点(−3,0)和(1,0)，∴设二次函数的解析式为：y=a(x+3)(x−1)，将(0,−3)代入得：−3=a(0+3)(0−1)，解得：a=1，∴二次函数的解析式为y=(x+3)(x−1)=x(2)解：函数图象如图所示：观察图象可知，当−4<x<0时，−4≤y<5；(3)解：观察图象可知，当y>−3时，x<−2或x>0；(4)解：观察图象可知，当−3≤x<2时，−4≤y<5，∵当−3≤x<2时，关于x的一元二次方程ax∴−4≤t<5．

24.解：若选择方案一：如图，过点E作EH⊥AB，垂足为H，交CD于点G，由题意得：EH⊥CD，EF=DG=BH=1.5(米)，FD=EG=1.5(米)，EH=BF=FD+DB=1.5+30=31.5(米)，∴CG=CD−DG=2−1.5=0.5(米)，∠CGE=∠AHE=90又∵∠CEG=AEH，∴△CEG∽△AEH，∴CGAH=∴AH=10.5(米)，∴AB=AH+BH=10.5+1.5=12(米)答：旗杆的高度AB为12米；若选择方案二：如图，过点E作EH⊥AB，垂足为H，交CD于点G，则∠AHE=∵CD//AB，∴∠CGE=∠AHE=90∴EH⊥CD，由题意得：CD=16(厘米)=0.16(米)，EG=40(厘米)=0.4(米)，EH=30(米)，∵CD//AB，∴▵ECD∽▵EAB，∴CDAB=∴AB=12(米)答：旗杆的高度AB为12米．

25.(1)解：如图，(2)解：∵当x=0时，y=2，∴击球点的高度为2米；由表格和函数图象可得，抛物线的顶点坐标为(6,2.5)，∴排球飞行过程中可达到的最大高度为2.5米；(3)解：由表格和函数图象可得，抛物线的顶点坐标为(6,2.5)，∴设y与x的函数解析式为y=ax−6∵当x=0时，y=2，∴2=36a+2.5，解得：a=−1∴y=−1(4)解：排球能过球网．理由如下：y=−当x=9时，y=−1∵2.375>2.24，∴排球能过球网．

26.解：(1)①∵m=0，∴把(1,0)代入y=x2+bx∴y=x∴抛物线的对称轴为直线：x=−−1②∵(−1,y1)∴y∴(−1,2)，∴它的对称点为(2,2)，∵y∴t<−1或t>2．(2)把点(1,m)和点(3,n)代入y=xm=1+b，n=9+3b，当mn<0，有两种情况，①m>0n<0，得解不等式①，得b>−1，解不等式②，得b<−3，∴此不等式组无解．②m<0n>0，则解不等式①，得b<−1，解不等式②，得b>−3，∴此不等式组的解集为−3<b<−1，综上所述，b的取值范围是：−3<b<−1．

27.(1)补全的图形如图所示：证明：∵

∠ACB=90∘∴

∠CAD+∠ADC=90∘由旋转的性质可知

∠EAD=90∘

，即

∠CAD+∠EAC=∴

∠EAC=∠ADC．(2)

EF=DF

；证明：如图，作

EM⊥AC

于点M，与直线CF

交于点N，∴

∠EMA=∠ACB=90∘由旋转的性质可知

AE=AD

，由(1)可知

∠EAM=∠ADC

，∴

△EAM≅

△ADC(AAS)

，∴

AM=CD

，

EM=AC

，∵

AC=BC

，∴

∠CAB=45∘∵

CN//AB

，∴

∠NCM=∠CAB=45∘∴

MN=MC

，∴

EN=AM

，∴

EN=CD

，∵

∠EMC=∠ACB∴

EN//CD

，∴

∠ENF=∠DCF

，

∠NEF=∠CDF

，∴

△ENF≅△DCF(ASA)

，∴

EF=DF

．

28.(1)∵P1,2，Q12,1，Q∴1×2=2×1，1×−4≠2×−1∴点P的等积点是Q1故答案为：Q1(2)设点Qx,y∵P1,2，点Q是P∴x=2y即y=1故点Q在直线y=1∴点Qx,当点O平移得到点P时，平移规律是向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，∵O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，∴点Qx,12x向右平移1个单位长度，再向上平移∴点Cx+1,∵点Cx+1,12∴点12解得x=−4，∴点C2当点P平移得到点O时，平移规律是向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，∵O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，∴点Qx,12x向左平移1个单位长度，再向下平移∴点Cx−1,∵点Cx−1,12∴点12解得x=4，∴点C1综上所