2024-2025学年高一年级上册期末考试解答题压轴题50题专练（含答案）

2024高一上学期期末考试解答题压轴题50题专练

【人教A版(2019)]

1.(2023上•广东汕头•高一校考阶段练习)已知4={x|2a-1<x<a+1},B={%I-1<%<3].

(1)若a=-|,求4UC(CRB)；

(2)在①“x€4”是“x€B”的充分不必要条件；②力UB=B；③4CB=0；这三个条件中任选一个，补充在

下面问题中，并进行解答.

问题：若,求实数a的取值范围构成的集合P.

注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个条件的解答计分.

2.(2023上上海徐汇•高一上海中学校考期中)已知非空实数集S,7满足：任意X6S,均有三CS；任意

yeT,均有=67.

y+1

(1)直接写出S中所有元素之积的所有可能值；

(2)若T由四个元素组成，且所有元素之和为3,求T；

(3)若SCT非空，且由5个元素组成，求SUT的元素个数的最小值.

3.(2023下•北京密云•高一统考期末)已知集合5={1,2,…,几}(riN3且neN*),A={a1：a2,---,am),

且A=S.若对任意的eA,出£4(1<i<j<m),当心+a;-<n时，存在以E4(1<k<m),使得见+出=

ak,则称4是S的小元完美子集.

(1)判断下列集合是否是S={123,4,5}的3元完美子集，并说明理由；

①①={1,2,3}；

②&=亿4,5}.

(2)若4={alta2,={1,2,…,7}的3元完美子集，求的+a2+<23的最小值.

4.(2023上•北京平谷•高一统考期末)设A是正整数集的非空子集，称集合B={|“-训|M1764，且uKv}

为集合A的生成集.

(1)当4={1,3,6}时，写出集合A的生成集8；

(2)若A是由5个正整数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；

(3)判断是否存在4个正整数构成的集合A,使其生成集B={2,3,5,6,10,16},并说明理由.

5.(2023上•北京东城•高一统考期末)对于非空数集A,若其最大元素为最小元素为"z,则称集合A

的幅值为北=M-若集合A中只有一个元素，则。=0.

⑴若4={2,3,4,5},求。；

(2)若4={1,2,3,…,9},4={%,为,cj=44CAj=0(EJ=1,2,3,i丰j),&U&U力3=4求。i+7^2+

北3的最大值，并写出取最大值时的一组4,42,43；

(3)若集合N*的非空真子集4,4,43,…,4"两两元素个数均不相同，且。1+23+..,+%=55，求”

的最大值.

6.(2023上•上海浦东新•高一校考期末)已知集合力九={(乂1，刀2,…,/i)Me{-=1,2,…,71)},尤、y6

An,x=(x1,x2,---,xn),y=(yi，y2)--->yn)>其中U、%e=1,2,…，n).定义无。y=勺%+x2y2+

+xnyn,若久。y=0,则称x与y正交.

(1)若％=(1,1,1,1),写出①中与了正交的所有元素；

(2)令B={久。y|x,yeAn},若meB,证明：m+n为偶数;

(3)若AU人兀，且A中任意两个元素均正交，分别求出n=8,14时，A中最多可以有多少个元素.

7.(2023上•北京昌平•高一统考期末)设有限集合E={1,2,3,…,N},对于集合4UE,A={x1,x2,x3,-,xm},

给出两个性质：

①对于集合A中任意一个元素冲，当4Kl时，在集合A中存在元素和Xj(i<使得^^/+芍，贝I称

A为E的封闭子集；

②对于集合A中任意两个元素々，手j),都有々+勺64则称A为E的开放子集.

⑴若N=20,集合4={1,2,4,6,8,10},B=[x\x=3k+l,k<6,keN*},判断集合4B为E的封闭子集还

是开放子集；(直接写出结论)

⑵若N=100,IEA,100EX,且集合A为E的封闭子集，求小的最小值；

(3)若N6N*,且N为奇数，集合A为E的开放子集，求机的最大值.

8.(2023上•北京•高一校考阶段练习)设集合4为非空数集，定义4+=(x\x=a+b,a,bEAlA-={%|x=\a—

b\,a,bEA).

⑴若集合/=直接写出集合川及父；

(2)若集合A={xlfx2,x3,x4],Xr<X2<x3<%4且/一=A,求证％1+%4=%2+%3；

(3)若集合Zc(x|0<x<2023/eN}且/+0=0,求/中元素个数的最大值.

9.(2023上•浙江湖州•高一期末)已知函数f(%)=%—2,g{x}=x2—2mx+4(mG/?).

(1)若对任意％GR,不等式g(%)>/(%)恒成立，求m的取值范围；

(2)若对任意%iW[1,2],存在％2个[4,5],使得g(%i)=/(%2)，求机的取值范围；

(3)若租=一1,对任意几eR,总存在%oe[-2,2],使得不等式|g(%o)-据十九|之々成立，求实数左的取值范

围.

