江西省吉安市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题【含答案解析】

2024年下半年期末质量监测九年级数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共3×6=18分）1.将一个长方体沿四条棱切割掉一个三棱柱后，得到如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可．【详解】解：从左边看，是一个长方形，长方形的中间有一条横向的虚线．

故选：A．【点睛】本题主要考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，正确掌握观察角度是解题关键．2.将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（）A.x2﹣2x+5＝0 B.x2﹣2x﹣5＝0 C.x2+2x﹣5＝0 D.x2+2x+5＝0【答案】B【解析】【分析】先去括号，再移项，最后合并同类项即可．【详解】解：（x-1）2=6，

x2-2x+1-6=0，

x2-2x-5=0，

即将方程（x-1）2=6化成一般形式为x2-2x-5=0，

故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）．3.如果两个相似三角形对应高的比为，那么这两个三角形的面积比为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的高线之比等于相似比以及面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形的性质解答即可．【详解】解：∵这两个相似三角形对应高的比为，∴这两个相似三角形的相似比为，∴这两个三角形的面积比为．故选C．4.在学习完特殊的平行四边形这一章后，老师测验了同学们对特殊平行四边形的知识掌握情况，下面是张小亮的答卷，他的得分应是（）姓名：张小亮得分：？判断（每小题分，共分）①四边相等的四边形是菱形．（√）②菱形的对角线相等且互相平分．（√）③有两个角是直角的四边形是矩形．（×）．④对角线相等的平行四边形是矩形．（√）⑤有一个角是直角的平行四边形是正方形．（×）A.分 B.分 C.分 D.分【答案】B【解析】【分析】本题主要考查菱形，矩形和正方形的判定，掌握菱形，矩形和正方形的判定定理和性质是解题的关键．根据菱形，矩形和正方形的判定逐个分析即可．【详解】①四边相等的四边形是菱形，故①正确，小亮回答正确；②菱形的对角线垂直且互相平分，故②错误，小亮回答错误；③有两个角是直角的四边形不一定是矩形，例直角梯形，故③错误，小亮回答正确；④对角线相等的平行四边形是矩形，故④正确，小亮回答正确；⑤有一个角是直角的平行四边形是矩形不一定是正方形，故⑤错误，小亮回答正确；小亮答对4题，共得分，故选：B．5.已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（）A.图象必经过点 B.y随x的增大而增大C.图象在第一、三象限内 D.若，则【答案】B【解析】【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质用排除法解答．【详解】解：A、把点代入反比例函数，得，故正确，不符合题意；B、∵，∴在每一象限内y随x的增大而减小，故不正确，符合题意．C、∵，∴图象在第一、三象限内，故正确，不符合题意；D、若，则，故正确，不符合题意．故选：B．6.二次函数的图象经过，对称轴是直线，给出下列说法中：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的个数有（）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，根据图象的开口可确定，再结合对称轴，可确定，根据图象与轴的交点位置，可确定，根据图象与轴的交点个数可确定，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质、以及二次函数的图象的特点．【详解】解：∵图象开口向下，∴，∵抛物线对称轴，∴，∴，，∵抛物线交轴正半轴，∴，∴，故正确；∵当时，，∴，故正确；∵图象和轴交于两点，∴，故正确；∵对称轴是直线，且二次函数的图象经过，∴二次函数的图象经过，∴当时，，故正确；所以正确的序号是，共5个．故选：D二、填空题（本大题共6小题，共3×6=18分）7.若，则______．【答案】【解析】【分析】本题考查了比例的性质；由，设，，然后代入式子计算即可．【详解】解：由，设，，∴，故答案为：．8.在一个不透明的布袋中装有30个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4左右，则布袋中白球可能有________个．【答案】【解析】【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解．【详解】解：设袋中有黄球x个，由题意得：，解得：，则白球可能有（个）；故答案为：．【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是利用黄球的概率公式列方程求解得到黄球的个数．9.已知a，b分别是方程的两根，则的值为__________．【答案】3【解析】【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程解的定义、代数式求值，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义是解题的关键．