中考数学模拟题《解答题》练习题(提升篇)

中考数学模拟题汇总《解答题》练习题（提升篇）

（含答案解析）

一.一元一次不等式的应用（共1小题）

1.某学校准备购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买2个足球和

3个篮球共需340元，购买5个足球和2个篮球共需410元.

（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？

（2）根据学校的实际情况，需购买足球和篮球共96个，并且总费用不超过5720元.问最多可以购买多

少个篮球？

二.二次函数综合题（共6小题）

2.如图，抛物线顶点坐标为点C（1,4）,交x轴于点人（3,0）,交y轴于点8.

（1）求抛物线和直线的解析式；

（2）设点尸是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P,使S4刈J面积最大，若存在，

求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）设点Q（异于。点）是抛物线上的一个动点，是否存在一点Q，使若存在，直接

写出。点的坐标；若不存在，请说明理由.

3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=5x2+法+c与x轴的正半轴交于点。，与），轴交于点C,点4

6

在抛物线上，轴于点比绕点8逆时针旋转90”得到△O8E,连接当5乂2+云+0<0

6

对，x的取值范围是-^VxV2.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求证：四边形O8ED是矩形：

（3）在线段0。上找一点M过点N作直线机垂直x轴，交OE于点、F,连接。足当△QN"的面积取

得最大值时，求点N的坐标，在此基础上，在直线机上找一点P,连接OP、QP.使得NOPQ+NQOE

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=90°,求点尸的坐标.

4.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-7+2依+2F+1与x轴的左交点为4,右交点为8,与），轴的

交点为C，对称轴为直线/,对于抛物线上的两点（XI，yi）»（X2，）2）（X1VAVX2）,当川+.0=2时，

VI-}2=0恒成立.

（I）求该抛物线的解析式；

（2）点M是第二象限内直线AC上方的抛物线上的一点，过点M作MNJ_AC于点M求线段MN的最

大值，并求出此时点M的坐标；

（3）点P是直线/右侧抛物线上的一点，PQJJ于点、Q,AP交直线/于点八是否存在这样的点P,使

△PQ/；与△ACO相似？若存在，请求出点。的坐标，若不存在，请说明理由.

5.二次函数［二加+加+^的图象与X轴交于A（2,0）,B（6,0）两点，与y轴交于点C,顶点为E.

（I）求这个二次函数的表达式：

（2）如图①，。是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当8。的垂直平分线恰好经过点C时，求点。

的坐标；

（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接。尸，取OP中点Q,连接QC,QE,CE,当4

CEQ的面积为12时，求点P的坐标.

已知A,。两点坐标分别是A（l,0）,

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C（0,-2）,连接AC,BC.

（1）求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；

（2）将△A8C沿8c所在直线折叠，得到△OBC,点A的对应点。是否落在抛物线的对称轴上，若点。

在对称轴匕请求出点。的坐标；若点。不在对称轴上，请说明理由：

（3）点。是抛物线图象上的一动点，当NPC6=NA8C时，直接写出点。的坐标.

一鱼）、点从点3在x轴上,

a,

3

且对于任意实数x,不等式恒成立.

OoO

（1）求该抛物线及直线AB的解析式；

（2）点M为该抛物线上的一点，过点M作MN_Lx轴于点N,过点A作轴于点”，当以点M、

N、8为顶点的三角形与aAHB相似，更接写出满足条件的全部点M的横坐标，并选取其中两种情况写

出解答过程；

（3）试问，在抛物线y=^x^-2-tx-t上是否存在点Q,使得△QAB的面积等于△AOB的面积的2

倍？如果存在，请直接写出点。的坐标，如果不存在，请说明理由.

三.四边形综合题（共2小题）

8.如图甲，在△ABC中.NAC8=90°.AC=4.BC=3.如果点。由点8出发沿84方向向点A匀速运

动.同时点2由点A出发沿AC方向向点C匀速运动.它们的速度均为每秒钟1个单位长度.连接

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设运动时间为，秒钟（0<7<4）.

（1）设△APQ的面积为S,七实数，为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？

（2）在（1）的前提下.当S取得最大值时.把此时的沿射线AC以每秒钟1个单位长度的速度

平移，当点A平移至与点C重合时停止，写出平移过程中，与△ABC的重叠部分面枳y与平移时

诃工的函数解析式，并写出对应的x的取值范围：

（3）如图乙，连接PC,将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP'C,当四边形PQP'C为菱形时，求

实数，的值.