10.(2023上•浙江金华・高一校考阶段练习)(1)已知关于％的不等式a/+b%+c<0的解集是

{%[%<—2或%>|j,求c/—bx+a>0的解集;

(2)求关于式的不等式a/一2X+。<0的解集.

11.(2023•全国•模拟预测)已知居y,zE(0,+8),且无+y+z=l.

(1)求证：+^>1+y[z—z；

(2)求％2+y2+z2+5xy+4yz+4%z的最大值.

12.(2023上•江苏•高一阶段练习)设函数/(%)=ax2+(1-a)%+a-2.

(1)若关于汽的不等式/(%)2-2有实数解，求实数a的取值范围；

(2)若不等式/(%)>一2对于实数aG时恒成立，求实数久的取值范围;

(3)解关于％的不等式：f(x)<a-1,(aE/?).

13.(2023上•辽宁丹东•高一校考阶段练习)已知不等式2<ax2+bx+c<3的解集为｛%|2<%<3]

⑴若。>。，求6b+5c的值；

(2)若a>0,且不等式a/+(5一3)%-。4。有且仅有9个整数解，求a的取值范围；

(3)若a。0解关于汽的不等式：ax2+(b-1)%+5<0.

14.(2023上•浙江台州•高一校考阶段练习)已知函数y=a/一(q+2)%+2,aeR.

(l)y<3-2%恒成立，求实数a的取值范围；

(2)当a>0时，求不等式y>。的解集；

(3)若存在zu>0使关于％的方程a/一(Q+2)|%|+2=m+'+1有四个不同的实根，求实数a的取值.

15.(2022上•福建厦门•高一校考阶段练习)已知函数/0)="+]-3,且不等式犷(久)<4的解集为｛久|l<x<6｝

⑴解关于x的不等式a%2_(ac+b)%+bc<0(cCR)

(2)已知g(%)=Tn%+7-3/n,若对任意的％章[2,3],总存在汽2c(1,4],恰/(久1)二必应成立，求实数机的取值范围.

xi

16.(2023上•江苏苏州•高二校考期中)已知一元二次不等式％2-ax+h>0.

(1)若不等式的解集为(一8,2)U(3,+8),求不等式一b%+1V0的解集;

(2)当b=a—1时，求不等式久2—ax+&>0的解集；

⑶当b=l时，求不等式安>°的解集.

17.(2023上•北京朝阳•高一统考期末)设全集U={l,2,-,n}(n6N*),集合A是U的真子集.设正整数t<n,

若集合A满足如下三个性质,则称A为U的R(t)子集：

@tGX；

(2)VaEA,VbECyA,若ab€U,贝!Jab€4；

&A,XfbEQuA,若a+6eU,则a+

(1)当几=6时，判断2={1,3,6}是否为。的R(3)子集，说明理由；

(2)当n27时，若A为U的R(7)子集，求证：2任4

(3)当n=23时，若A为U的R(7)子集，求集合4.

18.(2023上•天津•高一校联考期中)设函数/(x)=ax2+(b—2)x+3(a*0),

(1)若不等式f(x)>0的解集为(―1,3),求2a+b的值;

⑵若/⑴=4,->一1,求〉+兽的最小值.

，'，\a\b+1

(3)若b=-a-3,求不等式/(%)<-4%+2的解集.

19.(2023上•上海闵行•高一校考阶段练习)已知二次函数/(%)=a%2+bx+c.

(1)若等式a(%—1)2+—1)+c=2/—3%—1恒成立，其中a,b,c为常数，求a—b+c的值;

(2)证明：ac<0是方程f(%)=0有两个异号实根的充要条件;

(3)若对任意％eR,不等式/(%)>2ax+b恒成立，求—r；的最大值・

4(az+cz)

20.(2023下•湖南•高二校联考期末)已知函数/■(久)=e-x+alnx.

(1)若f(x)在定义域上单调递增，求a的取值范围；

(2)若/■(x)</恒成立，求实数a的值.

21.(2023下•北京朝阳•高一统考期末)设m,neN*,已知由自然数组成的集合5={的,42,…,册}(%<a2<

•­■<an),集合S1,S2,Sm是S的互不相同的非空子集，定义nxm数表：

/X11X12

/1

X21X22

X-

\••O

••设d(%)=X/i+xi2H-----FXjm(i=12…，几)，令d(S)是

\X%

n1n2

dQ),或。2)，…，d(an)中的取大值.

/I01\

(1)若TH=3,S={1,2,3},且x=(011),求S「S2yS3及d(S)；

\100/

(2)若5={1,2,I九},集合Si，S2,S7n中的元素个数均相同，若d(S)=3,求九的最小值；

(3)若根=7,S={1,2,…刀，集合S2,S7中的元素个数均为3,且&八与。0(142V/W7),求证:

d(S)的最小值为3.

