2024-2025学年沪科版七年级数学上册期末冲刺复习：二元一次方程（组）实际问题七大考法（原卷版）

专题12二元一次方程(组)实际问题七大考法

目录

解题知识必备.....................................................................1

压轴题型讲练....................................................................2

类型一、方案问题................................................................2

类型二、行程问题................................................................3

类型三、工程问题................................................................4

类型四、数字问题................................................................5

类型五、销售利润问题............................................................6

类型六、和差倍分................................................................7

类型七、几何图形问题............................................................8

压轴能力测评....................................................................9

X解题知识必备♦♦

二元一次方程解决实际问题的一般步骤

列方程解应用题的基本思路为：问题苧粘方程YS4解答.由此可得解决此类

题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答.

备注：

(1)"审"是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等

量关系；

(2)"设"就是设未知数，一般求什么就设什么为x,但有时也可以间接设未知数；

(3)"列"就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，

单位要统一；

(4)"解"就是解方程，求出未知数的值.

(5)"检验"就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；

(6)"答"就是写出答案，注意单位要写清楚.

x压轴题型讲练2

类型一、方案问题

(1)仔细阅读，弄懂题目意思.此类问题的题干一般较长，审题时需要耐心多阅读几遍，读懂题目的意思；

(2)列方程组，求出关键基础量.此类问题中有些量是解题的基础，需要找出合适的等量关系，列出方程组，

先求出这些基础量；

(3)分类比较，确定最优方案根据题目条件分类讨论，列出所有可能的方案，再按题目的要求对每个

方案进行比较，从中选择最优方案.

例.随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司

计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆8型汽车的进价共计80万元；3辆A

型汽车、2辆3型汽车的进价共计95万元.

(1)求A、8两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？

⑵若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均购买)，请你帮助该公

司设计购买方案；

⑶若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在(2)中的购买

方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？

【变式训练11为进一步美化校园，学校决定在校园内的空地处栽种部分桂花树和樱花树，通过与园林部

门联系，每棵樱花树苗的价格比每棵桂花树苗的价格贵50元，购买2棵樱花树苗和2棵桂花树苗其需1000

元，求樱花树苗和桂花树苗每棵分别为多少元？

【变式训练2】.已知：用2辆A型车和1辆8型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆8型

车装满货物一次可运货11吨.根据以上信息，解答下列问题：

(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？

(2)某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，8型车6辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货

物，请你帮该物流公司设计租车方案

【变式训练3】.列二元一次方程组解决实际问题：为拓展学生视野，某中学组织七年级师生开展研学活动，

原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余

客车恰好坐满.参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车?

类型二、行程问题

(1)三个基本量间的关系：路程=速度x时间

(2)(2)基本类型有：

①相遇问题(或相向问题)：I•基本量及关系：相遇路程=速度和x相遇时间

n.寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程=两地距离.

②追及问题：I.基本量及关系：追及路程=速度差X追及时间

n.寻找相等关系：第一，同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；

第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离=追者走的路程.

③航行问题：I.基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度

逆流速度=静水速度-水流速度

顺水速度-逆水速度=2x水速

n.寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑.

(3)解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析.

例.从甲地到乙地，先下山再走平路，某人骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度

走平路，到达乙地共用55分钟；他返回时，以每小时8千米的速度通过平路，以每小时4千米的速度上山，

共用1.5小时，求甲、乙两地的距离.

【变式训练甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔2min相

遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔6min相遇一次，已知甲比乙跑得快，甲、乙二人每分钟各跑

多少圈？

【变式训练2】.甲、乙两人在一环形场地上，从起点同时同向匀速跑步.甲的速度是乙的3倍，4min后两

人首次相遇，此时乙还需要跑400m才跑完第一圈，求甲、乙两人速度及环形场地的周长.(列二元一次方

程组解答)

【变式训练3】.一艘轮船在相距120千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用了6小时,

逆流航行比顺流航行多用了4小时.求该轮船在静水中的速度和水流速度.

类型三、工程问题

如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1.基本关系式：

(1)总工作量=工作效率x工作时间；

(2)总工作量=各单位工作量之和.

例.某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公

路的两端同时相向施工150天完成.由于特殊情况，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲

队返回，两队又共同施工了110天，这时甲、乙两队共完成土方量103.2万立方.甲、乙两队原计划平均每

天的施工土方量分别为多少万立方？

【变式训练穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工.某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程,

甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进Q5米，经过6天施工，甲、乙两组

共掘进57米.