根据一元二次方程的根与系数之间的关系可得，再根据一元二次方程解的定义可得，再整体代入求解即可．【详解】解：∵a，b分别是方程的两根，∴，把代入方程得，，即，∴，故答案为：3．10.如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，射线与轴正半轴的夹角为，则的值为_______．【答案】【解析】【分析】本题考查了矩形的判定与性质，求正弦值，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明四边形是矩形，再运用勾股定理，则，即可作答．【详解】解：如图：过点B分别作轴，作轴，则，∴四边形是矩形，∴，，∵点坐标为，∴，∴，则，故答案为：．11.如图，反比例函数的图象与正方形的边，分别交于点，．若为的中点，则正方形的边长为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，反比例函数的图象与性质，由四边形是正方形，则，，设，则，然后代入反比例函数解析式，求出的值即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，，设，∴，，∵为的中点，∴，∵点在反比例函数的图象上，∴，∵，∴，∴，∴正方形的边长为，故答案为：．12.已知四边形ABCD为菱形，其边长为6，，点P在菱形的边AD、CD及对角线AC上运动，当时，则DP的长为________.【答案】2或或【解析】【分析】分以下三种情况求解：（1）点P在CD上，如图①，根据菱形的边长以及CP1=2DP1可得出结果；（2）点P在对角线AC上，如图②，在三角形CDP2中，可得出∠P2DC=90°，进而可得出DP2的长；（3）当点P在边AD上，如图③，过点D作于点F，过点作于点E，设，则，再用含x的代数式表示出CE，EP3，CP3的长，根据勾股定理列方程求解即可.【详解】解：（1）当点P在CD上时，如解图①，，，；（2）当点P在对角线AC上时，如解图②，，.当时，，；（3）当点P在边AD上时，如解图③，过点D作于点F，过点作于点E，设，则，，，，，，，.，在中，由勾股定理得，解得，（舍）.综上所述，DP的长为2或或.故答案为：2或或.【点睛】本题主要考查菱形的性质，含30°直角三角形的性质以及勾股定理，在解答无图题时注意分类讨论，避免漏解.错因分析较难题.出错原因：①不能全面考虑所有情况，即根据动点在每一条边上进行分类讨论求解；②在第三种情况下不能将已知条件有效利用，转化到一个三角形中通过勾股定理列方程求解.三、解答题：写出必要的证明过程成演算步骤．（共5小题，共5×6=30分）13.（1）计算：（2）解方程：【答案】（1）1；（2），【解析】【分析】本题主要考查了解特殊角度的三角函数值的混合运算和一元二次方程，熟练掌握各个特殊角度的锐角三角函数值和解一元二次方程的方法是解题的关键．（1）先将各个特殊角度的锐角三角函数化简，再进行计算即可．（2）用因式分解法进行求解即可．【详解】解：（1）；（2）∴，．14.如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据，求该几何体的体积和侧面积．【答案】体积为，侧面积为．【解析】【分析】此题考查由三视图判断几何体，掌握柱体的侧面都是长方形是解决问题的关键．根据主视图和左视图是长方形，俯视图是半圆，可得到此几何体为半圆柱；再用半圆的面积乘高，即为体积．【详解】解：由形状图可知这个立体图形为半个圆柱，∴该几何体的体积．该几何体的侧面积为．15.已知：关于x的方程．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是，求k的值．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和方程的解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．（1）计算得到根的判别式大于0，即可证明方程有两个不相等的实数根；（2）把方程的解代入方程即可得解．【小问1详解】证明：∵关于的方程∴，，，，无论取何值，，，即．方程有两个不相等的实数根；【小问2详解】解：把代入得解得．16.在正方形中，点是边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺，分别按要求作图．（1）如图，在边上求作一点，连接，使得；（2）如图，在边上求作一点，连接，使得．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）连接交于点，连接并延长交于点，利用正方形的性质，先证明得到，然后证明，从而得到；（2）连接、，它们相交于点，连接并延长交于点，利用正方形的性质，先证明得到，则，则可判断四边形为平行四边形，所以．【小问1详解】解：如图，连接交于点，连接并延长交于点，则为所作；证明：∵四边形是正方形，∴，又∵，∴，∴∵∴，∴；【小问2详解】如图，连接、，它们相交于点，连接并延长交于点，则为所作．证明：∵四边形是正方形，对角线交于点，∴，，又∵，∴，∴，∴，又∵，∴四边形为平行四边形，∴．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．17.如图，在矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F．（1）求证：△EAB∽△DFA；（2）若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长．【答案】【解析】【分析】（1）△ABE和△DFA都是直角三角形，还需一对角对应相等即可．根据AD∥BC可得∠DAF=∠AEB，问题得证；