22.(2023上•上海金山•高一统考期末)已知函数y=f(x)的定义域为区间MUD,若存在非零实数f

使得任意xeM都有x+te。，且/(x+t)>/(%),则称y=/(%)为M上的t—增长函数.

(1)已知f(x)=久，判断函数y=/(x)是否为区间上的|-增长函数，并说明理由；

(2)已知九＞0,设g(%)=%2,且函数y=g(%)是区间[-4,-2]上的九一增长函数，求实数〃的取值范围；

(3)如果函数y=/i(%)是定义域为R的奇函数，当％之0时，/i(x)=\x-a2\-a2,且函数y=/;(%)为R上的

4一增长函数，求实数〃的取值范围.

23.(2023上•江苏淮安・高一统考期末)已知函数f(x)=号等是定义在R上的奇函数，且f(2)=

(1)求函数/(x)的解析式；

⑵判断并证明f(x)在(-2,2)上的单调性；

(3)若存在实数久6[-1,2],使得不等式4[f(x)]2—/(x)+l有解，求实数相的取值范围.

24.(2023上•广东揭阳•高一统考期末)已知f(x)=三^是定义在R上的奇函数，其中a、beR,且f(2)=1.

(1)求a、b的值；

(2)判断/(%)在[2,+8)上的单调性，并用单调性的定义证明；

(3)设g(%)=mx2-2%+2-m,若对任意的％1G[2,4],总存在&e[0,1]，使得f(%i)=g(%2)成立，求加的

取值范围.

25.(2023上•云南曲靖・高一校考期中)已知/(%)=(血2一2M一7)%皿-2是塞函数，且在(0,+8)上单调递

(1)求租的值;

(2)求函数g(久)=f(x)—(2a-l)x+1在区间［2,4］上的最小值八(a).

26.(2023下•四川泸州•高一统考期末)已知函数f0)=2,+巾・2一的图象关于原点对称.

(1)判断函数f(x)在定义域上的单调性，并用单调性的定义证明；

(2)设函数g(x)=logj#+4T+2-a/(x)］(。>0且。片1)在［0,log23］上的最小值为1,求a的值.

27.(2023上•江苏扬州•高一统考期末)已知函数/(x)=x|2a—x|+2x,aeR.

(1)若a=0,判断函数y=/(x)的奇偶性，并加以证明；

(2)若函数/(%)在R上是增函数，求实数a的取值范围；

(3)若存在实数aG［-2,2］,使得关于x的方程/Q)-t/(2a)=0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范

围(写出结论即可，无需论证).

28.(2023下•山西运城・高二统考期末)已知/'(久)=e*T+e-x+/—2x+a,

(1)证明：/(>)关于x=l对称；

(2)若/。)的最小值为3

(i)求a；

(ii)不等式/笠(e*+e-x)+1)>/(ex—e-8)恒成立，求m的取值范围

29.(2023上•重庆永川•高一校考期末)已知函数/(%)对于任意实数须yeR恒有/(%+y)=/(%)+/(y),

且当％>o时，/(%)>o,又f(i)=1.

(1)判断/(%)的奇偶性并证明；

(2)求f(%)在区间[-4,4]的最小值;

(3)解关于％的不等式：/(ax2)-2/(%)>/(ax)-2.

30.(2023上・安徽铜陵・高一统考期末)已知函数/(%)=|%-2a+1|,5(x)=|x-a|+1,xER.

(1)若a=1,求函数9(%)=/(%)+g(%)的最小值；

(2)若g(%)>/(%)对于任意久€[a,+8)恒成立,求a的取值范围;

(3)若xE[1,6],求函数h(%)=max{e"。e。㈤}的最小值.

31.(2023上•北京•高一校考期末)已知函数/(%)=2%.

⑴若函数F(%)=/(x)+a/(-x)(aeR)在久ER上具有奇偶性，求a的值；

(2)当a>0且％e[0,8]时，不等式/(%+1)>/[(%+a)2]恒成立，求a的取值范围;

(3)试求函数G(%)=/(x+1)+a/(2x)(aeR)在％e(-8,0]的最大值”(a).

32.(2023上•辽宁大连•高一期末)已知函数/(%)=log3(a/-1+小一3),^(x)=xa+x~a

⑴直接写出%>0时，g(%)的最小值.

(2)a=2时，F(x)=/(%)-log43在久£(1,|)是否存在零点？给出结论并证明.

(3)若g(2)=£〃9(久))存在两个零点，求a的取值范围.

33.(2022上•福建泉州•高一泉州七中校考期中)已知定义在R的函数/(久)满足：①对Vx,yeR,/(%+y)=

f(x)+/(y)-1；②当第>。时,f(x)<1；③f(l)=-2.

(1)求f(0),判断并证明/(%)的单调性；

(2)若使得/(%)4血？一2am一5,对Vae［-1,1］成立，求实数m的取值范围；

(3)解关于％的不等式f(a/)</((。+2)x)+6.

