数学自我小测：等比数列的前N项和

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自我小测1．已知各项为正数的等比数列的前5项的和为3，前15项的和为39，则该数列的前10项的和为(）A．3eq\r（2)B．3eq\r(13)C．12D．152．在等比数列{an}中，公比q≠1,它的前n项和为M，数列eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1(\f(2,an）)）的前n项和为N，则eq\f(M,N)的值为（)A．2qnB．eq\f（1,2）a1qn－1C．eq\f(1，2）qn－1D．2qn－13．已知｛an｝是首项为1的等比数列，Sn是｛an｝的前n项和，且9S3＝S6，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1（\f（1,an）))的前5项和为(）A．eq\f(15，8）或5B．eq\f（31,16)或5C．eq\f(31，16）D．eq\f（15,8）4．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于(）A．80B．30C．26D．165．设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若eq\f(S6,S3）＝3,则eq\f（S9，S6）等于()A．2B．eq\f（7,3)C．eq\f（8，3)D．36．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是__________(用数字作答）．7．设等比数列｛an｝的公比为q(q≠1）,前n项和为Sn，若Sn＋1,Sn,Sn＋2成等差数列,则q的值为________．8．设等差数列{an｝的前n项和为Sn,则S4，S8－S4,S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn｝的前n项积为Tn，则T4，______，______，eq\f（T16,T12)成等比数列．9．已知｛an｝为等比数列,且a3＋a6＝36，a4＋a7＝18．（1）若an＝eq\f（1，2）,求n；(2)设数列{an｝的前n项和为Sn，求S8．10．(2013·陕西高考,理17)设{an｝是公比为q的等比数列．（1）推导{an｝的前n项和公式；（2）设q≠1，证明数列｛an＋1}不是等比数列．参考答案1．解析:由题意可知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，即（S10－3）2＝3(39－S10)．解得S10＝12或S10＝－9(舍去）．答案:C2．解析：｛an}是公比为q的等比数列，数列eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1（\f（2,an)））是首项为eq\f（2，a1),公比为eq\f(1，q)的等比数列,代入等比数列的前n项和公式得eq\f（M，N）＝eq\f(1,2）qn－1．答案：C3．答案：C4．解析:若q＝1,由Sn＝na1＝2，知S3n＝3na1＝6≠14,故q≠1．则eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(Sn＝\f（a1（1－qn），1－q)＝2，,S3n＝\f（a1（1－q3n），1－q)＝14。)）解得qn＝2,eq\f（a1,1－q)＝－2．所以S4n＝eq\f（a1,1－q)(1－q4n）＝(－2)×(1－24）＝30．答案：B5．解析：设其公比为q,由已知可得eq\f（S6,S3)＝eq\f(1－q6，1－q3）＝1＋q3＝3，∴q3＝2．eq\f（S9，S6）＝eq\f(1－q9,1－q6）＝eq\f(1－23,1－22)＝eq\f（7，3)．答案：B6．解析：方法一:从12名医生中任选5名，不同选法有＝792种．不满足条件的有：只去骨科和脑外科两科医生的选法有＝21种，只去骨科和内科两科医生的选法有－＝55种，只去脑外科和内科两科医生的选法有－＝125种，只去内科一科医生的选法有＝1种，故符合条件的选法有792－21－55－125－1＝590种．方法二:设选骨科医生x名,脑外科医生y名，则需选内科医生（5－x－y)人．(1)当x＝y＝1时，有··＝120种不同选法;(2）当x＝1，y＝2时，有··＝180种不同选法；（3)当x＝1，y＝3时，有··＝60种不同选法；(4）当x＝2，y＝1时，有··＝120种不同选法；（5)当x＝2,y＝2时，有··＝90种不同选法；(6）当x＝3，y＝1时，有··＝20种不同选法．所以不同的选法共有120＋180＋60＋120＋90＋20＝590种．答案：5907．解析:Sn＝eq\f（a1（1－qn)，1－q)，2Sn＝Sn+1＋Sn+2，则有2·eq\f(a1(1－qn)，1－q）＝eq\f(a1(1－qn＋1），1－q)＋eq\f（a1（1－qn＋2）,1－q),∴q2＋q－2＝0．∴q＝－2．答案:－28．解析：∵b1b2b3b4＝T4，eq\f(T8，T4)＝b5b6b7b8＝b1·q4·b2·q4·b3·q4·b4·q4＝T4·q16，eq\f（T12,T8）＝T4·q32，eq\f（T16，T12）＝T4·q48，故T4，eq\f(T8,T4），eq\f（T12，T8），eq\f(T16,T12)成等比数列．答案：eq\f(T8，T4)eq\f（T12，T8）9．已知｛an｝为等比数列，且a3＋a6＝36,a4＋a7＝18．（1)若an＝eq\f(1，2）,求n；（2）设数列{an｝的前n项和为Sn，求S8．解：设an＝a1qn－1，由题意,解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝128,,q＝\f（1,2),）)进而an＝128·eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，2)))n－1．（1）由an＝128·eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,2）））n－1＝eq\f（1，2）,解得n＝9．（2）Sn＝eq\f(a1（1－qn)，1－q)＝256eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,2))）n)）,∴S8＝256×eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（1－\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，2））)8)）＝255．10．（1)解：设｛an}的前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②①－②得，（1－q）Sn＝a1－a1qn，∴Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q），∴Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（na1，q＝1，,\f（a1(1－qn），1－q),q≠1。）)(2）证明：假