2024-2025学年福建省厦门某中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省厦门三中高二（上）期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.过点P（避28）且倾斜角为135。的直线方程为（）

A.3%—y—4"\/3=0B.x—y-=0

C.x+y-4=。D.x+y+y^-0

2.已知直线A：ax+2y+4=0,直线，2：久+（a+l）y+4=0,若，i〃，2，则h与％的距禺为（）

A.A/2B.2"C.3*D.4^/2

3.已知之=（2,-1,3）工=（-1,4,一2）2=（4,5/），若五共面，则实数4的值为（）

A.6B.5C.4D.3

4.在直三棱柱力BC-ApBiCi中，AC=3,BC=3,AB=3避,441=4,则异面直线力道与BQ所成角的余弦值

为（）

.16B秘C噌4

A•一元D5

5.在棱长为2的正方体ABC。-48'C'D'中，点E为棱CC'的中点，则点4到直线BE的距离为（）

6.若直线y=久+b与曲线x=«1一片恰有一个公共点，贝叨的取值范围是（）

A.并]B.[―1，V2]C.(—1.1]U{V2}D.(—1,1]U{-

7.已知点4（4,1）,8（0,4）,直线I：3x—y—1=0,点P在直线/上，贝1]|伊切—]。川1的最大值为（）

A.A/2B.2^/2C.祖D.2

8.在三棱锥中P—ABC,AB=BC=2",且力B1BC.记直线P4PC,PB与平面ABC所成角分别为a,

B，Y，已知0=2a=60。，当三棱锥P-4BC的体积最小时，tany=（）

AB理CD

A-17B.4L.5D.10

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列命题中，正确的是（）

第1页，共9页

A.如果AB>0且BC<0,那么直线力久+By+C=0不经过第三象限

B.空间直角坐标系中，点P(-1,2,-3)关于平面yoz对称的点Pi的坐标为(1,2,-3)

C.过点(-1,2)且和直线3x+2y-7=0垂直的直线方程是2x-3y-8=0

D.已知直线I过定点P(L0)且与以4(2,-3),8(-3,-2)为端点的线段有交点，则直线/的斜率k的取值范围是

(一8,—3]U[1,+OO)

10.如图，在三棱锥P-2BC中，PA=PC=2,PB=1,且N4PB=MPB=AAPC=60°,点。是4B的中

点，G是CD上的一点，且GC=2DG,则下列说法正确的是()

A.PG=岑B.PG="

------>------»A.------>------>?

C.PG-AB=--D.PG-AB=--

11.如图，矩形BDEF所在平面与正方形4BCD所在平面互相垂直，AD=DE=4,G为线段力E上的动点,

则()

A.若G为线段4E的中点，贝忆8〃平面CEF

B.AE1CF

C.BG2+CG2的最小值为48

D.点B到平面CEF的距离为警

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知4(1,1,0),5(0,3,0),C(2,2,2),则向量说在标上的投影向量的坐标是.

13.在平面直角坐标系尤Oy中，圆C经过点4(1,0)和点B(—1,2),且圆心在直线2x—y+2=0上，若直线

久=ay+3被圆C截得弦长为2避，则实数a的值为.

14.已知OM：x2+y2+2x-4y+1=0,直线I：x-y-1=0,P为/上的动点.过点P作OM的切线P4

PB,切点分别为4B,当最小时，点P的坐标为,直线的方程为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

(1)已知直线/：依+y+2—k=0过定点M,点P(x,y)在直线2x—y+1=0上，求|MP|的最小值.

(2)直线经过点P(l,2),且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，求直线/的方程.

16.(本小题15分)

如图，三棱台力BC—AiBiQ中，AB1AC,AB=4C=4,ArBr=ArCr=ArA=2,侧棱1平面

第2页，共9页

48C,点。是CCi的中点.

(1)求证：BBil平面4BC

(2)求平面ABiC和平面48。夹角的余弦值.

17.(本小题15分)

已知圆0：x2+y2=4.

⑴直线4x-3y+a=0截圆。的弦长为24，求a的值.

(2)记圆。与x、y轴的正半轴分别交于4B两点，动点Q满足|Q4|=^|Q8|,问：动点Q的轨迹与圆。是否

有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由.

18.(本小题17分)

如图，在三棱锥力一BCD中，平面ABD1平面BCD,AB=AD,。为BD的中点，△0CD是边长为1的等边三

角形,且匕l-BCD=g.

(1)求直线CD和平面28C所成角的正弦值；

(2)在棱4D上是否存在点E,使二面角E-BC-D的大小为45。？若存在，并求出黑的值.

19.(本小题17分)

己知圆。：x2+y2=2,直线I：y=kx-2.

(1)若直线/与圆。相切，求k的值;

(2)若直线，与圆。交于不同的两点4B,当N40B为锐角时，求k的取值范围;

第3页，共9页

(3)若k=1,P是直线1上的动点，过P作圆。的两条切线PC,PD,切点为C,D,探究：直线CD是否过定

点，若过定点，则求出该定点.

第4页，共9页

参考答案

1.D

2.C

3.5

4.2

5.C

6.D

7.C

8.C

9.ABD

10.AC

11.ABD

12.(磊

13.±A/I5

14.(1,0)x-y+1=0

15.解：(1)由fac+y+2—k=0,整理得y+2=k(l—x),可知直线1过定点M(l,—2).