34.(2023上•上海•高一校考阶段练习)对于定义域在R上的函数y=f(久)，定义g(x)="乃J(°).设区间

/=(-00,0)U(0,4-00),对于区间/上的任意给定的两个自变量的值打、刀2,当均<%2时，总有g(久1)w93)，

则称g(x)是f(x)的“T函数”.

(1)判断函数y=—2。久GR是否存在“T函数”，请说明理由；

(2)若非常值函数y=s(x),xeR是奇函数，求证：y=sQ)存在“T函数”的充要条件是存在常数匕使得s(x)=

kx；

(3)若函数y=m-2x-2022久与函数y=-m-2T+x的定义域都为R,且均存在“7函数”，求实数小的值.

35.(2023上•辽宁大连•高一期末)若函数/'(>)在定义域R上满足/O)+/(y)=f(x+y),且x>0时/(x)>0,

定义域为［-2,2］的g(x)为偶函数.

(1)求证：函数在定义域上单调递增.

(2)若在区间上，/(x)+g(x)=-x2+x+l；g(x)在［0,2］上的图象关于点(1,0)对称.

(i)求函数f(x)和函数g(x)在区间［-2,2］上的解析式.

⑴若关于尤的不等式制瑞

<1,0<a<4对任意定义域内的-2<%!<%2<t恒成立，求实数t存

在时，t的最大值关于。的函数关系.

36.(2023上•吉林长春•高一校考期末)已知函数f⑺=log9(9,+1)+2tx(teR)为偶函数.

⑴求f的值；

⑵求y(x)的最小值;

⑶若/(42*+4-2专>-4-x))对vxGR恒成立,求实数m的取值范围.

2x

37.(2023下•浙江舟山•高二统考期末)已知函数f(x)=x+2+a(x>0)满足f(k^a)=f(2-log2/?),

x2

函数gO)=log2(2-4)-logb(x-1),其中a,bGR.

⑴求/O)的值域(用a表示)；

(2)求a+6的取值范围；

(3)若存在实数b,使得g(f(%))-31ogba33有解，求a的取值范围.

38.(2023下•云南保山•高一统考期末)已知函数/'(%)=loga(l-0+3,(a>0且aK1)的图象经过点

P(—2,4),函数g(x)=6—品为奇函数.

(1)求函数/(%)的解析式；

(2)求函数尸(久)=g(x)+3X-2的零点；

(3)若关于x的不等式m+log3(善)</0)在区间(-1,0)上恒成立，求正实数m的取值范围.

x

39.(2023下•浙江•高一台州中学校联考期中)已知函数f(%)=log4(4+1)-znx是偶函数.

(1)求小的值；

(2)若g(x)=4了⑺，a>0,bER,不等式b•『(久)一|a•。(£)一口+a20对任意％e1]恒成立，求，的

取值范围.

40.(2023上•浙江•高一校联考期末)已知函数/(久)=111(1+a),aeR.

(1)若方程/■(久)=ln[(a-3)x+2a-4],恰有一个实根，求实数a的取值范围；

(2)设a>0,若对任意匕当％i，冷e[b,b+1]时，满足1foi)-/(%2)1W1n4,求实数。的取值范围.

41.(2023上•甘肃定西•高一统考期末)已知函数/'(x)=2sin(3久+租)(3>0,切<])的最小正周期为兀,

其图象关于点位,0)对称.

。,令以为二/1+习，判断函数。(久)的奇偶性；

(2)是否存在实数小满足对任意Xie[-1,1],任意犯eR，使4巧+4Tl+m(2xi-2-卬)+5>f(冷)成立.若

存在，求小的取值范围；若不存在，说明理由.

42.(2023下•辽宁大连•高一大连八中校考阶段练习)函数/(久)=cos(3久+⑴)(3>0,\<p\<以的部分图像

如图所示.

(1)求/(%)的解析式；

(2)若V%e[/(%)]2-m/(x)-1<0恒成立，求m的取值范围；

(3)求实数Q和正整数九，使得函数F(%)=/(%)-。在[0,rm]上恰有2023个零点.

43.(2023下•江西上饶•高一统考期末)已知函数/(%)=V2sinxcosx—V2cos2x+J.

⑴求函数/(%)的单调递增区间；

(2)若g(%)=/(%)+/(%+；)-/(%)•/(%+»存在%1,%2七氐对任意％£R，有g(%D<g(%)<g3)恒

成立，求1%-冷1的最小值;

(3)若函数尸。)=-f2(X+泉+a[/(%+泉+2]-3在(0町)(neN+)内恰有2023个零点，求a与八的值.

44.(2023下•四川成都•高一统考期末)已知函数/(%)=V3sinxcosx+1(sin4x—cos。)—l(x6R),函数

y=/(%)的图象向左平移F个单位，再向上平移1个单位得到y=g(%)的图象，h(x)=—cosx|cosx—3m|+

6

m(jnGR).

