2025年高考数学二轮复习 专项训练11 平面向量（原卷版）

2025二轮复习专项训练11平面向量[考情分析]1.平面向量是高考的热点和重点，命题突出向量的基本运算与工具性，在解答题中常与三角函数、直线和圆锥曲线的位置关系问题相结合，主要以条件的形式出现，涉及向量共线、数量积等.2.常以选择题、填空题的形式考查平面向量的基本运算，中低等难度；平面向量在解答题中一般为中等难度．【练前疑难讲解】一、平面向量的线性运算常用结论：(1)已知O为平面上任意一点，则A，B，C三点共线的充要条件是存在s，t，使得eq\o(OC,\s\up6(→))＝seq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))，且s＋t＝1，s，t∈R.(2)在△ABC中，AD是BC边上的中线，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．(3)在△ABC中，O是△ABC内一点，若eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则O是△ABC的重心．二、平面向量的数量积1．若a＝(x，y)，则|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x2＋y2).2．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).三、平面向量的综合运算解决向量的综合性问题时，根据向量的几何意义或者数量积的定义与坐标运算研究最值问题及图形的几何性质．一、单选题1．（2023·全国·高考真题）已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．2．（2024·吉林延边·一模）如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（

）

A． B． C． D．二、多选题3．（2024·广东·一模）已知向量，，则下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若与的夹角为，则D．若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是4．（2022·广东·二模）如图，已知扇形OAB的半径为1，，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，且，点E为上的任意一点，则下列结论正确的是（

）A．的最小值为0 B．的最小值为C．的最大值为1 D．的最小值为0三、填空题5．（2022·上海虹口·二模）已知向量，满足，，，则.6．（2023·上海杨浦·三模）对任意两个非零的平面向量和，定义，若平面向量、满足，与的夹角，且和都在集合中，则【基础保分训练】一、单选题1．（2024·山西朔州·一模）已知，且，则（

）A． B． C．4 D．2．（2023·广东茂名·一模）在中，，，若点M满足，则（

）A． B． C． D．3．（2023·安徽·一模）在三角形中，，，，则（

）A．10 B．12 C． D．4．（2024·广东江苏·高考真题）已知向量，若，则（

）A． B． C．1 D．25．（2023·重庆·模拟预测）在正方形中，动点从点出发，经过，，到达，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（2023·浙江温州·二模）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：（其中是功，是力，是位移）一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（

）A．25 B．5 C． D．7．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）如果向量，的夹角为，我们就称为向量与的“向量积”，还是一个向量，它的长度为，如果，，，则（

）A． B．16 C． D．208．（2023·福建福州·二模）已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023·河北·模拟预测）下列命题不正确的是（

）A．若，则B．三个数成等比数列的充要条件是C．向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使D．已知命题时，，则命题的否定为：时，10．（2023·广东汕头·二模）在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，下列结论正确的是（

）A． B．C．的余弦值为 D．11．（22-23高一下·浙江衢州·阶段练习）已知向量，，则正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若与的夹角为钝角，则 D．若向量是与同向的单位向量，则三、填空题12．（2023·广西·模拟预测）已知向量，且，则.13．（22-23高三下·湖南长沙·阶段练习）设平面向量，的夹角为，且，则在上的投影向量是.14．（21-22高一下·北京·阶段练习）如图，四边形为平行四边形，，若，则的值为．【能力提升训练】一、单选题1．（2023·陕西铜川·一模）已知单位向量，的夹角为，向量，且，则的值为（

）A．1 B． C． D．22．（2022·全国·一模）如图，在△中，点M是上的点且满足，N是上的点且满足，与交于P点，设，则（）A． B．C． D．3．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．14．（2023·四川绵阳·模拟预测）在中，点满足与交于点，若，则（

）A． B． C． D．5．（2023·湖北·模拟预测）已知平面非零向量满足，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．8 D．166．（23-24高三上·河南·阶段练习）在中，点是边的中点，且，点满足（），则的最小值为（

）A． B． C． D．7．（2024·山西长治·模拟预测）平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态.若与的夹角为45°，则与夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．8．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知是边长为1的正三角形，是上一点且，则（

）A． B． C． D．1二、多选题9．（2023·全国·模拟预测）已知，，且，的夹角为，点P在以O为圆心的圆弧上运动，若，x，，则的值可能为（

）A．2 B． C． D．110．（2023·福建·一模）平面向量满足，对任意的实数t，恒成立，则（

）A．与的夹角为 B．为定值C．的最小值为 D．在上的投影向量为11．（2023·福建·模拟预测）已知向量，，则（

）A． B．C．在上的投影向量是 D．在上的投影向