北师大版数学七年级下册第四单元三角形单元检测培优卷

北师大版数学七年级下册第四单元三角形单元检测培优卷一、选择题（本大题共8小题,每小题3分,共24分,每小题有四个选项,其中只有一个是正确的）1．（2025九上·南宁月考）如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO=CO，BO=DO．测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A．SSS B．SAS C．ASA D．HL2．（2025八上·义乌月考）把一条长250cm的铁丝截成a(a≥3)小段，每段长度不小于20cm，若不论怎样的截法，总存在三小段，以它们为边可以组成三角形，则a的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．63．（2025八上·通渭期中）《周礼考工记》中记载有“……半矩谓之宣(xuān)，一宣有半谓之欘(zhú)……”.意思是“……直角的一半叫做宣，一宣半的角叫做欘……”.即1宣=12矩，1欘A．15° B．22.5° C．30° D．45°4．（2025八上·绍兴期中）如图，AB与CD相交于点P，AF平分∠CAB，DF平分∠CDB，且∠B：∠C：∠F＝4：6：a则a值是（）A．3 B．5 C．9 D．105．（2025八上·永年期末）为测量池塘两端A,B的距离，数学小组的三位同学分别设计出如下三种方案：小明：如图1．选定点O，连接AO,BO．并分别延长到点F,E，使OF=OB，OE=OA．连接EF．则量出EF的长即为A,B的距离．小红：如图2，先过点B作AB的垂线BF，在BF上取C,D两点，使BC=CD．再过点D作BD的垂线DE．交AC的延长线于点E．则量出DE的长即为A,B的距离．小丽：如图3，过点B作AB的垂线BE，在BE上取一点D，连接AD，然后在AB的延长线上取一点C，连接CD，使∠BDC=∠BDA．则量出BC的长即为A,B的距离．以上三位同学设计的方案中可行的是（）A．小明和小红 B．小明和小丽C．小红和小丽 D．三个人的方案都可以6．如图①，△ABC与△A1B1C1满足∠A=∠A1，AC=A1C1，BC=B1C1，∠C≠∠C1，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”.如图②，在△ABC中，AB=AC，点D，E在线段BC上，且BE=CD，则图中共有“伪全等三角形”()A．1对 B．2对 C．3对 D．4对7．（2025八上·长沙期末）如图是一个正方形网格，每个小正方形的边长相等，我们把该网格中正方形的顶点称之为“好点”，△ABC的三个顶点都在这个正方形网格的“好点”上，在这个正方形网格图中找一个“好点”D（点D与点A不重合），使得以点D,B,C为顶点的三角形与△ABC全等，则这样的“好点”D的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（2025八上·临澧期末）如图，AD、CF分别是△ABC的高和角平分线，AD与CF相交于G，AE平分∠CAD交BC于E，交CF于M，连接BM交AD于H，且BM⊥AE．有下列结论：①∠AMC=135°；②△AMH≌△BME；③AH+CE=AC；④BM+MH=BC．其中，正确的结论是（）A．①② B．①②③ C．③④ D．①②③④二、填空题（本大题共5小题,每小题3分,共15分）9．（2025八上·安州期末）△ABC和△A'B'C'，已知10．（2025八上·长沙期中）如图，D为△ABC中AC边上的一点，DC=2AD，E是AB边上的一点，AE=3BE，若△DEC的面积为2，则△BEC的面积为．11．（2021八上·长沙开学考）在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是.12．（2025七下·成都月考）如图，在△ABC中，AB=AC，P、Q分别为边AB、AC上两个动点，在运动过程中始终保持AP+AQ=AB，连结BQ和CP，当BQ+CP值达到最小时，APAB的值为13．（2025八上·娄星期末）放学回家后，小颖和哥哥姐姐在小区里荡秋千．如图，小颖坐在秋千的初始位置O处，此时与地面垂直并交于点Q，两脚用力蹬地后，姐姐在A处接住她后用力一推，哥哥在距离地面1.3米的B处接住她．如果姐姐与哥哥到PQ的水平距离AC，BD分别为1.2米和1.5米，若∠APB=90°，则秋千顶部距离地面的高度PQ为米．三、解答题（共7题；共61分)14．（2025八上·大兴月考）在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形．（1）在图1中计算格点三角形ABC的面积是_____；（每个小正方形的边长为1）（2）△ABC是格点三角形．①在图2中画出2个与△ABC全等且有一条公共边BC的格点三角形；②在图3中画出2个与△ABC全等且有一个公共点A的格点三角形．15．（2026八上·临海期末）我们知道几何命题的证明一般需要经历以下步骤：①按题意画出图形并标记；②分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；③分析并证明，写出推理过程.请同学们尝试证明命题：“两边分别相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等.”已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，AB=A'B'，BC=B'C'，.求证：.证明：16．（2025八上·广西期中）【教材呈现】下面是八年级上册数学课本关于三边关系的一道题目：填空：如图①，由三角形两边的和大于第三边，得：AB+AD>______，PD+CD>______．将不等式左边、右边分别相加，得AB+AD+PD+CD>______，即AB+AC>______．（1）补全上面步骤；【类比猜想】（2）如图②，请你仿照上述解题过程，探究当点D与点P重合时，AD+BD+CD与1217．（2026八上·祁东期末）已知，在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线m上，∠BDA=∠AEC=∠BAC.