⑴若f(a)=0，求a；

(2)若对任意久2E卜瑞，存在E[o,||使得g(%i)=h(%2)成立，求实数优的取值范围.

45.(2023下•上海杨浦・高一复旦附中校考期末)已知直角梯形ABC。，乙=AADE=\AB=1,

扇形圆心角NB4E=%,%£(0彳)，如图，将△ZDC,△ABC以及扇形的面积分别记为p(%),q(%),s(%)

(1)写出p(%),式%),s(%)的表达式，并指出其大小关系(不需证明)；

(2)用tan；表示梯形ZBCD的面积t(x)；并证明：t(%)>2-s(x)；

(3)设f(%)=翳，OVa<a+0V：,试用代数计算比较f(a)与f(a+9)的大小.

46.(2023下•江西抚州•高一校联考期中)已知函数/(%)=sin(3%+0)-1(3>0,0VV冗)的图象两相

邻对称轴之间的距离是泉若将/(%)的图象上每个点先向左平移卷个单位长度，再向上平移1个单位长度，

所得函数9(%)为偶函数.

⑴求/(%)的解析式；

(2)若对任意久E[。,当,[/(x)]2-(24-m)/(x)+2+m<0恒成立，求实数m的取值范围；

(3)若函数h(%)=2/(%)+3的图象在区间[a,b](a,beR且a<b)上至少含有30个零点，在所有满足条件的

区间［a,b］上,求b-a的最小值.

47.(2023上•吉林・高一统考期末)如图，角a的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点4(打,力),

将射线04绕点。按逆时针方向旋转W后与单位圆相交于点B(%2,%)，设f(a)=%+%.

(1)求fQ的值；

(2)若函数g(x)=f(2x-求g(x)的单调递增区间；

(3)在⑵的条件下，函数无(久)=gO)+("l)f(久话)的最小值为一2百，求实数2的值.

48.(2023下•上海闵行•高一闵行中学校考期末)定义在R上的函数/(久)=4sin(a)x+cp)(A>0,a>>0,0<

(P己知其在久6(0,7it)内只取到一个最大值和一个最小值，且当x=TT时函数取得最大值为3；当刀=

6it,函数取得最小值为-3.

(1)求出此函数的解析式；

(2)是否存在实数zu,满足不等式/sin(3，一??i2+27n+3+9)>/sin(3A/—7n2+4+9),若存在求出m的取

值范围，若不存在，请说明理由；

⑶若将函数/0)的图像保持横坐标不变，纵坐标变为原来的］得到函数g(%),再将函数g(%)的图像向左平移

9o(0o>0)个单位得到函数h(%),已知函数y=IO。。)+的最大值为10,求满足条件的的最小值.

49.(2023上•陕西榆林•高一统考期末)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，所以

至今还在农业生产中被使用.如图，假定在水流稳定的情况下，一个直径为10米的筒车开启后按逆时针方向

匀速旋转，转一周需要1分钟，筒车的轴心。距离水面的高度为|米.以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间,

设筒车开始旋转r秒后盛水筒尸到水面的距离为场米(规定：若盛水筒尸在水面下，则%为负数).

(1)写出〃(单位：米)关于火单位：秒)的函数解析式h(t)=Xsin(a)t+<p)+B(其中A>0,to>0,|^)|<^)；

(2)若盛水筒P在I?时刻距离水面的高度相等，求S+t2的最小值.

50.(2023上•云南昆明•高一统考期末)乐音中包含着正弦函数，平时我们听到的乐音是许多个音的结合，

称为复合音，复合音的产生是因为发声体在全段震动，产生基音的同时，其余各部分，如二分之一部分也

在震动.某乐音的函数是/'(x)=sinx+|sin2x,该函数我们可以看作是函数y=sinx与y=]sin2久相加，利

用这两个函数的性质，我们可以探究f(x)的函数性质.

⑴求出/(%)的最小正周期并写出/Q)的所有对称中心;

(2)求使f(久)>0成立的x的取值集合；

(3)判断xe[-2TT,2TT],函数g(x)=f(x)零点的个数，并说明理由.

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高一上学期期末考试解答题压轴题50题专练

【人教A版(2019)]

1.(2023上•广东汕头•高一校考阶段练习)已知4={x|2a-1<x<a+1},B={%I-1<%<3].

(1)若a=-|,求4UC(CRB)；

(2)在①“x€4”是“久€B”的充分不必要条件；②4UB=B；③4CB=0；这三个条件中任选一个，补充在

下面问题中，并进行解答.

问题：若,求实数a的取值范围构成的集合P.

注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个条件的解答计分.

【解题思路】(1)利用集合补集和交集的概念求解即可；

(2)根据集合的包含关系分情况讨论即可.