（2）运用相似三角形的性质求解．【详解】(1)证明：∵DF⊥AE,∴∴又∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB.∴△ABE∽△DFA.(2)根据题意可得：AE=10，,∴,∴,.【点睛】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.四、（本大题共3小题，共3×8=24分）18.今年暑假，我市各中小学试行“阳光分班”方案，以树立教育公平为基本方向，实现机会均等，确保每个孩子享有公平而有质量的教育．某校七年级共设个教学班，班号依次为、、、，分班过程分两批完成，第一批由家长代表抽签确定各班学生，第二批抽签确定各班学生对应的班主任．（1）充亮被抽到班是_____事件（填“必然”“随机”）（2）求充亮和班主任计老师分到同一个班的概率（请用画树状图或列表的方法求解）．【答案】（1）随机（2）【解析】【分析】本题考查了事件的分类，画树状图法求概率．（1）根据在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，即可求解；（2）根据题意，画出树状图进行求解即可．【小问1详解】解：七年级共设个教学班，班号依次为、、、，充亮被抽到班是随机事件；故答案为：随机．【小问2详解】解：画出树状图，如图：共有种等可能的结果，其中充亮和班主任计老师分到同一个班的结果有种，故充亮和班主任计老师分到同一个班的概率为．19.如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）当时，求线段的长．【答案】（1），（2）6【解析】【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，解题的关键是熟练掌握待定系数法．（1）用待定系数法先求反比例函数解析式，然后再求一次函数解析式即可；（2）先根据正比例和反比例函数解析式求出，，然后求出的长度即可．【小问1详解】解：∵反比例函数的图象经过点，∴，∴反比例函数的表达式为；∵一次函数的图象经过点，∴，∴，∴一次函数表达式为；【小问2详解】解：∵，∴，∴直线的表达式为，∵时，，解得，则，∵时，，解得，则，∴．20.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．【答案】(1)见解析；(2)OE=5，BG=2.【解析】【分析】(1)先证明EO是△DAB的中位线，再结合已知条件OG∥EF，得到四边形OEFG是平行四边形，再由条件EF⊥AB，得到四边形OEFG是矩形；(2)先求出AE=5，由勾股定理进而得到AF=3，再由中位线定理得到OE=AB=AD=5，得到FG=5，最后BG=AB-AF-FG=2．【详解】解：(1)证明:∵四边形ABCD为菱形，∴点O为BD的中点，∵点E为AD中点，∴OE为△ABD的中位线，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形．(2)∵点E为AD的中点，AD=10，∴AE=∵∠EFA=90°，EF=4，∴在Rt△AEF中，．∵四边形ABCD为菱形，∴AB=AD=10，∴OE=AB=5，∵四边形OEFG为矩形，∴FG=OE=5，∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．故答案为：OE=5，BG=2．【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握特殊四边形的性质和判定属于中考常考题型，需要重点掌握．五、（本大题共2小题，共2×9=18分）21.某加工厂加工某海产品的成本为30元/千克．根据市场调查发现，该海产品批发价定为48元/千克的时候，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，加工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．（1）写出加工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数表达式．当降价2元时，加工厂每天的利润为多少元？（2）当降价多少元时．加工厂每天的利润最大，最大利润为多少元？【答案】（1），当降价2元时，加工厂每天的利润为9600元；（2）当降价4元时，加工厂每天的利润最大，最大利润为9800元．【解析】【分析】（1）本题考查了二次函数的实际运用，根据题意即可得出销量和批发价的关系，从而列出函数表达式，再将降价2元时的情况代入函数表达式即可得出利润；（2）本题考查了二次函数的实际运用和函数的性质，将（1）中的表达式化为，即可根据性质得出最大利润最大时的情况．【小问1详解】解：由题可知，若降价x元，则每天销量可增加千克，，整理得：．当时，，当降价2元时，加工厂每天的利润为9600元；【小问2详解】解：，，则函数开口向下，有最大值，当时，W取得最大值，最大值为9800，当降价4元时，加工厂每天的利润最大，最大利润为9800元．22.人工智能越来越多地应用于现实生活，某科技小组的成员小星在一次就餐中，对餐厅使用的“送菜机器人”很感兴趣，于是他与小组成员一起研制了一个简易的智能机器人，如图（1），机器人底座AB固定在桌面（桌面足够大）上，且，，，和可以分别绕点B，C自由转动，且始终在同一平面内．（1）机器人工作时，某时刻的示意图如图（2）所示，，，请你求出此时点D到桌面的距离．（2）当点D在桌面上时，请你求出点A，D之间的最大距离．（结果精确到．参考数据：，，，，）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）过点作的平行线，交的延长线于点F，过点D作的垂线，垂足为点E，交直线于点G．先求出，在中，求得，在中，求得，最后可得结果；（2）当点在桌面上时，易知当点B，C，D共线时，点D距