（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为，BD，CE与DE的数量关系为.（2）如图②，当AB不垂直于AC时，（1）中的结论是否成立？请说明理由.（3）如图③，若只保持∠BDA=∠AEC，BD=EF=7cm，DE=10cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）.是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t与x的值；若不存在，请说明理由.18．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的12①②（1）如图①所示，△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”(∠A>∠B)，∠ACB=90°.①求∠A，∠B的度数.②若CD是△ABC中AB边上的高，则△ACD，△BCD都是“友爱三角形”吗?为什么?（2）如图②所示，在△ABC中，∠ACB=70°，∠A=66°，D是边AB上一点(不与点A，B重合)，连接CD，若△ACD是“友爱三角形”，直接写出∠ACD的度数.19．如图所示，A，B两点分别位于一池塘两侧，池塘左边有一水房D，在DB中点C处有一棵百年古槐，小明从A点出发，沿AC一直向前走到点E(A，C，E三点在同一条直线上)，并使CE=CA，然后他测量出点E到水房D的距离，则DE的长度就是A，B两点间的距离.（1）如果小明恰好未带测量工具，但他知道水房D和古槐C到A点的距离分别是140m和100m，他能不能确定AB的长度范围?如果能，求出AB的长度范围；如果不能，请说明理由.（2）在(1)的解题过程中，你找到“已知三角形一边和另一边上的中线，求第三边的长度范围”的方法了吗?如果找到了，请解决下面的问题：在△ABC中，AC=5，中线AD=7，画图并确定AB的长度范围.20．（2025八上·鹤山期中）综合与实践【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态．【相关素材】在图2中，AD是△ABC的中线，△ACD与△ABD等底等高，面积相等，记作：SACD=SABD．在图3中，若△ABC三条中线AD、BE、CF交于点G，则GD是△GBC的中线，利用上述结论可得：S△GCD【解决问题】（1）在图3中，若设S△GCD=x，S△GBF=y，（2）利用（1）中的结论，证明：BG:（3）图4中，G是△ABC的重心，点D、E在△ABC的边AB、AC上，BE与CD交于点G，BE=10，CD=9，BE⊥CD，求△BGD的面积．

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：在△AOB与△COD，∵AO=CO∠AOB=∠COD∴△AOB≌△CODSAS∴△AOB与△COD全等的依据是SAS，故答案为：B．

【分析】根据对顶角的性质可得∠AOB=∠COD，再结合AO=CO，BO=DO，利用“SAS”证出2．【答案】D【解析】【解答】解：先假设截取的上都从短到长排列依次是a1,∵每一段不小于20cm，∴a1+a2≥40,a3不与前两段组成三角形的话，a3≥a1+实际上a6≤10,那么前面四段中必有两段与∴a的最小值为6.故选：D.【分析】设其中最小的两段都是20cm根据三角形的三边关系，即三角形的两边之和大于第三边，则若要至少拼成一个三角形的话，最小的两边的和要大于等于第三边长，从而确定a的取值范围，即可求解.3．【答案】B【解析】【解答】解：∵∠A=1矩，1矩=90°，

∴∠A=90°。

∵1欘=112宣=32宣，又1宣=12矩，1矩=90°，

∴1宣=12×90°=45°，

∴∠B=32×45°=67.5°。

在△ABC中，故答案为：B【分析】先依据题目所给的角度定义，分别算出∠A和∠B的度数，再利用三角形内角和定理求出∠C的度数。4．【答案】B【解析】【解答】解：连接AD，