【解答过程】(1)当a=时，A=^x\-2<x<^,又8={x|-1<xW3},

所以4UB-{x|-2<x<3},CRB={x\x<-1或x>3],

ACl(CRB)={x|-2<x<-1].

(2)选①“xe4”是“xeB”的充分不必要条件，则

若4=0,此时2a-12a+1,解得a22；

若440,此时a<2,只需产二宗丁(且等号不同时成立)

解得0<a<2,

所以满足条件的实数a构成的集合P={a|a>0}.

选②4UB=B,则4UB；

若4=0,此时2a-12a+1,解得aN2；

若此时a<2,只需产二解得0Wa<2；

综上所述，满足条件的实数a构成的集合P=[a\a>0}.

选③力nB=0,

若4=0,此时2a-12a+l,解得a22；

若440,此时a<2,只需2a-123或a+1W-1,

显然2a—1>3即a>2无解，解a+1<—1得a<—2；

综上，满足条件的实数a构成的集合P={a\aW-2或a22}.

2.(2023上•上海徐汇・高一上海中学校考期中)已知非空实数集S,7满足：任意xeS,均有36S；任意

X

yer,均有匕ier.

y+1

(1)直接写出S中所有元素之积的所有可能值；

(2)若T由四个元素组成，且所有元素之和为3,求T；

(3)若SCT非空，且由5个元素组成，求SUT的元素个数的最小值.

【解题思路】(1)根据集合S中的元素构成可得集合S中的元素是以｛居手，士｝的形式，三个数为一组出现,

从而可得结论；

(2)根据集合T中的元素构成可得集合T中的元素是以｛%缶,-；,黑｝的形式，四个数为一组出现，从而可

得结论；

(3)由(1)(2)可得集合S,T的元素个数分别是以3和4为最小正周期循环，从而根据SCT得元素个数，

可确定SUT的元素个数的最小值.

【解答过程】(1)已知非空实数集S满足:任意尤eS,均有匕6S,且久=匕在实数范围内无解,所以％H匕,

XXX

x-i11__1

所以，又'122^—=XES

L--T-=~1—-xES---

x1-x

则集合S中的元素是以｛x，U，士｝的形式，三个数为一组出现，组和组不相交，且O,1WS,

又x・匚・白=-1，则S中所有元素之积的所有可能值为-1或1；

X1-x

(2)已知非空实数集T满足：任意yeT,均有占CT,且缶#y

y-i---i1+yi

所以二t=—工67,且导=也67，又打=yer

轰+i>V1-言+】

则集合T中的元素是以-言｝的形式，四个数为一组出现，组和组不相交，且-1,0,1WT,

若T由四个元素组成，贝"=,，舒，-；，言｝，且所有元素之和为3

所以y++(—=3,整理得(y2—4y—l)(y2+y—1)=0

解得y=2±四或y=二#

当y=2+逐或y=2-4或y=三些或y=二"时,T=^2+V5,2-低二汽"”｝

综上，T=｛2+V5,2-V5,

(3)由(1)(2)集合S,T的元素个数分别是以3和4为最小正周期循环,

且当x=y时，同一周期内其余元素不相等，

因而3和4互素，所以S和T中的各组最多只能有一个公共元素，

因为Snr有五个元素，若要使SUT的元素个数最小，要使相同的元素尽量在同一个周期内，

若{“。，然，士自；}=S，此时从s中选出5个元素属于T,此时7包含20个元素，SUT中包含6+

20-5=21,

若T=}。,华，-二产,力,也三,-工，了叫，此时从7中选出5个元素属于S,此时S包含15个元素，SUT

Iy0+iy0i-y0yi+iyii-yJ

中包含8+15—5=18,

所以SUT的元素个数最小值为18.

3.(2023下•北京密云・高一统考期末)已知集合S={1,2,…,n}(n>3_&nGN*),A=(a1,a2,"-,am),

且4£S.若对任意由eA,aje71(1<i<j<m),当见+%<时，存在超G4(1<k<m),使得见+=

ak,则称4是S的zn元完美子集.

(1)判断下列集合是否是S={123,4,5}的3元完美子集，并说明理由；

①4={1,2,3}；

②4={2,4,5).

(2)若4=Si，a2,(23}是S={1,2,…,7}的3元完美子集，求a1+a2+<23的最小值.

【解题思路】(1)理解3元完美子集的定义，并判断两个集合是否满足完美子集的定义；

(2)分别设的=1,%=2,以及的23时，判断是否存在3元完美子集，并比较最小值，

即可求解.

【解答过程】(1)①因为2+2=4<5,且4C2,

所以久不是S的3元完美子集；

②因为2+2=4<5,且464，

而5+5>4+5>4+4>2+5>2+4>5,

出是S的3元完美子集.

(2)不妨设的<a2<a3.

