高中数学第二章数列232等比数列的前n项和4省公开课一等奖新课获奖课件

等比数列前n项和1/29

1.熟练掌握等差、等比数列前n项和公式以及正整数平方和公式、立方和公式等进行求和．

在历年高考要求中，等差数列与等比数列有限和总是有公式可求。

2．掌握非等差、等比数列求和几个常见方法.

有些特殊数列求和可采取分部法转化为等差或等比数列求和(能利用等差、等比数列前n项和公式及其性质求一些特殊数列和)或用裂项法，错位相减法，分项和并项求和法，逆序相加法，分组组正当等求和。.高考要求2/291．公式法：直接应用等差数列，等比数列前n项和公式，以及正整数平方和公式、立方和公式等进行求和．(1)等差数列前n项和(2)等比数列前n项和.Sn＝

＝

n2n2＋n数列求和第一课时3/29

公式法数列求和 例1：(1)求和1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n＋1)＝___________；(2)求和22＋23＋24＋…2n＋3＝________.

解：(1)这是一个以1为首项，2为公差等差数列求和问题，其项数为n＋1，1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n＋1)

(2)这是一个以4为首项，2为公比等比数列求和问题，其项数为(n＋3)－2＋1＝n＋2，4/29裂项相消法求和5/29

2－2.已知an＝Sn＝_______.，则数列{an}前n项和6/29

裂项相消法关键就是将数列每一项拆成二项或多项,使数列中项出现有规律抵消项，进而到达求和目标。即：把数列通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项和变成首尾若干项之和．1．利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最终一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面系数，使裂开两项之差和系数之积与原通项公式相等．7/29常见拆项方法有：(1)=

;(2)=

;(3)=

;

8/29

错位相减法求和例3：Sn＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)xn－1(x≠0,1).解：因为x≠1，∵Sn＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)xn－1，∴xSn＝x＋3x2＋5x3＋7x4＋…＋(2n－1)xn.9/293-1．已知数列{an}前n项和为Sn且an＝n·2n，则Sn＝______.＝2n＋1－2－n·2n＋1＝(1－n)2n＋1－2∴Sn＝2n＋1(n－1)＋2.答案：(n－1)·2n＋1＋210/29即：假如一个数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项乘积组成，此时可把式子Sn＝a1＋a2＋…＋an两边同乘以公比q，得到

qSn＝a1q＋a2q＋…＋anq，两式错位相减整理即可求出Sn.

用乘公比错位相减法求和时，应注意：1．要善于识别题目类型，尤其是等比数列公比为负数情形；2．在写出“Sn”与“qSn”表示式时应尤其注意将两式“错项对齐”方便下一步准确写出“Sn－qSn”表示式．11/291＋2＋22＋…＋21.求和1＋4＋7＋10＋…＋(3n＋4)＋(3n＋7)＝2.已知an＝1n－1＋1，则数列{an}前n项和Sn＝______.__________.答案：B答案：B12/29【方法规律小结】数列求和需掌握以下基本惯用解法：1．公式法：直接由等差、等比数列求和公式求和，注意等比数列公比q与1讨论．2．错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得数列求和，即等比数列求和公式推导过程推广．3．裂项相消法：把数列每一项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．13/29将数列相邻两项(或若干项)并成一项(或一组)得到一个新数列(轻易求和).五、并项求和（奇偶分析法）例5求和

Sn=1-2+3-4+5-6+…+(-1)n+1·n.n2Sn=-,n

为偶数时,

,n

为奇数时.n+12数列求和第二课时四、倒序相加法将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加,就能够得到n个.例

如等差数列求和公式推导.例4函数f(X)满足若x1+x2=1,则f(x1)+f(x2)=1,求f(0)+f()+f()+f()+……+f()14/29若数列通项可转化为

形式，且数列可求出前n项和则例6.求以下数列前n项和六.分组求和法：（1）15/29解（1）：该数列通项公式为

（1）16/2917/2918/2919/29规律概括：假如一个数列通项可分成两项之和（或三项之和）则可用分组求和法：在本章我们主要碰到以下两种形式数列.

其一：通项公式为：

其二：通项公式为：20/29本课小结：

数列求和普通步骤：等差、等比数列直接应用求和公式求和。非等差、等比数列，经过通项化归思想设法转化为等差、等比数列，惯用方法有倒序相加法、错位相减法、拆项并组法不能转化为等差、等比数列，往往经过裂项相消法求和。21/29（5）已知递增等比数列

{an}

前

3

项之积为

512,且这三项分别减去

1,

3,

9

后又成等差数列,

求数列

{}

前

n

项和.an

n

（6）已知数列

{an}

中,

a1=1,(2n+1)an=(2n-3)an-1(n≥2,n

N*),求数列

{an}

前

n

项和

Sn.()()114313212114++--+.+.+.=nnSn(7).数列

{an}

中,a1=a,前

n

项和

Sn

组成公比为

q(q

1)

等比数列.(1)求证:在

{an}中,从第

2

项开始成等比数列;(2)当

a=250,q=

时,设

bn=log2|an|,求

|b1|+|b2|+…+|bn|.1222/29作业谢谢！欢迎你提问！书本第53-55页

能力培养再见23/2924/2925/29

5.已知递增等比数列

{an}

前

3

项之积为

512,且这三项分别减去

1,

3,

9

后又成等差数列,

求数列

{}

前

n

项和.an

n

解:

设等比数列

{an}

公比为

q,依题意得:a1a2a3=512

a23=512

a2=8.∵前三项分别减去

1,3,9

后又成等差数列,∴(-1)+(8q-9)=2(8-3)

q=2

或

q=

(舍去).q812∴an=a2qn-2=8

2n-2=2n+1.∴所求数列前

n

项和

Sn=++…+①1222232n+1n2n+1n-1123224∴Sn=++…++②122n+2n①-②

得:

Sn=++…+-2n+11122123122n+2n∴Sn=++…+-12n

1222n+1n12=1-

-

.12n

2n+1n26/296.已知数列

{an}

中,

a1=1,(2n+1)an=(2n-3)an-1(n≥2,n

N*),求数列

{an}

前

n

项和

Sn.∴

=

.

an-1an

2n-32n+1∴Sn=a1+a2+…+an

解:

∵(2n+1)an=(2n-3)an-1,则=,…,=,=.an-2an-1

2n-52n-1a2a337a1a215∴=.a1an

(2n+1)(2n-1)3∴an=(2n+1)(2n-1)3=

(-

).3212n-112n+13212n-112n+1=

[(1-)+(-)+(-)+…+(-)

2n+1=

.27/29(1)证:

由已知

S1=a1=a,Sn=aqn-1,当

n≥2

时,an=Sn-Sn-1=aqn-1-aqn-2=a(q-1)qn-2.∴在

{an}中,从第

2

项开始成等比数列.

7.数列

{an}

中,a1=a,前

n

项和

Sn

组成公比为

q(q

1)

等比数列.(1)求证:在

{an}中,从第

2

项开始成等比数列;(2)当

a=250,q=

时,设

bn=log2|an|,求

|b1|+|b2|+…+|bn|.12an+1an∵==q(n≥2),a(q-1)qn-2a(q-1)qn-1(2)解