湖南省岳阳市华容县2023-2024学年高二上学期期末监测数学试题

湖南省岳阳市华容县2023-2024学年高二上学期期末监测数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）1．数列{an}是等比数列，aA．15 B．16 C．27 D．252．抛物线y2A．（0，2） B．（0，1） C．（1，0） D．（0，3．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其大意为：有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子？这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是（）A．3 B．6 C．9 D．124．双曲线x2a2A．5 B．52 C．3 D．5．已知函数f（x）的导函数是f'（x），f'（x）的图象如图所示，下列说法正确的是（）A．函数f（x）在（-2，-1）上单调递减B．函数f（x）在x＝3处取得极大值C．函数f（x）在（-1，1）上单调递减D．函数f（x）共有4个极值点6．“m=12”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线A．充分必要条件 B．充分非必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件7．已知圆（x-1）2+（y-1）2=4A．12 B．98 C．328．已知在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点A．1515 B．33 C．2二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）9．下列四个命题中错误的有（）A．直线的倾斜角越大，其斜率越大B．直线倾斜角的取值范围是[0，180C．两条不同的直线平行的充要条件是它们的斜率相等D．过点A（2，1），B（-1，1）的直线AB平行于直线y=310．等差数列{an}的前n项和记为SA．a1>0 C．前15项和S15最大 D．从第32项开始，S11．已知a=A．aB．b//cC．＜a，D．c在a方向上的投影向量为4，0，412．已知椭圆x24+y2b2=1（0<b<2）的左，右焦点分别为F1，F2，过点A．椭圆的短轴长为4B．当|AF2C．椭圆的离心率为1D．|AB|的最小值为3三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．如果双曲线x24-y23=1右支上一点P到左焦点F114．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P15．已知数列an、bn为等差数列，其前n项和分别为Sn、Tn，且SnTn16．已知抛物线y2=8x，过焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，且|AF|=2|BF|，则|AB|=四、解答题（本大题共6小题，满分70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知点P和点Q是曲线y＝x2-2x-3上的两点，且点P的横坐标是2，点Q的纵坐标是-4，求：（1）割线PQ的斜率；（2）在点P处的切线方程.18．已知数列{an}为公差不为零的等差数列，a1=1给出下列三个条件：条件①S100=10000；条件②a2，（1）求数列{a（2）设bn=1anan+119．已知圆C：（x-1）2+（y-2）2（1）求证：直线l恒过定点；（2）求直线l被圆C截得的弦长最短时m的值以及最短弦长.20．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，（1）求证：AB⊥A（2）试求二面角D-CA21．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S8=100，a2=5，设数列{（1）求数列{an}（2）设cn=anbn，求数列22．椭圆x2a2+y（1）求椭圆方程；（2）若直线l：y=kx-3与椭圆交于不同的两点M，N.若满足AM=AN，求直线

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：因为数列{an}是等比数列，a3=3故答案为：C.

【分析】本题考查等比数列的通项公式.根据等比数列的通项公式可得：a5=a2．【答案】C【解析】【解答】解：对于抛物线y2=4x，2p=4，则p=2，p2故答案为：C.

【分析】本题考查抛物线方程.先根据抛物线的标准方程求出p的值，代入焦点坐标公式可求出答案.3．【答案】B【解析】【解答】设橘子最少的人所得橘子个数为a1，则5a1即得到橘子最少的人所得的橘子个数是6个.故答案为：B.

【分析】根据题意把实际问题转化为数学问题，由等差数列的前n项和公式代入数值计数首项的值，由此得出答案。4．【答案】D【解析】【解答】解：因为双曲线渐近线为y=±ba故答案为：C..

【分析】本题考查双曲线的简单几何性质.先根据双曲线的渐近线方程可得：ba=2，再根据双曲线的离心率计算公式：5．【答案】C【解析】【解答】解：由函数f(x)的导函数f'可得x∈(−∞,−3)∪(−1,1)，f'所以函数f(x)在(−∞,−3)，(−1,1)上单调递减，在所以函数f(x)在x=−3和x=1处取得极小值，在x=−1处取得极大值，结合选项可知，只有选项C正确．故答案为：C.

