河南省中考数学一轮复习考点针对训练课件一元二次方程2

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考点1

一元二次方程及其解法1.一元二次方程的概念只含有

一

⁠个未知数，并且未知数的最高次数是

2

⁠，这样的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0）.一

2

·⁠

⁠特别提醒·判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准：1.一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是整式；2.一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数；3.一元二次方程是二次方程，即方程中未知数的最高次数是2.2.一元二次方程的解法解一元二次方程的基本思想是

降次

⁠，主要方法如下：（1）直接开平方法：对于形如x2＝m或（ax＋n）2＝m（a≠0，m≥0）的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的整式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解.（2）因式分解法：将方程右边化为0后，方程的左边可以提出含有未知数的公因式，形如x（ax＋b）＝0或（ax＋b）（cx＋d）＝0，并令两个因式的值分别为0求解.降次

1.（人教九上P9习题2改编）观察下列方程：①x2＋10x＋9＝0，②x－2y＋1＝0，③2x＋3＝0，④x（x＋4）＝2x＋8，⑤x2＋2y－10＝0，⑥mx2－3x＝x2－mx＋2，回答下列问题：（1）一定是一元二次方程的有

①④

⁠（填写序号）；（2）可能是一元二次方程的是

⑥

⁠（填写序号），若使其一定是一元二次方程，则需满足的条件是

m≠1

⁠；①④

⑥

m≠1

（3）用合适的方法解（1）中所得一元二次方程.解：（3）①x2＋10x＋9＝0，

x2＋10x＋52＝－9＋52，

（x＋5）2＝16，

x＋5＝±4，

x1＝－1，x2＝－9.（配方法）④x（x＋4）＝2x＋8，

x（x＋4）＝2（x＋4），

x（x＋4）－2（x＋4）＝0，

（x－2）（x＋4）＝0，

x1＝2，x2＝－4.（因式分解法）

b2－4ac

两个不相等

两个相等

没有

2.（2023·河南省实验四模T7）若关于x的一元二次方程（m－1）x2－2x＋1＝0有实数根，则m的值可以是（

C

）A.4B.3C.2D.1C考点3

一元二次方程的实际应用（6年1考，2020·T8）1.实际问题常见类型增长率问题增长率＝×100％基础量×（1＋增长率）n＝增长后量；基础量×（1－降低率）n＝降低后量[其中，n为增长（降低）的次数]销售问题利润＝售价－成本（进价）利润率＝×100％面积问题折纸盒问题⁠

⁠S阴影＝（a－2x）·（b－2x）修通道问题⁠

⁠S阴影＝（a－x）·（b－x）建窗户问题⁠

⁠S阴影＝（a－3x）·（b－2x）2.一般步骤：审、设、列、解、验、答.注意：检验时既要检验所求结果是否为所列方程的解，还要检验是否符合实际意义.3.根据题意列出方程：（1）（2023·解析与检测上）某一芯片实现国产化后，经过两次降价，每块芯片的单价由188元降为108元.若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程为

188（1－x）2＝108

⁠；188（1－x）2＝108

（2）如图，在宽为20m、长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪.要使草坪的面积为540m2，设道路的宽为xm，则可列方程为

（32－x）（20－x）＝540

⁠.（32－x）（20－x）＝540

命题点1

一元二次方程的解法【例1】一元二次方程x（x－2）＝x－2的解是（

D

）A.x1＝x2＝0B.x1＝x2＝1C.x1＝0，x2＝2D.x1＝1，x2＝2D·⁠

⁠易错提醒·当一元二次方程等号的两边有相同的含有未知数的因式时，常用因式分解法解方程，此时不能将等号两边同时除以这个因式，这样会出现漏解的情况.如例1中的方程，等号两边若同时除以x－2，则x＝2这个解就会遗漏致错.【变式训练】1.方程（x＋1）2＝9的根是

x1＝2，x2＝－4

⁠.

3.（2023·解析与检测下）△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x＋15＝0的根，则△ABC的周长是

8

⁠.x1＝2，x2＝－4

8

命题点2

一元二次方程根的判别式【例2】（2023·河南T7）关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的根的情况是（

A

）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根A·⁠

⁠特别提醒·根据方程根的情况求字母参数取值范围时的注意事项1.已知一元二次方程根的情况，求字母参数的取值范围时，要注意：

（1）若二次项系数含有字母，则不要忽视二次项系数不为0的隐含条件；

（2）若一元二次方程有实数根（或有两个实数根），则有两个相等的实数根或有两个不相等的实数根两种情况，此时Δ≥0，注意不要漏写等号.2.已知形如ax2＋bx＋c＝0的方程有实数根求字母参数的取值范围时，由于这样的方程不一定是一元二次方程，故要分a＝0和a≠0两种情况讨论.【变式训练】4.（2022·河南T6）一元二次方程x2＋x－1＝0的根的情况是（

A

）A.有两个不相等的实数根B.没有实数根C.有两个相等的实数根D.只有一个实数根5.（2021·河南T7）若方程x2－2x＋m＝0没有实数根，则m的值可以是（

D

）A.－1B.0C.1D.AD6.（2020·河南T7）定义运算：m☆n＝mn2－mn－1.例如：4☆2＝4×22－4×2－1＝7，则方程1☆x＝0的根的情况为（

A

）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.只有一个实数根A7.（2023·滁州二模）若关于x的方程kx2－x＋3＝0有实数根，则k的取值范围是（

B

）A.k≤12B.k≤C.k≤12且k≠0D.k≤且k≠0B命题点3

一元二次方程的实际应用【例3】（2020·河南T8）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加.2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（

C

）A.5000（1＋2x）＝7500B.5000×2（1＋x）＝7500C.5000（1＋x）2＝7500D.5000＋5000（1＋x）＋5000（1＋x）2＝7500C【变式训练】8.（2023·南阳二模）《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为（

C

）CA.82＋x2＝（x－3）2B.82＋（x＋3）2＝x2C.82＋（x－3）2＝x2D.x2＋（x－3）2＝829.（2023·洛阳模拟）如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（

D

）A.10×6－4×6x＝32B.10×6－4x2＝32C.（10－x）（6－x）＝32D.（10－2x）（6－2x）＝32D10.（2023·东营）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）.（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？解：（1）设矩形ABCD的边AB＝xm，则边BC＝70－2x＋2＝（72－2x）m.根据题意，得x（72－2x）＝640，化简，得

x2－36x＋320＝0，解得

x1＝16，x2＝20.当x＝16时，72－2x＝72－32＝40；当x＝20时，72－2x＝72－40＝32.答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为