数学优化训练：向量的概念及表示

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第2章平面向量2.1向量的概念及表示5分钟训练（预习类训练,可用于课前）1.向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具.请指出下列哪些量是向量。（1)重力;(2）速度；（3）高度;(4)位移;(5)面积;（6)体积。思路解析：既有大小又有方向的量叫向量，如位移、速度、力等.只有大小没有方向的量叫数量，如高度、面积、体积等.答案：(1)(2)（4)2。如图2—1—图2思路解析:长度相等、方向相同的向量是相等向量或同一向量；相等向量用同向且等长的有向线段表示。解:在正六边形中,|｜=｜|=|｜=｜｜。又∵AF∥EB∥DC且与、、方向相同，∴与相等的向量有、、。3.下列说法中正确的是(）A。单位向量都是相等向量B。长度相等的向量叫相等向量C.零向量长度等于0D.共线向量是在一条直线上的向量思路解析:方向相同或相反的非零向量称为平行向量或共线向量.零向量是长度等于0的向量，零向量的方向不确定。长度相等且方向相同的向量是相等向量或同一向量，单位向量的长度都是1，但单位向量的方向未必都相同，只有方向相同的单位向量才是相等向量。答案：C10分钟训练（强化类训练,可用于课中）1.下列命题中正确的是（)A.若|a|=0，则a=0B.若|a|=|b|，则a=bC。若｜a|=｜b|，则a、b是平行向量D。若a与b平行，则a=b思路解析:模为零的向量是零向量,A对；模相等的向量不一定相等或平行，B、C均错；平行向量和相等向量是不同的概念，D错.答案:A2.下列说法中错误的是（）A.零向量的长度为零B。零向量与任一向量都是共线向量C。零向量没有方向D.零向量的方向是任意的思路解析:只要是向量就有方向，零向量的方向是任意的，不能说零向量没有方向，C错。答案:C3.如图2-1-2所示，在正△ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量相等的向量是()图2-1-2A。与B.与C。与D。与思路解析：向量相等要求模相等，方向相同，因此与都和是相等的向量.答案：B4。如图2-1-3所示,四边形ABCD与ABEC都是平行四边形.图2(1）用有向线段表示与向量相等的向量；（2)用有向线段表示与向量共线的向量。思路解析:用有向线段表示向量是数形结合思想的具体运用，利用图形的直观性，向量之间的关系（共线向量、相等向量等)可通过图形的几何特征得到.寻找相等向量和共线向量可以从大小和方向两个方面来考虑.解：（1）与向量相等的向量是,；(2)与向量共线的向量是,,。5。有两个长度相等的向量，在什么情况下，这两个向量一定是相等向量。思路解析：向量有两个要素:一是大小，二是方向.两个向量只有当它们的模相等，同时方向相同时，才称为相等的向量,即a=b就意味着|a|=|b｜，且a与b的方向相同.还要注意到零向量与零向量是相等向量。所以判断两个向量是否相等就是看它们的大小是否相等,方向是否相同.解:有下列两种情况，这两个向量一定相等.(1)两个长度相等的向量的方向相同;（2）两个长度相等的向量都为零向量.6。中国象棋中规定:马走“日”字，象走“田”字。如图2—1-4所示，在中国象棋的半个棋盘（是由4×8个大小相同的正方形组成的)中,若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处,用向量，表示马走了“一步”,试在图中画出马在B、C处走了一步的所有情况.图2-1-4思路解析：此题中，马在A处有两条路可走,在B处有三条路可走，在C处有八条路可走，可谓“八面威风”.解题时,应做到不重不漏.根据规则，作出符合要求的所有向量.解：如图，以点C为起点作向量(共8个),以点B为起点作向量(共3个).志鸿教育乐园刀法中国、日本、俄罗斯三国武士比赛，只见俄罗斯的武士拔出刀一挥,把裁判放出的苍蝇拦腰砍为两段，裁判给了他80分.这时日本的武士上来，拔刀后，裁判给了他90分,他把苍蝇的翅膀砍下来了！轮到中国的武士了，只见他拿了两把菜刀一挥，裁判给了他100分,另两个不服就问裁判，裁判把苍蝇捡起来给他们看，说人家中国武士给苍蝇割了个双眼皮！