【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性.直接利用导函数的图象的正负情况，可找出函数f(x)的单调递增和单调递减区间.根据极大值的：先增后减取得极大值，和极小值的定义：先减后增取得极小值，据此可判断B和D选项.6．【答案】B【解析】【解答】解：因为直线(m+2)x+3my+1=0则(m+2)(m−2)+3m(m+2因此由“m=12”能推出“直线(m+2所以“m=12”是“直线(m+2故答案为：B.

【分析】本题考查命题充分不必要条件的判定，两直线垂直斜率转化公式.根据两直线垂直可得方程(m+2)(m−27．【答案】B【解析】【解答】解：圆(x−1)2+(y−1)2=4的圆心为(1因此a+b−4=0，即a+b=4(a>0,12a当且仅当b2a=2a所以12a+2故答案为：B.

【分析】本题考查圆的方程，利用基本不等式求最值.先找出圆心坐标，根据题意可得出点(1,1)在直线ax+by−4=0(a>0,b>0)上，进而推出：8．【答案】A【解析】【解答】解：以点D为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，不妨设正方体ABCD−A则D(0,0,0)，B(1,则DE=(1,0则cos⟨所以直线DE与体对角线BD1所成角的余弦值为故答案为：A.

【分析】本题考查利用空间向量求异面直线所成的角.建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出对应向量DE、BD1，再利用空间向量的夹角计算公式9．【答案】A,C【解析】【解答】解：A、倾斜角为锐角对应的斜率为正数，倾斜角为钝角对应的斜率为负，所以锐角对应的斜率大于钝角对应的斜率，A错误；B、直线的倾斜角的范围为[0,C、两条不同的直线平行的充要条件是它们的斜率相等或斜率都不存在，C错误；D、过点A(2,1),B(−1,1)的直线故答案为：AC.

【分析】本题考查直线倾斜角的定义，直线斜率的定义，直线与直线平行的判定.根据直线的斜率与倾斜角的关系判断A，利用倾斜角的定义判断B，利用平行直线的充要条件判断C，先求出直线AB的方程，据此可判断D选项.10．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：依题意等差数列{an}满足a15>0，a16<0，所以前15项为正数，第16项开始为负数，公差d为负数，前15项和S15最大，所以ABC选项正确．S31=a故答案为：ABC.

【分析】本题考查等差数列的性质，等差数列前n项和公式.根据已知条件分析可知：前15项为正数，第16项开始为负数，公差d为负数，前15项和S15最大，据此判断A，B，C选项；利用等差数列前n项和公式计算可得：S3111．【答案】B,D【解析】【解答】解：A、因为1×(−1)+0×2+1×(−3)=−4≠0，所以a，b不垂直，A错误，B、因为c=−2b，所以C、因为a⋅c=1×2+0×(−4)+1×6=8，所以cosD、因为c在a方向上的投影向量|c故答案为：BD.

【分析】本题考查空间向量的数量积运算.通过计算可得：a→·b→≠0，利用空间向量垂直关系可判断A选项，因为c=−2b，利用空间向量的平行的坐标关系可判断B选项，根据向量夹角公式计算可得：cos12．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：由题意可得：a=2，根据椭圆定义可得|AF∵|AF∴8−|AB|的最大值为5，根据椭圆性质，当AB⊥x轴时，|AB|最小，此时8−|AB|最大，此时直线l的方程为x=−c，将x=−c代入椭圆方程得：c24+y2b2=1，即A、短轴长为23B、当|AF2|+|BC、e=cD、8−|AB|最大值为5，则|AB|的最小值为3，D正确；综上所述，选项BCD正确，故答案为：BCD..

