山东省八校2025届高三上学期第四次联合测评数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页山东省八校2025届高三上学期第四次联合测评数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.4−3i2−3iA.17−18i B.−1−18i C.−1+6i D.17+12i2.已知集合A={x|x2−4x−5≤0}，B={x|0≤x≤6}，则A∪B=A.{x|−5≤x≤6} B.{x|−1≤x≤6} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0≤x≤5}3.已知平面向量a，b满足a=2b=2，且cosa,b=−1A.−16a B.16a 4.将函数y=cosx+φ图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=fx的图象.若y=fx的图象关于点−7π3A.π3 B.2π3 C.π65.2024年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有(

)A.1440种 B.1360种 C.1282种 D.1128种6.若直线l:y=kx+3−k与曲线C:y=1−x2恰有两个交点，则实数kA.34,+∞ B.43,327.从重量分别为1，2，3，4，…，10克的砝码(每种砝码各2个)中选出若干个，使其重量恰为9克的方法总数为m，下列各式的展式中x9的系数为m的选项是(

)A.(1+x)1+x21+x3…1+x8.已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x<0时，fx=eA.函数fx有两个零点 B.当x>0时，fx=−ex−x+2

C.fx二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.函数g(x)=sinωx−π6(ω>0)的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，向右平移πA.y=fx+π6为奇函数

B.fx的图象关于直线x=11π12对称

C.fx在区间−π1210.如图所示，A，B，C是圆锥底面圆周上的三个点，若▵ABC是边长为3的等边三角形，OC=2，P，Q分别为OB，OC的中点，D为线段BC的中点，则下列结论错误的是(

)

A.PQ=AD

B.AD⊥平面OBC

C.PQ//平面ABC

D.三棱锥P−ABC与三棱锥Q−ABC公共部分的体积为111.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，过F2A.MN始终垂直于x轴 B.MF2⊥NF2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某站台经过统计发现，一号列车准点到站的概率为13，二号列车准点到站的概率为34，一号列车准点到站或者二号列车不准点到站的概率为12，记“一号列车准点到站且二号列车不准点到站”为事件A，一号列车不准点到站且二号列车准点到站”为事件B，则P(A+B)=

13.《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.已知长度为23的线段PQ，取PQ的中点M1，以PM1为边作等边三角形(如图1)，该等边三角形的面积为S1，再取M1Q的中点M2，以M1M2为边作等边三角形(如图2)，图14.设函数fx=x2−alnx，gx=a−2x.若函数F四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知数列an的首项为a1(1)求证1an为等差数列，并求出数列(2)设数列2nan的前n项和为T(3)若数列bn的通项公式为bn=4n+1，且对任意的n∈16.(本小题12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA+(1)判断△ABC的形状：(2)已知b≠c，a=23，A=π3，点P、Q是边AC上的两个动点(P、Q不重合，且点P靠近A，点Q靠近C).记∠PBQ=θ， ①当θ=π6时，求线段PQ ②是否存在常数θ和k，对于所有满足题意的α、β，都有sin2α−sin2β+k=6ksinαcosβ成立?参考公式：sinα+sinβ=2sin17.(本小题12分)如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱(1)求证：C1(2)求直线AB与平面DEB(3)在线段AB上是否存在点H，使得平面DEB1与平面HEB1所成角的余弦值为18.(本小题12分)已知椭圆E:x2a(1)求椭圆方程；(2)设直线l1:y=kx+m与椭圆E相切于第一象限内的点P，不过原点O且平行于l1的直线l2与椭圆E交于不同的两点A，B，点A关于原点O的对称点为C.记直线OP的斜率为k1①求k1②若O，P，B，C四点围成的四边形为平行四边形，求S△OABS19.(本小题12分)已知函数f(x)=x+1(1)求函数f(x)的单调区间;(2)证明x∈(0,+∞)时，x−(3)若对于任意的x∈(0,+∞)，关于x的不等式ex−2≥2mx2−x−x参考答案1.B

2.B

3.A

4.A

5.D

6.B

7.C

8.C

9.ABC

10.ABD

11.ABC

12.71213.102314.3

15.解：(1)因为an+1=an4所以1an+1=所以数列1an是以首项为1a可得1an=2+4(2)由(1)可知：2n所以Tn(3)因为bn=4即k⋅4n≥2n−5令2n−54n≥且n∈N∗，可得n=3，即可得k≥164，所以实数k的最小值

16.解：(1)在△ABC中，因为A+B+C=π，且sinA+sin(C−B)=sin2B，

所以sin(C+B)+sin(C−B)=sin2B，

即2sinCcosB=2sinBcosB，cosB(sinC−sinB)=0，

所以cosB=0或者sinC=sinB.

当cosB=0时，B=90∘，△ABC为直角三角形;

当sinC=sinB时，所以c=b，△ABC为等腰三角形．

综上所述，△ABC为直角三角形或等腰三角形．

(2) ①因为c≠b，所以B=π2，又A=π3，a=23，

所以c=2，b=4．

如图，

因为∠CBQ=α，α∈[0,π3]，

在△ABP中，由正弦定理，得BPsinπ3=ABsin(β+π3)，所以BP=3sin(β+π3)．

在△BPQ中，由正弦定理，得BPsin (−β+π2)=PQsinπ6，

所以PQ=BP2cosβ=32cosβsin(β+π17.解：(1)由题意知，CC1⊥CB,C则C(0,0,0),C所以C1得C1M⋅(2)C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C得AB=(−2,2,0),设平面DEB1的一个法向量为则n⋅EB1=2y+z=0n⋅所以cosAB即AB与平面DEB1所成角的正弦值为(3)假设存在满足题意的点H，设AH=λ由(1)(2)知AB=(−2,2,0),所以(xH−2,y即H(2−2λ,2λ,0)，所以EH=(2−2λ,2λ,−2)设平面HEB1的一个法向量为则m⋅EH=(2−2λ)a+2λb−2c=0m⋅所以m=(−2−λ1−λ,−2,1)，又平面故cosm整理得4λ2+36λ−19=0，由0≤λ≤1即当点H为AB的中点时，平面DEB1与平面HEB此时AH=22

18.解：(1)由题意a=2c=2，从而a=2，c=1，b=所以椭圆方程为x2(2)

①由y=kx+mx24+y由Δ=(8km)2−4此时方程(∗)可化为：m2解得：x=−4km(由条件可知：k，m设Px0,y0即P−4km因为l1//l由y=kx+nx24+y当Δ>0时，方程有两个不相等的实根，设Ax1,y1，B因为A，C两点关于原点对称，所以C−x1所以k1②设直线l1与y轴交于点Q，直线l2与y轴交于点N，则于是S▵OAB由①可知：OP//BC，若O，P，B，C四点围成的四边形为平行四边形，则还需|OP|=|BC|，即|OP|由①可知：P−4km又Bx2,所以|BC|由|OP|2=|BC又m2=4k2+3当m=2n时，S▵OAB当m=−2n时，S▵OAB

19.解：(1)∵f(x)=x+1ex，∴f′(x)=ex−(x+1)ex(ex)2=−xex，

当x<0时，f′(x)>0，fx在(−∞,0)上单调递增；

当x≥0时，f′(x)≤0，fx在[0,+∞)上单调递减；

∴f(x)的增区间为(−∞,0)，减区间为[0,+∞).

(2)令t=x−1−lnx(x>0)，

t′=1−1x=x−1x，当0<x<1时，t′<0;

当x>1时，t′>0，

∴当x=1时，tmin=0，

∴t