根据题意，|MP|的最小值就是点M到直线2久-y+1=0的距离，

结合点到直线的距离公式，可得|MP|m加=恒已*”=V5.

(2)①若直线经过原点，

则直线在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，符合题意.

设直线的方程为y=kx,将P(l,2)代入，解得k=2,

所以直线方程为y=2%,即2%-y=0；

②若直线不经过原点，设直线方程为W+(=l(a片0)，

将P(l,2)代入，解得a=£,

,Yy

所以直线方程为4+5=1,即x+2y—5=0.

32

综上所述，所求直线的方程为2%-y=0或久+2y-5=0.

第5页，共9页

16.(1)证明：由题意知，AiA1平面ABC,AB1AC,

故以力为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则4(0,0,0),5(4,0,0),C(0,4,0),4式0,0,2),8d2,0,2),如(0,2,2),

0(0,3,1),

所以西=(-2,0,2),AC=(0,4,0),福=(2,0,2),

>7n•*JAC—4V—0

设平面4B1C的法向量为TH=则布.=2%+2z=0，

令％=1,则y=0,z=—1,所以访=(1,0,—1),

所以88；=—2m,即B8i〃zn,

所以BBI_L平面Z&C

(2)解:由(1)可知荏=(4,0,0),而=(031)，

九•AB=4Q=0

(n-AD=3b+c=0，

令b=l,则Q=0,c=-3,所以宕二(0,1,—3),

设平面ABiC与平面48。的夹角为仇贝"cos。=|cos<而，]>|二b可=

|一|•|n|

所以平面ABiC和平面力BD夹角的余弦值为嘿.

17.解：⑴因为圆心。到直线4支―3y+a=0距离为d=愕

所以(悬下+(岁)2=4,解得a=±5；

(2)4(2,0),8(0,2),设Q(x,y),

由IQ4|=#QB|得(x—2)2+y2=2[x2+(y-2)2],

化简得:x2+y2+4x—8y+4=0,BP(x+2)2+(y—4)2=16,

所以动点Q的轨迹是以(2,4)为圆心，4为半径的圆E,

圆心距。注=122+42=2而,4—2<2避<2+4,两圆相交,

所以两圆有两个公共点，

由两圆方程相减得公共弦所在直线方程为x-2y+2=0,

1212-8押

圆心(0,0)到公共弦的距离为力；22=病，则公共弦长为2

第6页，共9页

18.证明：(1)分别取CB、CD的中点为F、G,连结。尸、0G,

因为。为的中点，△OCD是边长为1的等边三角形，

所以△BCD是直角三角形，BD=20D=2,CD=1,BC=

[(BD)2—(CD)2=邪,

因为CB、CD的中点为F、G,所以。F〃CD,OG〃BC,OF1OG,

因为48=AD,。为8。的中点，所以。力1BD,

又因为平面ABD1平面BCD,平面力BDC平面BCD=BD,OAu平面ABD,

所以。41平面BCD,40是三棱锥4-BCD底面BCD的高，A/lOB是直角三角形，

因为K4-BCD=〈X4。XSABCD=〈X4。xqx"xl=^,解得2。=1,

以。点为坐标原点，分别以OF、0G、。力所在的直线为久，y,z轴，如图建立空间直角坐标系,

则。(0,0,0),呜0,0),G(0段0),4(0,0,1),竭，一€，0),C(骗,0),0(一骗,0),

所以而=(-1,0,0),SC=(0,73,0),AB=-1)

乙L.

设用=Qi,yi,Zi)是平面4BC的一个法向量，则可1阮，n^lAB,

令zi=l,则%[=2,所以再=(2,0,1),|nj|=yf5,\CD\=1,

所以cos<nJ,CD>=%q=—生N

1\n!\\CD\5

所以直线CD和平面ABC所成角的正弦值等于雷；

解：(2)在棱AO上存在点E,使二面角E-BC-。的大小为45。.

设荏=4前(0<4<1),

由⑴知,BC-(0)A/3,0),荏=&一事一1),

AD=(一去字-1),AE=XAD=(一夕，争，一;I),

BE=AE-AB=(一9,殍九-㈤―8—孚-1)=(一号，吗+J+1),

因为方=(0,0,1)是平面BCD的一个法向量，

设布=(久272/2)是平面BCE的一个法向量，贝！I为18C,1BE,

/起-BC=0[-妥*2++(—%+1)2=0

则孱族=0,即[工=。叱2+2

第7页，共9页

取％2=2(A—1),Z2=-A—1,所以无=(2A—2,0,—4—1),

因为二面角E-BC-D的大小为45。

所以|cos<而瓦?>1=1恁.叫=显

\ni\\OA\一三

即J(2；l-2/+(4+1)21也

2

整理得，342-104+3=0解得，2=9或2=3(舍去),

所以，AE=^AD,AE=^AD,

所以，在棱AD上存在点E,使二面角E-BC-D的大小为45。，煞=：

DE2

19.解：(I)、•圆。：x2+y2=2,直线/：y=收一2.直线I与圆。相切，

圆心。(0,0)到直线1的距离等于半径r=",

即d=煮普=避，

解得k=±L

(2)