若a1=1,贝U<2i+a[=2e41+2=3eA,1+3=4e4且4<7,

则集合4的元素个数大于3个，这与3元完美子集矛盾；

若的=2,则%+%_=4642+4=6€4而2+6>7,符合题意，

此时a1—2,a2—4,a3—6,即4--{2,4,6),

此时的+g+。3=12.

若的23,则由+。1之6,于是。224,ar+a2>7,若存在3元完美子集，

则的+=。3或+。2=。3，即。3之6,所以的+。2+。3之13.

综上，出+。2+。3的最小值是12.

4.(2023上•北京平谷•高一统考期末)设A是正整数集的非空子集，称集合8=且aHu}

为集合A的生成集.

(1)当A={1,3,6}时，写出集合A的生成集&

⑵若A是由5个正整数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；

(3)判断是否存在4个正整数构成的集合A,使其生成集8={2,356,10,16},并说明理由.

【解题思路】(1)利用集合的生成集定义直接求解；

(2)设/={alfa2,a3,a4,a5},且0<%Vg<@3<。4<。5，利用生成集的定义即可求解；

(3)假设存在集合/={a,b,c,d},可得d—a>c-a>b—a,d—a>d—b>d—c,c—a>c—b,d—

a=16,然后结合条件说明即得.

【解答过程】(1)因为4={136},所以|1一3|=2,|1—6|=5,|3—6|=3,

所以8={2,3,5}；

(2)设4--Q5)，不妨设0<<。2<。3<。4<，5，

因为—%V一<04—V一%，

所以B中元素个数大于等于4个，

又/={1,234,5},则B={123,4},此时B中元素个数等于4个，

所以生成集B中元素个数的最小值为4；

(3)不存在，理由如下：

假设存在4个正整数构成的集合/={afb,cfd),使其生成集B={2,356,10,16},

不妨设0<QVb<cVd,则集合A的生成集8由b—a,c—a,d—a,c—b,d—b,d—c组成，

又>6?-a>c—a>b—ct,d-a>d-b>d—c,c—a>c—b,

所以d—ct-16,

若b—a=2,又d—a=16,则d—b=140故b—aH2,

若d—c=2,又d—a=16,贝！Jc—a=1408,故d—cW2,

所以c—b=2,又d—LC—16,则d—b+c—CL=18,而d—b,c—CLG{3,5,6,10},

所以d—b+c—CL=18不成_\L,

所以假设不成立，

故不存在4个正整数构成的集合A,使其生成集8=(2,3,5,6,10,16).

5.(2023上•北京东城•高一统考期末)对于非空数集A,若其最大元素为最小元素为加，则称集合A

的幅值为。="一小，若集合A中只有一个元素，则。=0.

⑴若4={2,3,4,5},求洋

⑵若4={1,2,3,…,9},4={at，bi，Ci)C4,4C4=0(i,J=1,2,3,iC)),A1(JA2(JA3=A,求九4-TA2+

北3的最大值，并写出取最大值时的一组42,^3；

(3)若集合N*的非空真子集4,42，&3,…，An两两元素个数均不相同，且氏+。2+。3+“,+%=55，求〃

的最大值.

【解题思路】(1)根据新定义即可求出；

(2)由4=bt，Ci]CA,AInA,=0(ij=1,2,3,i手j),&U&U&=4且要使得7^+TA2+7^取到最

大，则只需7^,北2,23中元素不同且7,8,9分布在3个集合中，4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集

合中这样差值才会最大，总体才会有最大值.

(3)要”的值最大，则集合的幅值最小，且4,&，4，•••，/是集合N*的两两元素个数均不相同的非空真子

集，故对集合42,43,…，An中元素分析列出方程解出即可.

【解答过程】(1)由集合4={2,3,4,5}知，M=5,m=2,

所以，1=M-m=5-2=3.

(2)因为2={1,2,3,…,9},4={at，bi，cjU4,4nAj=0(i,y=1,2,3,i手j),Ar\JA2^JA3=A,

由此可知集合4,42,&中各有3个元素，且完全不相同，

根据定义要让北工+TA2+取到最大值，

则只需中元素不同且7,8,9分布在3个集合中，

4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中

这样差值才会最大，总体才会有最大值，所以。1+7^+?^的最大值为7+8+9-1-2-3=18,

所以有一组41={1,9,4},A?={2,8,5},人3={3,7,6}满足题意，

(3)要〃的值最大，则集合的幅值要尽量最小，故幅值最小从0开始，接下来为1,2,…，

因为4,42,43,…，At是集合N*的两两元素个数均不相同的非空真子集，

不妨设&是集合N*中只有一个元素的非空真子集，此时。1=0,例如&={1},

则必是集合N*中有两个元素的非空真子集，且j=1，例如4=口，2}，

同理4是集合N*中有三个元素的非空真子集，且03=2,例如&=口，2,3},

4n是集合N*中有ri个元素的非空真子集，且心”=?1一1,例如4.={1,2,3,…,心,

所以+…+=0+1+2+…+(九-1)==55,

解得n=ll或兀=一10(舍去)，

所以n的最大值为11.