(1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？

(2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进Q3米，乙组平均每

天比原来多掘进0.2米.按此施工进度，还需要多少天完成任务？

【变式训练2】.为完善吉林市城市路网结构，营造便捷通畅的城市道路系统，提升城市面貌惠及民生，2024

年5月起，吉林市各道路维修改造工程有序进行.已知甲工程队1天，乙工程队2天共修路400米；甲工程

队2天，乙工程队3天共修路700米，求甲乙两工程队每天分别修路多少米？

【变式训练3】.古运河是扬州的母亲河.为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、

8两工程队先后接力完成.A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天.

⑴根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下:

f=()7x+y=()

甲：12x+8y=()；："]=()

11Zo

根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数X、y表示的意义，然后在括号内补全甲、乙两名

同学所列的方程组：

甲：尤表ZJK，y表zj\；

乙：%表小,y表小.

(2)求A、3两工程队分别整治河道多少米.(写出完整的解答过程)

类型四、数字问题

已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个

位数字为a,十位数字为b,则这个两位数可以表示为Wb+a.

例.一个三位数是它各数位上数字之和的27倍.已知百位上的数字与个位上的数字之和比十位上的数字大

1.若把百位上的数字与个位上的数字交换位置，则所得的新数比原数大99.求这个三位数.

【变式训练1】.将自然数排列在多个同心圆或多个连环圆上，使各圆周上的数之和相同，各条直径上的数

之和也相同，就得到了幻圆.著名的同心幻圆有杨辉的攒九图和丁易东的太衍五十图.如图是一个简单的

二阶幻圆模型，要求：

①内、外两个圆周上的四个数之和相等；

②外圆两直径上的四个数之和相等.

求图中两空白圆圈内的数字.

【变式训练2】.一个两位数的十位数字比个位数字大2,如果将十位数字与个位数字交换位置，所得新数

和原数的和是66,求原来的两位数是几？

【变式训练3】.一个两位数的十位数字与个位数字之和是7,若把这个两位数加上9,所得的两位数的十位

数字和个位数字恰好与原来的两位数的十位数字和个位数字颠倒了，求原来的两位数.

类型五、销售利润问题

(1)禾U润率=崟、100%

进价

(2)标价=成本(或进价)x(l+利润率)

(3)实际售价=标价x打折率

(4)利润=售价-成本(或进价)=成本x利润率

注意："商品利润=售价-成本"中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的

十分之几或百分之几十销售.

例.某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价相同，随身听和书包单价之和是

452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元.

⑴求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元？

⑵某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打8折销售，超市8全场购物满100元返购物

券30元销售(不足100元不返券，购物券全场通用)，但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看

中的这两样物品，你能说服他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？

【变式训练1】.为庆祝"六一"儿童节，某商场全部商品打折出售.打折前，买60件A商品和30件B商品

用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元；打折后，买500件A商品和400件8商品用了

8640元.求该商场商品打几折？

【变式训练2】.当季是西瓜成熟的季节，西瓜也具有解暑的作用，市场上西瓜的销量也与日俱增，某西瓜

种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的西瓜，对总计1000斤的麒麟瓜、黑美人西瓜这两个品种的西瓜进

行打包优惠出售，打包方式及售价如下：麒麟瓜每筐8斤，售价200元；黑美人西瓜每筐18斤，售价360

元.假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤西瓜(筐数为整数且两种西瓜至少各有一筐).

⑴若这批西瓜全部售完，共收入21400元，请问麒麟瓜共包装了多少筐，黑美人西瓜共包装了多少筐；

⑵当销售总收入为22840元时，若西瓜种植大户留下y(J>0)筐麒麟瓜送人，其余的西瓜全部售出，求

y的值.

【变式训练3】.近年来，新能源汽车深受人们的喜爱.某汽车专卖店两周销售A,B两种型号的新能源汽

车的情况如下表：请根据表格数据，求出每辆A型车和2型车的售价各为多少万元.

类型

A型B型销售额

时间

上周1辆3辆73万元

本周2辆1辆66万元

类型六、和差倍分

(1)基本量及关系：增长量=原有量X增长率，

现有量=原有量+增长量，现有量=原有量-降低量.

(3)寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率

等.