【分析】本题考查椭圆的简单几何性质.通过椭圆的定义得可得：|AF2|+|BF2|=8−|AB|，所以当AB⊥x轴时，|AB|最小，此时8−|AB|最大，进而求出13．【答案】2【解析】【解答】解：由双曲线定义可得||PF又P为右支上一点，故|PF即|PF故答案为：2.【分析】本题考查双曲线的定义.利用双曲线定义可得：|PF14．【答案】3【解析】【解答】解：如下图所示：由题意可知，点P为C1则AP=所以，x=12，y=1，则故答案为：32【分析】本题考查空间向量的基本定理.先利用空间向量的基本定理可得出AP关于AB、AD、AA1的表达式：AP→=A15．【答案】2【解析】【解答】解：a5故答案为：2.【分析】本题考查等差的性质.根据等差数列的性质进行化简可得：a516．【答案】9【解析】【解答】解：由抛物线y2=8x焦点坐标为设点A(x1,y由抛物线的定义有|AF|由|AF|=2|BF|，得x1+2=2(x所以有m(y又由x=my+2y2=8x所以Δ=64m2+64>0，y由①②联立解得：m2又|=m故答案为：9【分析】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系.求出抛物线的焦点坐标，直线方程为x=my+2，联立直线方程和抛物线方程可得：y1+y2=8m17．【答案】（1）解：当x=2时，y=22−2×2−3=−3令y=x2−2x−3=−4，可得x2−2x+1=0因此，割线PQ的斜率为kPQ（2）解：对函数y=x2−2x−3所以，曲线y=x2−2x−3在点P所以，曲线y=x2−2x−3在点P处的切线方程为y+3=2(x−2)【解析】【分析】本题考查直线的斜率，曲线的切线方程.（1）求出点P、Q的坐标，利用斜率公式k=y1-（2）先求出导函数，再求出切线的斜率，再利用直线的点斜式，可求出所求切线的方程.18．【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，选择①：因为S100所以d=2，a选择②：因为a2，a5，a14成等比数列，所以a52选择③：因为（-1）1a1+（-1）（2）解：因为bn所以T【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，裂项相消求数列的和.（1）选择①：由求和公式得出d，利用等差数列的通项公式可求出通项公式；选择②：由等比中项的性质可得：a52=a2∙a（2）通过计算可得bn19．【答案】（1）证明：直线l的方程可化为m(令2x+y−7=0x+y−4=0解得x=3（2）解：由题意可知：圆C:(x−1)2+因为|CP|=(可知点P(3,1)在圆C内，直线L与圆当直线L⊥CP时，直线L被圆截得的弦长最短，因为直线CP的斜率为kCP故直线L的斜率为k=−2m+1m+1=2此时圆心C(1,2)到直线L的距离为d=|PC|=5【解析】【分析】本题考查直线方程，直线与圆的位置关系，圆的弦长公式.（1）由直线l的方程变形为(2x+y−7)m+(x+y−4)=0，联立2x+y−7=0x+y−4=0（2）要使直线L被圆C所截得的弦长最短，则L⊥CP，化圆C的方程为标准方程，求出圆心坐标，利用直线与直线垂直的转化公式可求出kCP=−1，再根据两直线垂直与斜率的关系可求出20．【答案】（1）证明：∵该三棱柱是直三棱柱，且AC∴AC，AB，AA1两两互相垂直，以则A(0，0，0)，B(0，（2）解：A(0，∴AB易知AB是平面AA1C的一个法向量，设平面DC则n⋅A1C=故n=(1，4∵二面角D−CA1−A为锐二面角，∴二面角【解析】【分析】本题考查异面直线垂直的判定，利用空间向量求出二面角.（1）以A为原点，建立空间直角坐标系A−xyz，写出对应点的坐标，求出对应向量，通过计算可得：AB→⋅A1C→=021．【答案】（1）解：设等差数列{an}由已知可得S8=8a所以an=a1+(n−1)d=3n−1.由P当n≥2时，Pn=2n+1−2所以b（2）解：由（1）知cnTn2T两式作差得：−Tn=4+3×22+3×2【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，数列通项公式与前n项和的关系，利用错位相减法求数列的和.（1）利用等差数列的通项公式和前n项和公式可求出数列{an}的首项和公差，由此可求出an.写出Pn−1（2）由（1）可求得cn=(3n−1)⋅2n，写出Tn22