设∠B=4x，∠C=6x，∠F=ax，

∵AF平分∠CAB，DF平分∠CDB，

∴∠CAB=2∠FAB，∠CDB=2∠CDF，

∴∠APD=∠C+∠CAB=∠B+∠CDB，

∴6x+2∠FAB=4x+2∠CDF，

∴∠CDF-∠FAB=x，

∵∠FAD+∠ADF+∠F=∠APD+∠PAD+∠PDA=180°，

∴∠PAD+∠PDA=180°-∠APD=180-6x-2∠FAB，

ax=180°-∠FAD-∠FDA=180°-∠FAB-∠PAD-∠ADP-∠CDF=6x+∠FAB-∠CDF，

∴ax=6x-x=5x，

∴a=5.故答案为：B.【分析】连接AD，连接AD，设∠B=4x，∠C=6x，∠F=ax，由角平分线的定义可得∠CAB=2∠FAB，∠CDB=2∠CDF，所以∠CDF-∠FAB=x，最后根据三角形内角和即可求出答案.5．【答案】D【解析】【解答】解：∵OF=OB，OE=OA，∠AOB=∠EOF，∴△AOB≌△EOF，∴EF=AB，故小明的方案可行；∵BC=CD，∠ABC=∠EDC=90°,∠ACB=∠ECD，∴△ACB≌△ECD，∴DE=AB，故小红的方案可行；∵∠BDC=∠BDA，∠DBA=∠DBC=90°,DB=DB，∴△DBA≌△DBC，∴BC=BA，故小丽的方案可行；故选：D．【分析】本题考查全等三角形的判定与性质在实际测量中的应用，核心是通过证明三角形全等，得出对应边相等，从而间接求出AB的长度。小明的方案中，OA=OE，OB=OF，且∠AOB=∠EOF（对顶角相等），根据“SAS”判定定理可证ΔAOB≅ΔEOF，因此EF=AB，方案可行；小红的方案中，∠ABC=∠EDC=90°，BC=CD，∠ACB=∠ECD（对顶角相等），根据“ASA”判定定理可证ΔACB≅ΔECD，因此DE=AB，方案可行；小丽的方案中，∠DBA=∠DBC=90°，BD=BD，6．【答案】D【解析】【解答】解：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C．

在△ABE和△ACD中，

∵AB=AC，∠B=∠C，BE=CD，

∴△ABE≌△ACD（SAS），

∴AD＝AE，

∵AB＝AB，∠B＝∠B，AD＝AE，∠BAD≠∠BAE，

∴△ABD和△ABE是一对“伪全等三角形”．

同理可得，

△ABD和△ACD是一对“伪全等三角形”．

△ACD和△ACE是一对“伪全等三角形”．

△ABE和△ACE是一对“伪全等三角形”．

所以图中的“伪全等三角形”共有4对．

故选：D．

【分析】理解“伪全等三角形“的定义，熟练运用三角形全等的判定与性质是解题的关键．7．【答案】C【解析】【解答】解：如图，

以直线BC为对称轴，画出△ABC经轴对称变换后的图形△D1BC，根据轴对称图形的性质可得以线段BC的垂直平分线l，画出△ABC、△D1BC经轴对称变换后的图形△D3∴这样的“好点”D的个数为3，故选∶C．

【分析】本题主要考查全等三角形的判定和轴对称图形。可根据轴对称变化找到符合条件的点D：不仅要与△ABC全等，且点D要在格点上。8．【答案】B【解析】【解答】解：①∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，∵CF平分∠ACD，AE平分∠CAD，∴∠MCA=∠MCB=12∠ACD∴∠MCA+∠MAC=1∴∠AMC=180°−∠MCA+∠MAC=135°，故②∵AD是△ABC的高，BM⊥AE，∴∠ADC=∠AMB=∠BME=90°，∵∠AHM=∠BHD，∴∠HAM=90°−∠AHM=90°−∠BHD=∠MBC，又∵∠MAC=∠HAM，∴∠MAC=∠MBC，