例.为弘扬爱国主义精神，对青少年学生进行爱国主义教育，勿忘国耻，本记使命，某校准备组织学生到

抚顺平顶山惨案纪念馆参观，参观学生共计300人，学校到租车公司联系车辆，该公司现有A,B两种座位

数不同的车型，如果租用A型车3辆，B型车3辆，则空余15个座位；如果租用A型车5辆，B型车1辆，

则有15个人没座位.

(1)求A,B两种车型各有多少个座位.

(2)若最终租用了两种车型的车，且座位恰好坐满，则两种车型的车各租用了多少辆？

【变式训练11某地独特的气候资源，生产的洋芋品质好、干物质含量高且耐储存，品质、色泽、风味明

显优于其他洋芋产区，因而受到国内外客商青睐，现欲将一批洋芋运往外地销售，若用2辆A型车和1辆8

型车载满洋芋一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆8型车载满洋芋一次可运走11吨.现有洋芋31吨，

计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满洋芋(两种车都租用).根据以上

信息，解答下列问题：

(1)1辆A型车和1辆B型车都载满洋芋一次可分别运送多少吨？

⑵请你帮该物流公司设计租车方案.

【变式训练2】.为响应政府号召，陵水县圣女果种植户借助电商平台，在线下批发的基础上同步在电商平

台，，拼多多，，上零售圣女果，已知线上零售40千克、线下批发圣女果80千克共获得销售额4000元；线上零

售60千克和线下批发80千克圣女果的销售额相同.求线上零售和线下批发圣女果的单价分别为每千克多

少元？

【变式训练3】.北京时间2024年4月26日5时04分，神州十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟

十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功！小明是一个航天爱好者，计划购进甲、乙两

种飞船模型收藏，已知，1件甲种飞船模型和1件乙种飞船模型的售价共计40元，2件甲种飞船模型和3

件乙种飞船模型的售价共计95元.

⑴求甲，乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？

（2）若小明计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购

买方案.

类型七、几何图形问题

例.如图是用长方形厚纸片（厚度不计）做长方体茶叶包装盒的示意图，阴影部分是裁剪掉的部分.沿图

中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的"接口"用来折叠后粘贴或封盖.用

长40cm,宽34cm的长方形厚纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高等于盒底边长乘2.5,三处"接

口"的宽度相等，该茶叶盒的容积是多少？

【变式训练1].如图，8块相同的小长方形地砖拼成了一个大长方形图案（地砖间的缝隙忽略不计），求每

块小长方形的长和宽.

【变式训练2】.如图，在长为14m,宽为10m的长方形展厅划出三个形状、大小完全相同的小长方形摆放

水仙花，其示意图如图所示.求小长方形的长和宽.

【变式训练3】.用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无

（1）做一个横式无盖纸盒需要张长方形纸板和张正方形纸板.

⑵若仓库里有300张长方形纸板和100张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做几个？

⑶若仓库里有。张长方形纸板和b张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则。+b应满足什么条件，请说

明理由.

”压轴能力测评“

1.班主任张老师准备将200万元钱全部用于购买A,8两种款式的笔记本作为奖品（两种款式的都要买），

已知一个A款笔记本10元，一个B款笔记本15元，张老师的购买方案共有（）

A.6种B.7种C.8种D.9种

2.一桥长2000米，一列火车匀速行驶，从车头上桥到车尾离桥用了一分钟，完全在桥上的时间为40秒,

则车长度和行驶速度分别为（）

A.400米，20米/秒B.200米，40米/秒

C.200米，20米/秒D.400米，40米/秒

3.现有一段长为5000米的马路需要整修，由甲、乙两个工程小组先后接力完成，甲工程小组每天整修200

米，乙工程小组每天整修250米，共用时22天.设甲工程小组整修马路x米，乙工程小组整修马路、米，

依题意可列方程组（）

x+y=22x+y=5000

x+y=22x+y=5000

A.SxyB200%+250y=5000C

----1----=5000—x।—y=22200x+250y=22

1200250200250

4.幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一一九宫格.如图1,将9个数填入

幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，图2是一个未完成的幻方，

A.11B.12C.13D.14

5.某学校为了打造“书香校园〃，丰富师生的业余文化生活，计划采购A,3两种图书，已知采购2本A种

图书和3本3种图书共需110元，采购1本A种图书和5本3种图书共需160元，则A,3两种图书的单价

分别为（）

A.10元、30