广东省广州市番禺区2023-2024学年高二（上）期末数学试卷

广东省广州市番禺区2023-2024学年高二（上）期末数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若全集U=R，集合A={0，1，2，3，4，5A．{0，1，2} C．{0，1，2，32．若复数z=i(2+i)，则|z|=（）A．1 B．2 C．5 D．53．在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（）A．OM=2OA−C．OM+OA+4．已知直线l经过点P(0，1)，且它的一个方向向量为(1，2A．2x−y−1=0 B．x+2y−2=0 C．2x−y+1=0 D．2x+y+1=05．番禺图书馆新谊是一个集知识、信息、文化为一体的综合性阅读场所.在一段时间内，若甲同学前往图书馆新馆的概率为0.5，乙前往图书馆新馆的频率为0.8，且甲、乙两人各自行动，则在此段时间内，甲、乙两人至少有一人称往番禺图书馆新馆的概率是（）A．0.9 B．0.8 C．0.5 D．0.46．设点F为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线C的渐近线交于A，A．2 B．3 C．2 D．57．如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E在A．1 B．22 C．33 8．蜜蜂是母系社会生物.蜂后产的卵若能受精则孵化为雌蜂，若不能受精则孵化为雄蜂，即雄蜂是“有母无父”，雌蜂是“有父有母”的.如图是某只雄蜂的家系图，规定：其“父母”为上溯第1代祖辈，其“祖父母”为上溯第2代祖辈，以此类推.记Fn表示该雄蜂上溯第n代的祖辈数量，例如FA．F7+FC．F8+F二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9．在等差数列{an}中，已知a4=8，aA．d=−2 B．a8=0 C．S1510．已知函数f(x)=3A．函数f(x)的图象关于y轴对称B．函数f(x)的最小正周期为πC．点(π6，0)D．函数f(x)的最大值为111．已知O为坐标原点，点A(2，0)，动点P满足OP⋅PA=0A．点P的轨迹是圆 B．|PQ|的最大值为3C．|PQ|的最小值为1 D．∠OQA<90°12．过抛物线C：y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A，A．以线段AB为直径的圆与y轴相切B．|AB|的最小值为4C．当AF=3FB时，直线lD．1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．等比数列{an}中，a2=1，a4=4，则a6=．14．已知圆C：(x−1)2+y2=1，过点A(−1，0)15．在棱长为2的正四面体ABCD中，E是BC的中点，则AE⋅AD16．用一个平面将圆柱切割成如图的两部分，然后将下半部分几何体的侧面展开.若该平面与圆柱侧面所形成的交线在侧面展开图中对应的函数表达式为y=1+2cosx，x∈[−π，π]，则该平面与圆柱底面所形成的二面角的正弦值是．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3b，（1）若A=π3，求（2）若C=π6，求18．某大型连锁超市为了解客户去年在该超市的消费情况，随机抽取了100位客户进行调查、经统计，这100位客户去年到该超市消费金额(单位：万元)均在区间[0.2，1.4]内，按[0.2，0.4]，(0.4，0.6]，(0.6，0.8]，（1）求该频率分布直方图中a的值，并估计这100位客户去年到该超市消费金额的平均数x−；(同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作为代表（2）为了解顾客需求，该超市从消费金额在区间(0.4，0.6]和(0.6，0.8]内的客户中，采用分层抽样的方法抽取5人进行电话访谈，再从访谈的5人中随机抽取2人作为“幸运客户”，求“幸运客户”中恰有19．已知数列{an}是一个首项为3，公比为q(q≠1)的等比数列，且3a1（1）求数列{a（2）若数列{bn}的前n项和Sn=n220．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D是

（1）求证：BC⊥A（2）若A1B=4，AB=BC=2，P为AC的中点，求平面A121．已知两个定点A1(−2，0)，A2(2，0)，动点（1）求动点M的轨迹方程，并说明随m变化时，方程所表示的曲线C的形状；（2）若m=−1，设不经过原点的直线l与曲线C相交于E，F两点，直线OE，1，OF的斜率分别为k1.k，k2(其中k>0).若k1，k22．已知函数f(x)=2lg(10x+a)（1）当a=−1时，求函数f(x)的定义域；（2）当a=1时，判断函数g(x)的奇偶性并证明；（3）给定实数a>0且a≠1，试判断是否存在直线x=x0，使得函数g(x)的图象关于直线x=x0对称？若存在，求出x0的值(

