以“折”为“辙”-基于2021年宁波市中考数学第十六题说题 说 题 课件 2022-2023学年数学浙教版九年级下册

以“折”为“辙”

——基于2021年宁波市中考数学第十六题说题

说

题

流

程原题呈现说思维和思路说拓展与变式说价值说分析与联想说知识内容如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，△BEC与△FEC关于直线EC对称，点B的对称点F在边AD上，G为CD中点，连接BG分别与CE、CF交于M,N两点，若BM＝BE,MG＝1，则BN的长为

，sin∠AFE的值为

。一、原题呈现——2021年宁波市中考数学第十六题

本题涉及的知识点较多。主要包含图形翻折性质、等腰三角形、平行线、菱形、相似三角形、全等三角形的判定和应用、射影定理、三角函数的定义和转化思想等。二、说知识内容——考点分析三、说分析与联想如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，△BEC与△FEC关于直线EC对称，点B的对称点F在边AD上，G为CD中点，连接BG分别与CE、CF交于M,N两点，若BM＝BE,MG＝1，则BN的长为

，sin∠AFE的值为

。1、找出相等的角：

除了矩形4个直角外，

由对称可得：∠EFC=∠ABC=90°，一线三垂直可得∠AFE=∠DCF

由BM=BE，可得∠BME=∠BEM∟∟∟

2、找出特殊四边形：

由对称可得BE=EF，BM=MF

又BM＝BE，可得菱形BEFM三、说分析与联想如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，△BEC与△FEC关于直线EC对称，点B的对称点F在边AD上，G为CD中点，连接BG分别与CE、CF交于M,N两点，若BM＝BE,MG＝1，则BN的长为

，sin∠AFE的值为

。4、找出相似三角形或全等三角形：

由对称可得△BEC≌△FEC，由一线三垂直可得△AEF∽△DFC

由AB∥CD且菱形中FM∥EB，可得△FMN∽△CGN，

∠AEF=∠ABG=∠BGC

△AEF∽△CGB，∠FNB=90°

射影定理3、找出相等线段：

除矩形对边相等外

由对顶角和内错角又知∠CMG=∠GCM，GM=GC，DC=2∟三、说分析与联想如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，△BEC与△FEC关于直线EC对称，点B的对称点F在边AD上，G为CD中点，连接BG分别与CE、CF交于M,N两点，若BM＝BE,MG＝1，则BN的长为

，sin∠AFE的值为

。5、逆向思维分析：

①求BN的长，基本思路通过勾股定理，三角形相似得出比例式，三角形全等等于已知或易求得的线段。

②求sin∠AFE的值，基本思路利用定义或通过相等的角转化。

第一小问引用了翻折中“边等”、“角等”的隐含条件，引导我们利用三角形全等的判定找出BN、AB和CD相等的关系。连接BF，FM，由翻折及BM＝ME可得四边形BEFM为菱形，可证△ABF≌△NBF,可得BN＝BA。

CD＝AB＝2

四边形BEFM为菱形∠ABF＝∠NBF

△ABF≌△NBF

BN＝AB＝2（1）思维点拨四、说思维和思路

解法一评析：这种解法利用线段平行证明△FNM和△CNG相似，突出“X”型相似的运用,再运用对应边列出比例式解方程。

第二小问中结合了主题干和支题干所得出的结论，利用菱形四边相等的关系和相似三角形各边的关系列出比例式。（2）思维点拨四、说思维和思路解法一：证明△FMN∽△CGN可得

＝

,进而求解菱形BEFM△FMN∽△CGNx=2-∴sin∠AFE＝

﹣11-x2-x2-xxx12-x2-xx1-x1四、说思维和思路解法二：证明△AEF∽△CGB可得

，由此出发进行求解解：菱形BEFM

△AEF∽△CGBx＝2﹣∴sin∠AFE＝

﹣1

解法二评析：这种解法利用EF∥BG,证明△AEF和△CGB相似，用对应边列出比例式。着重培养了我们运用菱形性质和判定三角形相似的能力。本解法与解法一有异曲同工之妙，需要结合菱形的判定和相似三角形判定的相关知识。2-x12-x2-x1x四、说思维和思路

解法三评析：此解法较于前两种解法有所不同但更加简便。运用三角形中的垂直关系，借助射影定理列出关于NG的方程。还需要运用一线三垂直，将题中所要求的sin∠AFE转化到求sin∠NCG上。此解法需要我们掌握并熟练运用射影定理。解法三：由射影定理得出等式CG=MG=1NG=sin∠AFE=

变式1：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，△BEC与△FEC关于直线EC对称，点B的对称点F在边AD上，CD=3CG，连接BG分别与CE、CF交于M,N两点，若BM＝BE,MG＝1，则BN的长为

，sin∠AFE的值为

。五、说拓展与变式1、横向拓展——变条件略解：易得CD=3菱形EBMF

∠ABF＝∠NBF△ABF≌△NBFBN=AB=CD=3

拓展反思：此拓展改变题中CG与CD的数量关系，实质上考查内容与原题考查内容一致。此拓展运用原题中的方法二解题,若用方法三则可以更加简洁明确地求出数值，但也显而易见的是方法三更考验思维的跳跃和转换。3-xx1△AEF∽△CGB变式1：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，△BEC与△FEC关于直线EC对称，点B的对称点F在边AD上，CD=3CG，连接BG分别与CE、CF交于M,N两点，若BM＝BE,MG＝1，则BN的长为

，sin∠AFE的值为

。3-x3-x变式2：如图，在菱形ABCD中，点E在边AB上，△BEC与△FEC关于直线EC对称，点B的对称点F在边AD上，G为CD中点，连接BG分别与CE、CF交于M,N两点，若BM＝BE,MG＝1，则BN的长为

，

的值为

。2、纵向延伸——变形状

拓展反思：此拓展将原题中的矩形条件改为菱形，方法不变，只是改变图形形状。进一步加大了探索各个角之间关系的难度，隐藏了菱形每条边相等的条件。锻炼提升了我们对题目图形的理解能力和思维方式的灵活性，体现了数学图形的巧妙设计和灵活变化。x2-x2-x2-x1△AEF∽△CNG变式2：如图，在菱形ABCD中，点E在边AB上，△BEC与△FEC关于直线EC对称，点B的对称点F在边AD上，G为CD中点，连接BG分别与CE、CF交于M,N两点，若BM＝BE,MG＝1，则BN的长为

，

的值为

。略解：△AFB≌△NFBAB=BN=2六、说价值

这道题从多个角度考查了我们的解题思路。考查内容多样，我们通过以“折”为“辙”，挖掘翻折图形中的隐含条件从而找到问题的突破口。在拓展中我