第23讲 定点问题（解析版）

一．选择题（共1小题）2=4，点P为直线x+2y-9=0上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点()【解答】解：因为P是直线x+2y-9=0的任一点，所以设P(9-2m,m)，因为圆x2+y2=4的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，则点A、B在以OP为直径的圆上，即AB是圆O和圆C的公共弦，则圆心C的坐标是，)，且半径的平方是所以圆C的方程是①②-①得，(2m-9)x-my+4=0，即公共弦AB所在的直线方程是：(2m-9)x-my+4=0，即m(2x-y)+(-9x+4)=0，所以直线AB恒过定点，故选：A.二．解答题（共18小题）2．已知圆C的圆心坐标为C(3,0)，且该圆经过点A(0,4).（2）若点B也在圆C上，且弦AB长为8，求直线AB的方程；（3）直线l交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之积为2，求证：直线l过一个定点，并求出该定点坐标.（2）解：①当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=0，此时弦AB长为8，符合题意；②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+4，所以综上所述，直线AB的方程为x=0或7x（3）证明：当直线l斜率不存在时，设M(a,b)，N(a,—b)，:直线AM，AN的斜率之积为2，A(0,4)，:点M(a,b)在圆上，2联立2=25，无解，舍去，当直线l斜率存在时，设直线l:y=kx+t，M(x1，kx1+t)，N(x2，kx2+t)，2化简得+2，:直线l的方程为x+t，所以过定点(-6,-12). 的右焦点.（1）求椭圆C的方程；（2）过点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，则在x轴上是否存在一点P，使得x轴平分上MPN？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.所以椭圆C的方程为（2）由题意可知直线l的斜率不为0，F(2,0).若直线l斜率存在，设直线l的方程为y=k(x-2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，假设在x轴上存在一点P(t,0)，使得x轴平分上MPN，则kPM+kPN=0，所以=0．所以y1，所以k(x1-2)(x2-t)+k(x2-2)(x1-t)=0，所以2x1x2-(t+2)(x1+x2)+4t=0，若直线l斜率不存在时，则M，N两点关于x轴对称，当点P坐标为(4,0)时，x轴平分综上所述，在x轴上存在一点P(4,0)，使得x轴平分上MPN. C上异于点B的任意两点，且BP丄BQ.（1）求椭圆C的方程；（2）试问直线PQ是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.【解答】解1）由题意得+c2，解得，（2）由BP丄BQ知直线BP，BQ的斜率存在且不为0.用-代替k，得Qk2-21-2k2于是直线PQ的斜率kFQ=直线PQ的方程为整理得(k2-1)x-k(3y+1)=0，当x=0，y=-时，对任意的k，(k2-1)x-k(3y+1)=0恒成立，所以直线PQ过定点AG.GB=8．P为椭圆外一点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D（1）求椭圆E的标准方程；（2）证明：直线CD过定点.【解答】解1）由题意知G(0,1)，A(—a,0)，B(a,0)，2故椭圆E的标准方程为+y2=1.证明2）设直线CD的方程为x=ty+m，C(x1，y1)，D(x2，y2)，ty2(m3)[2my1(m+3)(y1+y2)](m3)(2my1my13y1my23y2)(m+3)[2my2(m3)(y1+y2)](m+3)(2my2my1+3y1my2+3y2)6．已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F与双曲线—x2=1的一个焦点重合，D为直线y=2上的动点，过点D作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B.