30分钟训练（巩固类训练,可用于课后）1.下列结论中正确的是（）A.向量必须用有向线段来表示B。表示一个向量的有向线段是唯一的C。有向线段和是同一向量D.有向线段和的大小相等思路解析：向量可以用有向线段表示，但是向量的表示方法是多种多样的，A错;表示一个向量的有向线段有无数个，B错;有向线段和方向不同，它们不是同一个向量,C错；有向线段和的大小相等方向相反，D对.答案:D2。下列物理量:①质量；②速度；③位移；④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度；⑧功，其中不是向量的有()A.1个B.2个C。3个D.4个思路解析:本题关键是看所给的量是否既有大小又有方向.由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小没有方向，不是向量，是数量.故选D。答案：D3。下列说法中正确的是(）A。只有方向相同或相反的向量是平行向量B。零向量的长度为零C.长度相等的两个向量是相等向量D.共线向量是在一条直线上的向量思路解析：零向量和任意向量平行，A错;长度为零的向量叫做零向量,B对；相等的向量是长度相等且方向相同的向量,C错;共线向量都可以移动到一条直线上，但是它们不一定在一条直线上，D错。答案：B4。下列说法中不正确的是(）A。向量的长度与向量的长度相等B。任何一个非零向量都可以平行移动C。长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D。两个有共同起点且共线的向量其中点必相同思路解析:两个有共同起点且共线的向量，它们的方向可能相反,而且它们的长度也有可能不同,所以D不正确.答案:D5.下列说法:①两个有公共起点且长度相等的向量,其终点可能不同；②若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线；③若a∥b且b∥c，则a∥c；④当且仅当=时，四边形ABCD是平行四边形.其中正确的个数为（）A.0B。1C。2D。3思路解析：①正确；②不正确，这是由于向量的共线与表示向量的有向线段共线是两个不同的概念；③不正确,假设向量b为零向量,因为零向量与任何一个向量都平行，符合a∥b且b∥c的条件，但结论a∥c却不能成立；④正确，这是因为四边形ABCD是平行四边形AB∥DC且AB=DC，即和相等。答案：C6。下列命题：①若向量a的模小于向量b的模，则a〈b；②质量、动量、功、加速度都是向量；③a与b平行，则a与b方向相同或相反；④零向量与任何向量都平行.其中正确命题的个数为_____________________。思路解析：向量不能比较大小，①错;质量、功是标量,不属于向量，②错；③没有考虑零向量，不正确;零向量的方向是任意的,所以它与任意向量平行,C对。答案：17。下列命题:①单位向量都相等；②单位向量都共线；③共线的单位向量必相等；④与一非零向量共线的单位向量有且只有一个。其中正确命题的个数为_________________.思路解析:单位向量的模相等，但是它们的方向不一定相同,①错；同理②错;共线的单位向量有可能方向相反,③错；与一非零向量共线的单位向量有两个，它们与这个向量方向相同或相反，④错。答案：08.如图2—1-5所示,D、E、F分别是等腰Rt△ABC的各边中点，∠BAC=90图2-1(1)分别写出图中与向量、长度相等的向量;（2）分别写出图中与向量、相等的向量；（3)分别写出图中与向量、共线的向量.思路解析:长度相等的向量,方向可以是不同的，因此它们不一定是相等向量，而相等向量必须是长度相等且方向相同,即通过平移可以重合的向量.共线向量也是平行向量，这与几何中线段的共线不同.解：（1）｜｜=｜|=｜|=||=｜|=｜|；||=｜|=｜｜。(2)==;==。（3)∥∥∥；∥∥∥.9。已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000km到达丙地，再从丙地按西偏南45°或南偏西45°方向飞行1000km到达丁地，问丁地在甲地的什么方向?丁地距甲地多