2019年中考数学复习第四单元图形的初步认识与三角形第17讲全等三角形练习

第17讲全等三角形重难点全等三角形的性质与判定如图，已知AC＝BD，AB＝DC，求证：△ABO≌△DCO.【思路点拨】先由“SSS”证△ABC≌△DCB，再由“AAS”证△ABO≌△DCO.【自主解答】证明：∵AB＝DC，AC＝DB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB(SSS)．∴∠A＝∠D.又∵∠AOB＝∠DOC，AB＝DC,∴△ABO≌△DCO(AAS)．eq\x(方法指导)1．三角形全等的证明思路：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(已知两边)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(找夹角→SAS,\a\vs4\al(找直角→HL或SAS),找另一边→SSS)),\a\vs4\al(已知一边和一角)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(边为角的对边→找任一角→AAS),\a\vs4\al(边为角的邻边)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(找夹角的另一边→SAS),\a\vs4\al(找夹边的另一角→ASA),\a\vs4\al(找边的对角→AAS))))),\a\vs4\al(已知,两角)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(找夹边→ASA,\a\vs4\al(找任一角的对边→AAS)))))2．判定两个三角形全等的三个条件中，“边”是必不可少的．3．证明两条线段相等或两个角相等时，常用的方法是证明这两条线段或者这两个角所在的两个三角形全等．当所证的线段或角不在两个全等的三角形中时，可通过添加辅助线的方法构造全等三角形．它的步骤是：先证全等，再利用全等的性质求解．4．探究两条线段的位置关系时，一般也是先利用全等的性质证明角相等，进而利用平行线的判定和直角的定义来判断线段的位置关系．eq\x(易错提示)“SSA”和“AAA”不能判定三角形全等．【变式1】如图，已知AB＝CD，∠A＝∠D，求证：△ABC≌△DCB.【思路点拨】先证△AEB≌△DEC，再根据全等三角形的性质得到相等的边和角，从而使问题得证．【自主解答】证明：∵AB＝CD，∠A＝∠D，∠AEB＝∠DEC，∴△AEB≌△DEC(AAS)．∴BE＝CE，∠ABE＝∠DCE.∴∠EBC＝∠ECB.∴∠ABC＝∠DCB.又∵BC＝CB，∴△ABC≌△DCB(ASA)．【变式2】如图，已知点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，OB＝OC，∠ABE＝∠ACD.求证：△ABE≌△ACD.【思路点拨】已知△ABE和△ACD的两组对应角相等，则只需找到一组对应边相等即可．【自主解答】证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.又∵∠ABE＝∠ACD，∴∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC.在△ABE和△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠A，,AB＝AC，,∠ABE＝∠ACD，))∴△ABE≌△ACD(ASA)．【变式3】如图，已知AC，BD相交于点O，∠DBA＝∠CAB，∠1＝∠2，求证：∠CDA＝∠DCB.【思路点拨】要证∠CDA＝∠DCB，观察发现∠CDA与∠CAB分别在△ADC与△BCD中，故只需证明△ADC≌△BCD，由全等三角形的性质即可使问题得证．【自主解答】证明：∵∠DBA＝∠CAB，∠1＝∠2，AB＝BA，∴△DAB≌△CBA(AAS)．∴AC＝BD，AD＝BC.又∵CD＝DC，∴△ADC≌△BCD(SSS)．∴∠CDA＝∠DCB.考点1全等三角形的概念及性质1．(2016·厦门)如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应点，AF与DE相交于点M，则∠DCE＝(A)A．∠BB．∠AC．∠EMFD．∠AFB2．(2016·成都)如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝120°．考点2全等三角形的判定3．(2018·成都)如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是(C)A．∠A＝∠DB．∠ACB＝∠DBCC．AC＝DBD．AB＝DC4．(2018·黔东南)在下列各图中，a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是(B)A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙5．(2018·临沂)如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是D，E，AD＝3，BE＝1.则DE的长是(B)A.eq\f(3,2)B．2C．2eq\r(2)D.eq\r(10)6．如图，在等边△ABC中，M，N分别在BC，AC上移动，且BM＝CN，AM与BN相交于点Q，则∠BAM＋∠ABN的度数是(A)A．60°B．55°C．45°D．不能确定7．(2018·南京)如图，AB⊥CD，且AB＝CD.E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为(D)A．a＋cB．b＋cC．a－b＋cD．a＋b－c8．(2018·衢州)如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是答案不唯一，如：AB＝DE或∠A＝∠D或∠ACB＝∠DFE(或AC∥DF)．(只需写一个，不添加辅助线)9．(2018·荆州)已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于eq\f(1,2)MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部相交于点C；③画射线OC.射线OC即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是SSS．10．(2018·娄底)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3cm，则BF＝6__cm11．(2018·南充)如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC.求证：∠C＝∠E.证明：∵∠BAE＝∠DAC，∴∠BAE－∠CAE＝∠DAC－∠CAE.∴∠BAC＝∠DAE.在△ABC和△ADE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,∠BAC＝∠DAE，,AC＝AE，))∴△ABC≌△ADE(SAS)．∴∠C＝∠E.12．(2018·桂林)如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF.(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数．解：(1)证明：∵AD＝CF，∴AC＝DF.在△ABC和△DEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝DE，,BC＝EF，,AC＝DF，))∴△ABC≌△DEF(SSS)．(2)∵△ABC≌△DEF，∴∠F＝∠ACB.∵∠A＝55°，∠B＝88°，∴∠ACB＝180°－(∠A＋∠B)＝37°.∴∠F＝∠ACB＝37°.13．(2018·泰州)如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC，DB相交于点O，求证：OB＝OC.证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝DB，,BC＝CB，))∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)．∴∠ACB＝∠DBC.∴OB＝OC.14．(2018·怀化T19，10分)如图，点A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，AB＝CD，∠B＝∠D.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)若点E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG＝5，求AB的长．解：(1)证明：∵AB∥DC，∴∠A＝∠C.2分在△ABE和△CDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠C，,AB＝CD，,∠B＝∠D，))∴△ABE≌△CDF(ASA).4分(2)∵点E，G分别为线段FC，FD的中点，∴EG＝eq\f(1,2)CD.6分∵EG＝5，∴CD＝10.8分∵△ABE≌△CDF，∴AB＝CD＝10.10分15．(2017·哈尔滨)已知△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AE，BD相交于点O.AE与DC相交于点M，BD与AC相交于点N.(1)如图1，求证：AE＝BD；(2)如图2，若AC＝DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．图1图2解：(1)证明：∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，DC＝EC.∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.在△ACE和△BCD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝BC，,∠ACE＝∠BCD，,CE＝CD，))∴△ACE≌△BCD(SAS)．∴AE＝BD.(2)答案不唯一，如：△ACB≌△DCE，△EMC≌△BNC，△AON≌△DOM，△AOB≌△DOE.16．(2017·滨州)如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M，N两点，则以下结论：①PM＝PN恒成立；②OM＋ON的值不变；③四边形PMON的面积不变；④MN的长不变．其中正确的个数为(B)A．4B．3C．217．(2018·青岛)如图，正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，CD上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为eq\f(\r(34),2)．18．(2018·滨州)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点．(1)如图1，若点E，F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF，求证：BE＝AF；(2)若点E，F分别为AB，CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE＝AF吗？请利用图2说明理由．图1图2解：(1)证明：连接AD.∵∠A＝90°，AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∠EBD＝45°.∵点D为BC的中点，∴AD＝eq\f(1,2)BC＝BD，∠FAD＝45°.∵∠BDE＋∠EDA＝90°，∠EDA＋∠ADF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF.在△BDE和△ADF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