在△MAC和△MBC中，

∠MAC=∠MBC∠MCA=∠MCB∴△MAC≌△MBCAAS∴MA=MB，

在△AMH和△BME中，

∠HAM=∠MBCMA=MB∴△AMH≌△BMEASA，故②③∵△AMH≌△BME，△MAC≌△MBC，∴AH=BE，AC=BC，∴AH+CE=BE+CE=BC=AC，故③正确；④如图，延长BM交AC于点N，在△AMH和△AMN中，∠HAM=∠NAMAM=AM∴△AMH≌△AMNASA∴MH=MN，∴BM+MH=BM+MN=BN，∵∠BNC=∠AMN+∠MAN=90°+∠MAN>90°，∴∠BNC>∠BCN，∴BC>BN，∴BM+MH=BN<BC，故④错误；∴综上所述，正确的结论是①②③，故答案为：B．【分析】①根据三角形的高以及角平分线的定义求出∠MCA+∠MAC=45°，利用三角形内角和定理求出∠AMC=135°，判断①正确；②证明△MAC≌△MBCAAS，得到MA=MB，再证明△AMH≌△BMEASA，判断②正确；③由①②的全等三角形的性质可得AH=BE，AC=BC，结合CE+BE=BC，等量代换可得AH+CE=AC，判断③正确；④延长BM交AC于点N，证明△AMH≌△AMNASA，得到MH=MN，从而得到BM+MH=BN，再说明∠BNC>∠BCN得出BC>BN9．【答案】AC=A'【解析】【解答】解：由题意，可以增加条件AC=A'C若补充条件∠B=∠B'，则可用故答案为：AC=A'C'或∠B=∠B'．10．【答案】1【解析】【解答】解：∵DC=2AD，△DEC的面积为2，∴S∴S∵AE=3BE，∴S故答案为：1．【分析】根据题意，DC=2AD，得到△DEC的面积等于△AED面积的2倍，AE=3BE，得到△ABC的面积等于△BEC的面积的4倍，又由△ABC的面积等于△AED面积+△DEC+△BEC的面积之和，求出△BEC的面积.11．【答案】9＜AB＜19【解析】【解答】解：延长AD到E，使DE=AD，连接BE.在△ADC和△EDB中，∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，CD=BD，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE（全等三角形的对应边相等）.∵AC=5，AD=7，∴BE=5，AE=14.在△ABE中，AE-BE＜AB＜AE+BE，∴AB边的取值范围是：9＜AB＜19.故答案为9＜AB＜19.【分析】延长AD到E，使DE=AD，连接BE，利用SAS证明△ADC≌△EDB，则可得出AC=BE，由于AE和BE的长已知，根据三角形三边的关系即可求出AB的范围.12．【答案】12【解析】【解答】解：如图：过点B作BE∥AC，且BE=AC，在BA上截取BH=AP，连接CH，∵AB=AC,AP+AQ=AB,AB=AP+BP,AC=AQ+CQ，∴AQ=BP,CQ=AP=BH，∵AC∥BE，∴∠A=∠EBH，在△ACP和△BEH中，AC=BE∠A=∠EBH∴△ACP≌△BEHSAS∴CP=HE，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，在△CBQ和△BCH中，CB=BC∠BCQ=∠CBH∴△CBQ≌△BCHSAS∴CH=BQ，∴BQ+CP=CH+HE，∴当点C，点E，点H三点共线时，BQ+CP有最小值，此时，∵AC∥BE，∴∠A=∠EBA,∠ACH=∠BEH，又∵AC=BE，∴△ACH≌△BEHASA∴AH=BH，∴点H是AB的中点，∴AP=BH=1∴点P与点H重合，∴BP=BH=AQ=AP，∴APAB故答案为：12．

【分析】过点B作BE∥AC，且BE=AC，在BA上截取BH=AP，连接CH，根据SAS得到△ACP≌△BEH，即可得到CP=HE再根据SAS可得△CBQ≌△BCH，即可得到CH=BQ，进而得到BQ+CP=CH+HE，可得点C，点E，点H三点共线时，BQ+CP有最小值，根据ASA得到△ACH≌△BEH，即可得到AH=BH13．【答案】2.5【解析】【解答】解：由题可知：∠BDP=∠ACP=90°，PA=PB，∵∠APB=90°，∴∠BPD+∠APC=∠PAC+∠APC=90°，∴∠BPD=∠PAC，在△ACP和△PDB中∠BPD=∠PAC∴△ACP≌△PDB，∴AC=PD，∵AC为1.2米，∴PD=AC=1.2m，∵B处到地面的距离1.3米，∴DQ=1.3m，∴PQ=PD+DQ=1.2+1.3=2.5m，故答案为：2.5．【分析】本题考查全等三角形的判定与性质的实际应用，解题关键是通过角度推导证明三角形全等，再利用全等三角形的对应边相等转化线段长度.14．【答案】（1）6（2）解：①如图2中，△BCD、△BCM即为所求作（答案不唯一）．②如图3中，△AFE、△AGH即为所求作（答案不唯一）．【解析】【解答】（1）解：如图1中，S△ABC故答案为：6．【分析】（1）利用三角形的面积公式及割补法求出△ABC的面积即可；