（1）求抛物线C的方程；（2）证明直线AB过定点.即有抛物线的焦点F(0,2)，所以抛物线C的方程为：x2=8y；x28kx+16=0……①,24(8kx0由①知等根为x=4k，故设A，则k所以直线AB过定点(0,2). （1）求椭圆C的方程；（2）过点P(1,1)分别作斜率为k1、k2的椭圆的动弦AB、CD，设M、N分别为线段AB、CD的中点，若k1+k2=1，是否存在一个定点Q，使得其在直线MN上，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由. 解：:椭圆C:过点离心率为.2，解得a:椭圆C的方程为同理yN=直线MN的方程为=0时，直线MN即为y轴，此时也过点.综上，直线MN恒过定点，且定点坐标为(0,—). 8．已知左焦点为F(—1,0)的椭圆过点E(1,)．过点P(1,1)分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为线段AB的中点，求k1；1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标.:所求椭圆方程为（2）解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则≠0时，直线MN的斜率直线MN的方程为2此时直线过定点(0,-)23=0时，直线MN即为y轴，此时亦过点(0,-)综上，直线MN恒过定点，且坐标为（1）求椭圆C的方程；（2）过点A1作两条射线分别与椭圆交于M、N两点（均异于点A1)，且A1M丄A1N，证明：直线MN恒过x轴上的一个定点.=4，:a=2， 整理得=，:c=，:椭圆C的方程为+y2=1；（2）证明：由已知直线MN与y轴不垂直，假设其过定点T(n,0)，设其方程为x=my+n，若n=2，则T与A重合，不合题意，整理得综上，直线MN过定点T(—,0).10．已知椭圆E:+=1的左右顶点分别为A，B，点P为椭圆上异于A，B的任意一点. (Ⅱ)过点Q(,0)作与x轴不重合的任意直线交椭圆E于M，N两点．证明：以MN为直径的圆恒过点A.则有」MN与x轴不重合，:设直线lMN:x=由化简得， 1y22将{y1+y2=代入上式并化简得，-25:AM丄AN，即以MN为直径的圆恒过点A.11．已知点A(-1,0)，B(1,-1)，抛物线C:y2=4x，过点A的动直线l交抛物线C于M，P两点，直线MB交抛物线C于另一点Q，O为坐标原点.（2）证明：直线PQ恒过定点.【解答】解1）设点M(x1，y1)，P(x2，y2)，由题意，设直线l:x=my-1，22:△=16m2-16>0，:m2>1，又y1y2=4，1y2)2（2）证明：设Q(，y3)，直线BQ的斜率为kBQ，直线QM的斜率为kQM，直线PQ的斜率为kPQ，:M，B，Q三点共线，:kBQ=kQM，:=，即:(y3+1)(y1+y3)=y-444:y(y2+y3)—y2y3=4x，由(*)式可知，y2y3=4(y2+y3)+4代入上式，得(y+4)(y2+y3)=4(x1)，令解得:直线PQ恒过定点(1,—4).12．已知点A(1,0)，B(1,1)和抛物线C:y2=4x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图（2）若ΔPOM的面积为2，求向量OM与OP的夹角；（3）证明直线PQ恒过一个定点.证明：设点M」P、M、A三点共线，:kAM=kPM，即α=5，:tanα=1.ⅆ（8分）又α∈(0,兀)，:α∈(0,兀)，:α=45O，————→———→:OM与OP的夹角为45O.ⅆ（————→———→证明：设点Q，」M、B、Q三点共线，:kBQ=kQM，:(y3+1)(y1+y3)=y32—4，即y1y3+y1+y3+4=0，即4(y2+y3)+y2y3+4=0，(*)…（12分）44:直线PQ的方程是y—y2=即(yy2)(y2+y3)=4xy22，即y(y2+y3)—y2y3=4x，由(*)式，y2y3=4(y2+y3)+4，代入上式，得(y+4)(y1+y2)=4(x—1)，:直线PQ过定点E(1,—4).13．