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由题意可得：A∩B={3,故选：B.【分析】本题考查集合的交集运算.根据交集的定义，找出集合A中大于等于3的元素可求出集合的交集.2．【答案】D【解析】【解答】解：由题设，|z故选：C【分析】本题考查复数的模长公式.先根据复数的乘法运算求出复数z，再利用模长公式z=a2+3．【答案】D【解析】【解答】解：对于A，OM=2OA−对于B，OM=14对于C，OM+OA+OB+对于D，OM=16故选：D【分析】本题考查空间向量共面定理.空间向量共面定理：如果存在有序实数对(x，y，z)，使得向量OP可以表示为向量OA、OB、OC的线性组合，即OP=xOA+yOB+zOC，并且x+y+z=1，则P、A、B、C四点共面，根据共面向量定理逐项计算x+y+z，看是否等于1，进而选出选项：.4．【答案】C【解析】【解答】解：直线l的一个方向向量为(1,2)，则直线l的斜率为2，而直线l过点所以直线l的方程为y−1=2(x−0)故选：C【分析】本题考查直线的点斜式方程.先根据直线的方向向量，求出直线的斜率，再用直线的点斜式方程y-y5．【答案】A【解析】【解答】解：依题意，甲、乙两人都没前往番禺图书馆新馆的概率p1所以甲、乙两人至少有一人前往番禺图书馆新馆的概率是p=1−p故选：A【分析】本题考查独立事件及对立事件的概率公式.先利用独立事件的概念计算出甲、乙两人都没前往番禺图书馆新馆的概率，再利用对立事件的概率公式可求出答案.6．【答案】A【解析】【解答】解：如下图所示：连接AF、BF，设AB∩OF=M，由对称性可知，M为AB的中点，AB⊥OF，因为|AB|=|OF|，则线段AB是以OF为直径的圆的一条直径，则M为圆心，故M为OF的中点，又因为AB⊥OF，且AB、OF互相垂直且平分，所以，四边形OAFB为正方形，则∠AOF=π4，所以，所以，该双曲线的离心率为e=c故选：A.【分析】本题考查双曲线的简单几何性质.先作出图形，根据对称性和垂直平分性的性质可推出四边形OAFB为正方形，根据正方形的性质可得：∠AOF=π4，利用三角函数的定义可求出ba7．【答案】C【解析】【解答】解：当EF⊥B1C，且EF⊥BD时，EF最短。连接B1D1，CD1，则B1D1//BD，∵EF⊥BD，∴EF⊥B1D1，又B1D1【分析】先确定EF取得最小值时的位置，连接B1D1，CD1，由B8．【答案】B【解析】【解答】解：由题意得F1=F2=1A选项，F10B选项，F8C选项，F7D选项，F10故4F故选：B【分析】本题考查数列的递推公式.由题意得F1=F2=1，当n≥3时，Fn=Fn−19．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：在等差数列{an}中，由a4=8a8S15由Sn=n因此S3故选：ABD【分析】本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式.先求出等差数列{an}的首项和公差，可判断A选项；利用等差通项公式计算可判断B选项；利用等差数列的前n项和公式表示可得：S15=1510．【答案】B,D【解析】【解答】解：由题意可得：f(x)=3A、因为f(0)=sin所以函数f(x)的图象不关于y轴对称，A错误；B、函数f(x)的最小正周期为T=2πC、因为f(π所以点(π6,D、当2x−π6=2kπ+函数f(x)取到最大值为1，D正确；故选：BD.【分析】本题考查正弦函数的图象和性质.先利用降幂升角公式和辅助角公式化简解析式可得：f(x)=sin(2x−π6)，通过计算可得：f(0)=−11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：设P(x,y)，则OP⋅PA=(x,C点到直线x−3y+3=0的距离为d=|1−0+3|12+(−3故选：ACD【分析】本题考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系.设P(x,y)，表示出对应向量，根据已知条件OP⋅PA12．【答案】B,C【解析】【解答】解：由题意可知：拋物线C：y2=4x的焦点F(1,且直线l的斜率可以不存在，但不为0，设直线l:x=my+1，联立方程x=my+1y2=4x，消去x则Δ=16m2+16>0可得x1|AB|=x对于选项A：因为线段AB的中点为M(x1+则M到准线的距离d=2m所以以线段AB为直径的圆与准线相切，故A错误；对于选项B：因为|AB|=4(m2+1)≥4所以|AB|的最小值为4，故B正确；对于选项C：因为AF=(1−x1则−y1=3联立y1=−3y代入y1y2=−4可得所以直线l的斜率为±3对于选项D：因为1=m(所以1|FA|故选：BC.【分析】本题考查抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系.先设直线l:x=my+1，A(x1,y1),B(x2,y2)，联立直线方程与抛物线的方程可得y1，再代入y1y213．【答案】16【解析】【解答】解：在等比数列{an}中，由a2=1，a4=4，得q2∴a6故答案为：16．【分析】有已知求出q2，再由a614．【答案】3【解析】【解答】解：点A(−1,0)到圆心C(1,则切线长为|AB|=A故答案为：3.【分析】本题考查直线与圆的位置关系.先作图，再求出点A(−1,0)到圆心C的距离，利用勾股定理可求出15．【答案】2【解析】【解答】解：在棱长为2的正四面体ABCD中，AE=所以AE⋅故答案为：2【分析】本题考查空间向量数量积公式.先利用基底表示向量AE，再代入AE→16．【答案】25【解析】【解答】解：由y=1+2cosx在一个周期其最大值与最小值相差4，即截面的最高处与最低处的高度差为4，底面周长为2π，即底面半径为1，故直径为2，所以平面与圆柱底面所形成的二面角的正弦值是44故答案为：25【分析】本题考查余弦函数的图象和性质.先画出y=1+2cosx在17．【答案】（1）解：由a=3b及正弦定理，