6.(2023上•上海浦东新•高一校考期末)已知集合4n={01，X2,…,％n)Me{-1,1}(E=1,2,…,n)},尤、ye

An,x=(x1,x2,-,xn),y=(yi，y2，-"，yn)'其中%、%e=1,2,…，n).定义％Oy=/为+K2y2+

+xnVn＜若无Oy=0，则称x与y正交.

(1)若X=(1,1,1,1)，写出心中与X正交的所有元素；

(2)令8={%Oy|x,y64J，若meB,证明：m+n为偶数;

(3)若414兀，且A中任意两个元素均正交，分别求出n=8,14时，A中最多可以有多少个元素.

【解题思路】(1)由定义可写出人中与x正交的所有元素.

(2)令。=工?’，k=£上1d，当勾=%时，看％=1,当阳力％时，=那么x(Dy=

Xiyi=k-(n-k)=2k-n,可得证.

(3)先考虑n=4时，共有四种互相正交的情况，设这4种情况的排列为Zi，Z2，Z3*4，

则按久=(Z1,Z2,z3,Z4,Zr,Z2,Z-i，z4),x'=(-Z1，-Z2，-Z3，-Z4，Z1，Z2，Z3，Z4)的方式进行搭配也相互正交，故当

n=8时可形成8种情况.

当？2=14时，不妨设为=(1,1,…1)(有14个1),y2=(-1,-1,-,-1,1,1,-1)«7^-1,7个1),

则为,丫2正交，再令a=(a],a2,…，a”)，匕=(瓦也，…，瓦4)，c=(q,C2,…，J。，且它们之间互相正交，讨

论a,b,c相应位置数字都相同的个数，可得出a。6,aQc,利用它们相互正交得矛盾，从而得出A中最多

可以有的元素个数.

【解答过程】(1)4中所有与x正交的元素为

(-1,-1,1,1),(1,1,-1,-1),(-1,1,-1,1),(-1,1,1,-1),(1,-1,-1,1),

(2)证明：对于meB,存在x=(打,刀2,…，Xn)，/e{-1,1},y=。口为，…，%)，％e{-=1,2,…，？i),

使得xQy-m.

令。=

当々丰%时，x£y(=-1,当3=%时，二％=1.

那么m=xQy=Eki/%=k—(n—k)=2k—n.

所以?n+几=2/c为偶数.

(3)n=8时，不妨设%i=(LLLLLLLD/2=(-1,-1,-1,-1,1,1,1,1).

再考虑几=4时，共有四种互相正交的情况，

1111

即一；1二；；，设这4种情况的排列为Z1,Z2，Z3，Z4，

—1—111

1-1-11

则按%1/2的方式进行搭配，

即％=(^1/^2,Z^,Z^,Z1,Z2,Z2,Z4),

f

X=(-zlf-z2f-z3f-z4fzlfz2fz3fz4),可形成8种情况.

所以九=8时，A中最多可以有8个元素.

n=14时，不妨设yi=(1,1,…二)

14个

丫2=I[L-1,…,—U，l,…J

\7个7个

则丫1与、2正交•

假设a=Q,。2,…，。14)，b=(瓦也，…也4)，C=(C1，Q，…,C14)且它们互相正交.

设〃，。，C相应位置数字都相同的共有人个，除去这左列外.

。，。相应位置数字都相同的共有机个，

b,C相应位置数字都相同的共有几个，

则aQb=m+k—(14—m—fc)=2m+2fc—14=0.

所以m+/c=7,同理?i+k=7.

可得几=m.

由于aOc=-m—m+/c+(14—k—2m)=0,

可得2m=7,m=IN*矛盾.

所以除月斤2外任意三个元素都不互相正交.

综上，九=14时，A中最多可以有2个元素.

7.(2023上•北京昌平•高一统考期末)设有限集合E=7,23…,N},对于集合/QE,A={xlfx2fx3t-fxm],

给出两个性质：

①对于集合A中任意一个元素如当加H1时，在集合A中存在元素和Xj(i</),使得&=阳+芍，贝(J称

A为E的封闭子集；

②对于集合A中任意两个元素久i，Xj(i丰j),都有久(+芍《4则称A为E的开放子集.

(1)若N=20,集合4={1,2,4,6,8,10},B={x\x=3k+l,k<6,kEN*},判断集合4,B为E的封闭子集还

是开放子集；(直接写出结论)

⑵若N=100,leX,100GX,且集合A为E的封闭子集，求小的最小值；

(3)若N6N*,且N为奇数，集合A为E的开放子集，求小的最大值.

【解题思路】对于(1),利用封闭子集，开放子集定义可得答案；

对于(2),A={1,X2,X3,...,Xm_1,100