已知抛物线Γ:y2=2px(p>0)的焦点为F，P是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足FP=足FP=(2，23)（1）求抛物线Γ的方程；（2）已知经过点A(3,—2)的直线交抛物线Γ于M，N两点，经过定点B(3,—6)和M的直线与抛物线Γ交于另一点L，问直线NL是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由. 23)，P在抛物线上，所以(2·)2=2p(2+p)，即p2+4p—12=0，p>0，解得p=2，所以抛物线的方程为：2（2）设M(x0，y0)，N(x1，y1)，L(x2，y2)，则y=4x1，y=4x2，直线MN的斜率kMN=4同理可得直线ML的方程整理可得所以14．已知直线y=x2与抛物线y2=2px相交于A，B两点，满足OA丄OB．定点C(4,2)，D(4,0)，M是抛物线上一动点，设直线CM，DM与抛物线的另一个交点分别是E，F.（1）求抛物线的方程；（2）求证：当M点在抛物线上变动时（只要点E、F存在且不重合直线EF恒过一个定点；并求出这个定点的坐标.【解答】解1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以抛物线的方程为：y2=2x；证明：设M由C，M，E三点共线可得，即整理可得：y0y1=2(y0+y1)-8，所以同理可得D，M，F三点共线，y2=，所以直线EF的方程：y-y1=2-2整理可得：y1y2=y(y1+y2)-2x，将y1，y2的值代入直线方程可得：(2x-2y)y+4(4-x)+8(2y-8)=0，所以直线EF过定点(4,4).15．已知直线l:y=2x与抛物线C:y=x2交于A(xA，yA)、O(0,0)两点，过点O与直线l垂直的直线交抛物线C于点B(xB，yB)．如图所示.（1）求抛物线C的焦点坐标；（2）求经过A、B两点的直线与y轴交点M的坐标；（3）过抛物线y=x2的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点A、B的直线AB是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论；如果不是，请说明理由.【解答】解1）抛物线C:y=的方程化为x2=4y，:2p=4，p=2.ⅆ（2分）:抛物线C的焦点坐标为(0,1).ⅆ（4分）所以直线AB的方程为y-1=●令x=0，解得y=4.:点M的坐标为(0,4).ⅆ（9分）（3）结论：过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点的直线AB恒过定点(0,4).ⅆ（10分）证明如下：设过抛物线2的顶点的一条直线为y=kx(k≠0)，则另一条为，令x=0，解得y=4.:直线AB恒过定点(0,4).…（14分）16．过抛物线E:y2=2px(p>0)上一点M(1,—2)作直线交抛物线E于另一点N.(Ⅰ)若直线MN的斜率为1，求线段|MN|的长；(Ⅱ)不过点M的动直线l交抛物线E于A，B两点，且以AB为直径的圆经过点M，问动直线l是否恒过定点．如果有求定点坐标，如果没有请说明理由.【解答】解：(Ⅰ)把M点的坐标代入抛物线E:y2=2px(p>0)可得p=2，所以抛物线的方程为：y2=4x， 22，B(x2，y2)，2y12(x1即x5=k(y2)，直线恒过点(5,2). 的距离为2.（1）求椭圆E的方程；（2）设椭圆E的右顶点为A，不经过点A的直线l与椭圆E交于M，N两点，且以MN为直径的圆过A，求证：直线l恒过定点，并求出此定点坐标.【解答】解1）椭圆的离心率为，即a=2c.ⅆ（2分）椭圆E的右焦点(c,0)到直线l:y=x+1的距离为·.:c=1.ⅆ（4分）解得a=2，又a2=b2+c2，:b=，故椭圆E的方程为=1.ⅆ（5分）（2）由题意可知，直线l的斜率为0时，不合题意，不妨设直线l的方程为x=my+t，212设，则y1+y2=，y1y2=以MN为直径的圆过椭圆右顶点，:(x1—2)(x2—2)+y1y2=0，解得或t=2（舍)…（11分）故直线l恒过定点(,0).ⅆ（12分）18．已知椭圆E:x2+3y2=m2(m>0)的左顶点是A，左焦点为F，上顶点为B.（2）若直线l交椭圆E于M，N两点（不同于A)，以线段MN为直径的圆过A点，试探究直线l