四川省德阳市高中2024-2025学年高三上学期第一次诊断考试数学试题

德阳市高中2022级第一次诊断考试数学试卷说明：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷1—2页，第Ⅱ卷2—4页，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回．2．本试卷满分150分，120分钟完卷．第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．1．设集合，集合，则集合（）A． B． C． D．2．已知复数z满足，则（）A． B． C． D．3．生物兴趣小组在研究某种流感病毒的数量与环境温度之间的关系时，发现在一定温度范围内，病毒数量与环境温度近似存在线性相关关系，为了寻求它们之间的回归方程，兴趣小组通过实验得到了下列三组数据，计算得到的回归方程为：，但由于保存不妥，丢失了一个数据（表中用字母m代替），则（）温度x（℃）6810病毒数量y（万个）3022mA． B． C． D．m的值暂时无法确定4．已知数列的前n项和为，且，则数列的前10项和为（）A． B． C． D．5．底面相同的圆柱和圆锥有相等的侧面积，且圆柱的高恰好是其底面的直径，则圆柱与圆锥的体积之比为（）A．2 B． C． D．6．设满足，则（）A．120 B． C．40 D．7．函数单调递增，且，则实数m的取值范围为（）A． B． C． D．8．设为双曲线的左右焦点，O为坐标原点，P为C的一条渐近线上一点，且，若，则C的离心率为（）A． B． C．2 D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．下列结论正确的是（）A．随机变量X服从二项分布，则B．数据的平均数为2，则的平均数为6C．数据2，4，6，8，10，12，14的第60百分位数是10D．随机变量X服从正态分布，且，则10．定义在R上的函数满足，则下列结论正确的有（）A． B．为奇函数C．6是的一个周期 D．11．已知函数，则（）A．当时，函数有两个极值B．过点且与曲线相切的直线有且仅有一条C．当时，若b是a与c的等差中项，直线与曲线有三个交点，则D．当时，若，则第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．某中学田径队有男运动员28人，女运动员21人，按性别进行分层随机抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为14的样本，如果样本按比例分配，则男运动员应该抽取的人数为_______13．已知，则_______14．若关于x的方程有且仅有两个实根，则实数m的取值范围为_______四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分13分）平面向量，满足（1）若在上的投影向量恰为的相反向量，求实数t的值；（2）若为钝角，求实数t的取值范围．16．（本题满分15分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知的面积（1）若，求b的值；（2）求内角C取得最大值时的面积．17．（本题满分15分）已知函数的定义域为D，（1）若，求函数的值域；（2）若，且，求实数的取值范围．18．（本题满分17分）甲袋装有一个黑球和一个白球，乙袋也装有一个黑球和一个白球，四个球除颜色外，其他均相同．现从甲乙两袋中各自任取一个球，且交换放人另一袋中，重复进行n次这样的操作后，记甲袋中的白球数为，甲袋中恰有一个白球的概率为（1）求；（2）求的解析式；（3）求．19．（本题满分17分）若函数与在各自定义域内均能取得最大值，且最大值相等，则称与为“等峰函数”．（1）证明函数与是“等峰函数”；（2）已知与为“等峰函数”．①求实数a的值；②判断命题：“，且”的真假，并说明理由．德阳市高中2022级第一次诊断考试数学参考答案与评分标准一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．D2．B3．B4．C5．D6．A7．C8．B二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9．AC10．ACD11．BD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．813．14．四、解答题（本大题共5小题，共77分）15．僻：（1）由题意得，从而，亦即又所以即（2）为钝角所以的取值范围为16．解：（1）由知由于，所以由余弦定理得，从而即（2）中有（当且仅当，即时取等号）此时，角取到最大值．17．解：（1）因为，由得令，则从而的值域为（2）由于，且，所以方程的两根分别为且又，即亦即，从而所以即实数的取值范围为18．解：（1）记第次交换后甲袋中恰有两个自球的概率为，则第次交换后甲袋中恰有零个白球的概率为由题意得．（2）由（1）知所以，且从而数列是以为首项，为公比的等比数列所以即（3）显然的所有可能取值为0，1，2且即，从而所以的分布列为012所以19．解：（1），由于，所以当即时，；对于函数，所以函数在上单调递增，从而当时，函数与是“等峰函数”（2）①当时，若；若，即函数在上单调递减，在上单调递增，无最大值；当时，在上单调递增，无最大值；当时，若；若，即函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，因为，所以时，时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，从而当时，由于与为“等峰函数”，所以即将上式两端取自然对数得，即令，则所以在上单调递增，又，从而②命题为真命题，理由如下：先考察方程的实根情况，令由①知在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，又，所以存在唯一，使得，即方程在上有唯一实根，且其次考察方程的实根情况，令由①知在上单调递减，且所以存在唯一，使得，即，由于，所以，且，由在上的单调性知最后考察方程的实根情况，令由①知在上单调递增，且所以存在唯一，使得，即由于，