（2）①利用全等三角形的判定及三角形的作图方法作出图形即可；

②利用旋转和全等三角形的判定以及三角形的作图方法作出图形即可.（1）解：如图1中，S△ABC故答案为：6．（2）①如图2中，△BCD、△BCM即为所求作（答案不唯一）．②如图3中，△AFE、△AGH即为所求作（答案不唯一）．15．【答案】解：点M，M'分别是BC，B'C'的中点，且AM=A'M'.(或中线AM与中线A'M'相等.)求证：△ABC≌△A'B'C'证明：∵点M，M'分别是BC，B'C'的中点.∴BM∵BC=B'C'，∴BM=B'M'.∵在△ABM与△A'B'M'中BM=∴△ABM≌△A'B'M'(SSS)∴∠B=∠B'∵在△ABC与△A'B'C'中AB=∴△ABC≌△A'B'C'(SAS)所以命题“两边分别相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等.”成立.【解析】【分析】由中点知BM=B'M'，由此可证△ABM≌△A'B'M'，得B=B'，由此可证△ABC≌△A'B'C'，即说明命题成立.16．【答案】（1）BD，PC，BD+PC，PB+PC；（2）如图②，AD+BD+CD>1由三角形三边关系定理得到：AD+BD>AB，BD+CD>BC，AD+CD>AC，∴2AD+BD+CD∴AD+BD+CD>1【解析】【解答】解：1如图①，由三角形两边的和大于第三边，得：AB+AD>BD，PD+CD>PC．将不等式左边、右边分别相加，得AB+AD+PD+CD>BD+PC，即AB+AC>PB+PC，故答案为：BD，PC，BD+PC，PB+PC；【分析】（1）根据三角形三边关系即可求出答案.

（2）根据三角形三边关系即可求出答案.17．【答案】（1）BD=AE；BD+CE=DE（2）解：成立，BD+CE=DE，理由如下：

同（1）得：△ABD≌△CAE（AAS），

∴BD=AE，CE=AD，

∵AE+AD=DE，

∴BD+CE=DE；（3）解：存在，理由如下：

当△DAB≌△ECA时，AD=CE，BD=AE=7cm，

∵AD+AE=DE=10cm，

∴CE=AD=DE-AE=3cm，

∴t=AD2=32，

∴x=3÷32=2；

当△DAB≌△EAC时，

∴AD=AE=12DE=5cm，DB=EC=7cm，

∴t=AD2=52，x=7÷52=145，【解析】【解答】解：(1)∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠CAE=∠ABD，

∵∠BDA=∠AEC，AB=CA

∴△ABD≌△CAE(AAS)，

∴BD=AE，AD=CE，

∵AE+AD=DE，

∴BD+CE=DE，

故答案为：BD=AE，BD+CE=DE.

【分析】(1)由平角的定义和三角形内角和定理得∠CAE=∠ABD，再由AAS证明△ABD≌△CAE，得BD=AE，AD=CE，即可解决问题；

(2)同(1)得△ABD≌△CAE，得BD=AE，AD=CE，即可得出结论；

(3)分△DAB≌△ECA或△DAB≌△EAC两种情形，分别根据全等三角形的性质求出的值，即可解决问题.18．【答案】（1）解：①因为△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”(∠A>∠B)，所以∠A=2∠B.因为∠ACB=90°，所以∠A+∠B=180°-90°=90°，即2∠B+∠B=90°，解得∠B=30°，所以∠A=60°.②△ACD，△BCD都是“友爱三角形”.理由：因为CD是△ABC中AB边上的高，所以∠ADC=∠BDC=90°.因为∠A=60°，∠B=30°，所以∠ACD=30°，∠BCD=60°.在△ACD中，∠A=60°，∠ACD=30°，所以∠ACD=12所以△ACD为“友爱三角形”；在△BCD中，∠BCD=60°，∠B=30°，所以∠B=12所以△BCD为“友爱三角形”.（2）解：∠ACD的度数为33°或38°.【解析】【解答】解：（2）∵在△ABC中，∠ACB=70°，∠A=66°，

∴∠B=180°-∠A-∠ACB=44°，

∵△ACD是“友爱三角形”，D是边AB上一点(不与点A，B重合)，

∴∠ACD=12∠A或∠ACD=12∠ADC，

当∠ACD=12∠A时，∠ACD=12×66°=33°；

当∠ACD=12∠ADC时，

∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，

∴66°+3∠ACD=180°，

∴∠ACD=38°，

综上∠ACD的度数为33°或38°.

【分析】（1）①△ABC中，由“友爱角”(∠A>∠B)定义可得∠A=2∠B①，由三角形内角和定义得∠A+∠B=9