可得sinA=3sinB，

又A=π3，所以sinB=12，

又（2）解：由a=3b，c=8，C=π6及余弦定理，

可得c2=a2+b2−2abcosC，

即【解析】【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，三角形的面积公式.

（1）先利用边化角公式化简可得：sinA=3sinB，代入数据求得（2）由余弦定理可得：c218．【答案】（1）解：由题可知，0.2×(a+1.0+1.5+0.9+a+0.3)=1，

解得a=0.65，

由频率分布直方图可得x−=0.3×0.65×0.2+0.5×1.0×0.2+0.7×1.5×0.2+0.9×0.9×0.2+1.1×0.65×0.2+1.3×0.3×0.2=0.732，

因此，这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数为（2）解：记“幸运客户中恰有1人来自区间(0.3，0.4]”为事件A，

因为区间(0.4，0.6]和(0.6，0.8]频率之比为2：3，采用分层抽样的方法抽取5人进行电话访谈，

故从分组区间(0.4，0.6]中抽取2人，分别记为A1，A2，从分组区间(0.6，0.8]中抽取3人，分别记为B1，B2B3，

从这5个人中随机选择2人作为“幸运客户”，

则样本空间Ω={(A1，A2)，(A1，B1)(A1，B2)【解析】【分析】本题考查频率分布直方图，分层抽样，古典型概率.（1）根据频率分布直方图中各矩形面积和为1可求出a，在由频率分布直方图求平均数方法：频率乘以小矩形底边的中点，然后再相加可求出平均数，进而得出答案；（2）通过计算可得利用分层抽样得到分组区间(0.4,0.19．【答案】（1）解：∵3a1，2a2，a3成等差数列，

∴2×2a2=3a1+a3，

∴4a（2）解：∵数列{bn}的前n项和Sn=n2，

∴n≥2时，bn=Sn−Sn−1=n2−(n−1)2=2n−1，

n=1时，b1=S1=1，满足上式，【解析】【分析】本题考查等比数列的通项公式，错位相减求数列的和.（1）根据等差中项可得4a2=3a1（2）利用通项与前n项和之间的关系可求出bn=2n−1，进而表示出an20．【答案】（1）在直三棱柱ABC−A1B1C1中，A1A⊥平面由AD⊥平面A1BC，且BC⊂平面A1又AA1,AD⊂平面A1AB，A1A∩AD=A，于是所以BC⊥A（2）解：由（1）知BC⊥平面A1AB，AB⊂平面A1AB，则以B为原点，直线BC,BA,BB由A1A⊥AB，A1则B(0,设平面PA1B的一个法向量n=(x,显然BB1⊥平面PBC，则平面PBC的一个法向量为m=(0,因此cosθ=所以平面A1PB与平面PBC的夹角的余弦值为【解析】【分析】本题考查直线与平面垂直的判定，利用空间向量求平面与平面所成的角.（1）根据已知条件，利用直线与平面垂直的性质可推出：A1A⊥BC和AD⊥BC，利用直线与平面垂直的判定可证明BC⊥平面（2）建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，对应向量，求出