2025年高考数学一轮复习：拓展之通过求二阶导函数解决导数问题（原卷版）

第10讲：拓展三：通过求二阶导函数解决导数问题

目录

1、函数极值的第二判定定理：..............................1

类型一：利用二阶导数求函数的极值.........................1

类型二：利用二阶导数求函数的单调性.......................3

类型三：利用二阶导数求参数的范围.........................5

类型四：利用二阶导数证明不等式............................7

1、函数极值的第二判定定理：

若“组在x=x0附近有连续的导函数/(X)，且/'(%)=o,f\x0)0

(1)若/"(/)<0,则/(x)在点与处取极大值；

⑵若/"(%)>0,则/(%)在点%处取极小值

2、二次求导使用背景

(1)求函数的导数r(x),无法判断导函数正负；

(2)对函数4%)一次求导得到;''(X)之后，解不等式/'(x)>0和/''(%)<0难度较大甚至

根本解不出.

(3)一阶导函数中往往含有e'或Inx

3、解题步骤：

设g(x)=/'(x)，再求g'(x),求出g'(x)>0和g'(x)<0的解,即得到-函数g(x)的单调性,

得到函数g(x)的最值，即可得到fr(x)的正,负情况，即可得到函数f(x)的单调性.

高频考点

类型一：利用二阶导数求函数的极值

典型例题

例题1.(2024・贵州贵阳•一模)英国数学家泰勒发现了如下公式:

ex=l+x+一+—+…+—+…其中加=1*2*3、4*—X”,6为自然对数的底数,

2!3!n\

e=2.71828…….以上公式称为泰勒公式.设〃引=*1超(另=*二，根据以上信息,

并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.

(1)证明:ex>l+x；

⑵设x«O,y),证明：率<8(耳；

⑶设尸(x)=g⑺-+若x=0是―无)的极小值点，求实数。的取值范围.

例题2.(23-24高二下•云南玉溪•阶段练习)已知函数〃力=依-Inx-LaeR.

⑴讨论函数〃尤)的单调区间；

(2)当。=1时,设g(x)=e"(x)+e*+/m;(meR),若g(x)\O恒成立，求加的取值范围.

练透核心考点

1.(2024・四川遂宁•二模)已知函数"x)=e，-or-2.

⑴若在区间(0,1)存在极值，求。的取值范围；

(2)若xe(0,+oo),/(x)>x-sinx-cosx,求。的取值范围.

2.(2024・四川广安•二模)已知函数，(x)=e*-依—1.

⑴若/(X)存在极值，求。的取值范围；

(2)若XG(0,+OO),证明：f(x)>x-sinx.

类型二：利用二阶导数求函数的单调性

典型例题

例题1.(2024•江西九江・二模)已知函数〃尤)=(2X-4)111(尤-1)+6(4力€11)在x=2处的切

线方程为3x-y-2=0

(1)求a,b的值；

⑵判断外”的单调性.

例题2.(23-24高二下•广东清远•阶段练习)已知函数/(x)=lnx-or+a,g(x)=xeA-2x.

(1)求函数y=〃x)的单调区间；

⑵已知q=l,当xe(O,y),试比较“力与g(x)的大小，并给予证明.

练透核心考点

1.(23-24高二下,重庆铜梁•阶段练习)拐点，又称反曲点，指改变曲线向上或向下的点(即

曲线的凹凸分界点).设广(X)是函数y=/(x)的导函数，/(X)是函数r(x)的导函数，若

方程尸(x)=o有实数解X=并且在点(/"(%))左右两侧二阶导数符号相反，贝I］称

(X。J(x。))为函数y=/(x)的“拐点

⑴经研究发现所有的三次函数/。)=讣3+/2+5+八°片0)都有"拐点"，且该"拐点”也是函

数y=/(元)的图象的对称中心.已知函数/(元)=V+桁2-9x+a的图象的对称中心为,

讨论函数Ax)的单调性并求极值.

1Q5

(2)已知函数g(x)=2/m?++—尤——F+1,其中加>0.求g(x)的拐点.

mm

2.(23-24高二下•宁夏•阶段练习)已知函数〃x)=(x-l)e'-加.

(1)当a<0时，求证：/(x)>-2x2-l；

⑵当a=T时，函数g(x)=/(x)-xe"+x在(0,+8)上的最大值为加，求不超过俄的最大整

数.

类型三：利用二阶导数求参数的范围

典型例题

x

e_1

例题L（23-24高二下•江苏苏州•阶段练习）已知=17g（e为自然对数的底数）

（1）求曲线y=F（x）在点（0,/（0））处的切线方程；

（2）求证：当x＞0时，4了）＞/；恒成立；

x+2

（3）已知左＞0,如果当1＞0时，/（力〉3kx恒成立，求女的最大值.

e+1

例题2.（23-24高三下•江西阶段练习）记函数y=〃x）（xe。）在。上的导函数为y=/'（x）,

若尸（x）＞0（其中=恒成立，则称y=/（x）在。上具有性质

⑴判断函数y=log〃x（。＞0且分1）在区间（0,+向上是否具有性质V?并说明理由；

⑵设。,6均为实常数，若奇函数8（无）=2/+依2+巳在％=［处取得极值，是否存在实数c,

X

使得y=g（x）在区间［c，+8）上具有性质M?若存在，求出C的取值范围；若不存在，请说

明理由；

⑶设左eZ且上＞0,对于任意的xe（o,y）,不等式匕蚂上D＞上成立，求上的最大值.

XX+1

练透核心考点

1.(23-24高三下•山东潍坊•阶段练习)已知函数〃x)=ae=；尤2-尤.

(1)若〃龙)在R上单调递增，求实数a的取值范围；

⑵当。=1时，证明：Vxe(-2,+co),/(x)>sinx.

2.(2023•河南•三模)已知函数〃x)=lnx-x+2,e为自然对数的底数.

(1)若此函数的图象与直线x=」交于点P,求该曲线在点P处的切线方程;

e

⑵判断不等式“X)>0的整数解的个数；

⑶当・<e2时，(l+axe2r_a)〃x)Wxe2-，-l,求实数a的取值范围.

类型四：利用二阶导数证明不等式

典型例题

x

e_1

例题L(23-24高二下•江苏苏州•阶段练习)已知=17g(e为自然对数的底数)

(1)求曲线y=F(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)求证：当x>0时，4了)>/；恒成立；

x+2

kx

(3)已知左>0,如果当1>0时，/(力〉3恒成立，求女的最大值.

e+1

例题2.(2024•黑龙江齐齐哈尔・二模)已知函数/(x)=Hnx+-----,awR.

x

⑴当。=2时，求曲线y=/(x)在点(1"(功处的切线方程；

(2)当xNO时，证明：exln(x+l)+e-x-cosx>0.