数学优化训练：7柱、锥、台和球的体积

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1。1。7柱、锥、台和球的体积5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1。充满氢气的气球飞艇可以供游客旅行.现有一个飞艇,若要它的半径扩大为原来的4倍，那么它的体积应增大到原来的（）A。4倍B。8倍C.64倍D。16倍解析：设气球原来半径为R，则现在半径为4R，此时体积V=π(4R）3=64×。故选C。答案:C2.圆台的轴截面等腰梯形的腰长为a,下底边长为2a,对角线长为,则这个圆台的体积是（）A.B.C.D.解:由AD=a,AB=2a，BD=a知∠ADB=90°，分别过D点、C点作DH⊥AB,CG⊥AB。知DH=a，∴HB=.∴DE=HF=a。∴V圆台=(a2+a2+a2)·.答案：D3.一个圆柱的底面直径和高都等于一个球的直径，则这个圆柱的体积与球的体积的比值为______________。解析：代入圆柱和球的体积公式求比即可。设球的半径为r，则圆柱的底面半径是r，高是2r，∴V球=πr3，V柱=πr2·2r=2πr3.∴V柱∶V球=2πr3∶πr3=3∶2.答案：3∶210分钟训练(强化类训练，可用于课中）1。已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于(）A.B。C.D.解：设正方体的棱长为x，则正方体的对角线长为，由题设有，解得x=。所以选D。答案：D2.半径为R的半圆卷成一个圆锥，这个圆锥的体积是（）A。B.C。D。解：设圆锥的底面半径为r，则2πr=l=π·R。∴r=R。∴圆锥的高h=。∴V锥=πr2·h=··。答案：A3。表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（)A.πB.C。D。解：正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由8×知a=1.则此球的直径为2，故选A.答案：A4.如图1—1-7—1，在四面体ABCD中,截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC、DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A-BEFD与三棱锥A-EFC的表面积分别是S1、S2，则必有(）图1-1-7—1A.S1〈S2B.S1〉S2C。S1=S2D。S1、S2的大小关系不能确定解：连结OA、OB、OC、OD,则VA—BEFD=VO—ABD+VO—ABE+VO—BEFD,VA—EFC=VO—ADC+VO—AEC+VO—EFC。又VA—BEFD=VA—EFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径,故S△ABD+S△ABE+S四边形BEFD=S△ADC+S△AEC+S△EFC又面AEF公共，故选C。答案：C5.正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠这个正方形，使B、C、D重合于一点P，得到一个三棱锥如图1—1—7-2.求此三棱锥的体积。图1—1—7—2解:∵∠D=∠C=∠B=90°，∴翻折后∠APE=∠EPF=∠APF=90°。∴Rt△PEF可以看作底面，而AP可以看作是高.比较发现：AP=1，PE⊥PF，PE=PF=.∴VA—PEF=S△PEF·AP=××××1=(立方单位)。30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)1。正方体形容器有相邻两面中心各有一小孔，则此封闭容器最多盛水量是正方体总容量的（)A。B。C.D.解析：设正方体棱长为2a，则最多盛水容积为(2a)3-a2·2a=7a3。又总容积为8a3.故选B。答案:B2.若圆锥、圆柱的底面直径和它们的高都等于一个球的直径，则圆锥、圆柱、球的体积之比为(）A。1∶3∶4B。1∶3∶2C.1∶2∶4D。1∶4∶2解：设球半径为R,则V圆锥=πR2（2R)=πR3，V圆柱=πR2·2R=2πR3，V球=πR3.∴V锥∶V柱∶V球=∶2∶=1∶3∶2.答案：B3。OA是圆锥底面中心O到母线的垂线,OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为()A.B。C。D.解析：如图,设圆锥的高为h,母线与轴的夹角为θ,则圆锥的底面半径r=h·tanθ.∴V圆锥=πr2h=πh3tan2θ.又OA=h·sinθ，故O1A故曲面将圆锥分成两部分的上部分体积为V1=πO1A2（DO1+O1O)=πh3sin2θcos2θ.所剩另一部分的体积为V2=V圆锥-V1=πh3tan2θ-πh3sin2θcos2θ.又V1=V2，故πh3sin2θcos2θ=πh3tan2θ—πh3sin2θcos2θ。解之，得cos4θ=，cosθ=.答案：D4。已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是(）A。16πB。20πC。24πD。32π解析：由V=Sh得S=4，即正四棱柱底面边长为2.该正四棱柱的主对角线即为球的直径，所以球的表面积V′=4πr2=4π（）2=D2π=(22+22+42)π=24π,选C。答案:C5.在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的几何体的体积是()A.B.C。D.解析：截去的每个小三棱锥的体积为××××=×（）4，则剩余部分体积V=1—×（)4×8=.答案：D6.已知球面上的四点P、A、B、C，且PA、PB、PC两两互相垂直,PA=PB=PC=2,则此球的体积为（)A。πB.C.D.解析:以PA、PB、PC为三边作一个正方体,则此球是正方体的外接球,其直径等于正方体的对角线长,即2R=，所以R=.因此，球的体积为πR3=π.故选A。答案：A7。圆台的体积为52cm3,上、下底面积之比为1∶9，则截得该圆台的圆锥体积为_____________.解：设圆台的上、下底面半径分别为r、R,则r∶R=1∶3。而V台=πh（r2+Rr+R2)=52,设圆锥高为h′,则,∴h=h′.∴h·()=52。∴×h′·R2=52.∴πR2h′==162。∴V锥=πR2h′=×162=54.答案:548。圆锥的母线长是它的高的2倍，过顶点的最大的截面交底面得一条弦，底面圆心到弦的距离为2cm,求圆锥的体积.解：设PO=x，则PA=2x，OA=,最大截面为PAD(∠APD=90°）.设OC⊥AD,则OC=2,AC=.由OC2+CA2=OA2可得x=2。∴V=（)2·x=8π。9。将半径为72cm的扇形OAB剪去小扇形OCD,余下扇环ABCD的面积为648πcm2,围成圆台后，其上、下底半径差为6cm。求该圆台的体积。解:设圆台上、下底面半径、母线、高分别为r、R、l、h，