9.在矩形A8CO中，AB=\2,尸是边A3上一点，把3c沿直线PC折叠，顶点3的对应点是点G,过

点3作5E_LCG,垂足为£且在AD上，BE交PC于点F.

（1）如图I，若点E是人。的中点，求证：AAEB冬ADEC；

（2）如图2,当AQ=25,且AEVOE时，求”的值；

PC

（3）如图3,当8七•即=108时,求8P的值.

四.圆的综•合题（共5小题）

10.如图，A8是圆。的直径，弦CD与AB交于点、H,/BDC=NCBE.

（1）求证：BE是圆。的切线；

（2）若COJ_AE,AC=2,BH=3,求劣弧BC的长；

（3）如图，箱CD"BE,作。尸〃8C,满足8C=2O尸，连接切、BF,求证：FH=BF.

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F.

H

E

11.如图，在直角梯形ABC。中，AB//CD,NB=90°,E是BC的中点，连接AC,AE,DE,DEAC

(1)求证:^ABE^/^ECD；

(2)求证:以8C为直径的。石与人。相切;

(3)对角线AC交OE于点G，AB=6,BC=S,求4尸的长.

12.如图1,将矩形纸片A8CQ沿直线MN折叠，顶点6恰好与C。边上的动点P重合（点尸不与点C,D

重合），折痕为MM点M,N分别在边A。，BC上，连接MB,MP,BP,8P与MN相交于点F.

(1)求证：△BFNS/\BCP；

（2）①在图2中，作出经过M,D,。三点的。。（要求保留作图痕迹，不写作法）；

②随着点P在CO上运动，当①中的OO恰好与8M,8C同时相切，如图3,若48=4,求。P的长.

（3）在②的条件下，点Q是00上的动点，则AQ的最小值为

图1图2图3

13.如图，在等边△ABC中,M是边8c延长线上一点，连接4M交△ABC的外接圆于点。，延长8。至N,

使得连接CMMM

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(1)猜想△CMN的形状，并证明你的结论；

(2)请你证明CN是。。的切线；

(3)若A。：AB=3：4,8N=8,求等边△ABC的面积.

14.如图，己知点。是AA3c的外接圆的圆心，A3=AC,点。是弧A3上一点，连接并延长3。交过点A

且平行于8c的射线于点£.

(I)求证：DA平分NCDE；

(2)判断直线AE与。0的位置关系，并证明；

(3)若。E=3,BD=6,AD=5,求4C的长.

五.相似三角形的判定与性质(共1小题)

15.如图，在正方形A8C。中，E是对角线BD上任意一点(8E>OE),CE的延长线交4。于点F,连接

AE.

(1)求证：△A8£S/\//D£：

(2)当BE=3。七时，求lan/l的值.

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参考答案与试题解析

一.一元一次不等式的应用（共1小题）

1.某学校准备购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买2个足球和

3个篮球共需340元，购买5个足球和2个篮球共需410元.

（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？

（2）根据学校的实际情况，需购买足球和篮球共96个，并且总费用不超过5720元.问最多可以购买多

少个篮球？

【解答】解：（1）设购买一个足球需要x元，购买一个篮球需要），元，

根据题意得：（2x+3y=34°.

5x+2y=410

解得:卜=5。，

y=80

答：购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80元：

（2）设购买a个篮球，则购买（96-a）个足球，

根据题意得:80a+50（96-a）<5720,

解得：。〈号，

〈a是整数，

・・・aW30,

答：最多可以购买30个篮球.

二.二次函数综合题（共6小题）

2.如图，抛物线顶点坐标为点C（1,4）,交x轴于点A（3,0）,交y轴于点/工

（1）求抛物线和直线的解析式；

（2）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P,使SLA面积最大，若存在，

求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）设点Q（异于。点）是抛物线上的一个动点，是否存在一点Q,使S4Q4B=SaCA3.若存在，直接

写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

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【解答】解:(1)如图I,设抛物线的解析式为:y=a(x-1)2+4,

把A(3,0)代入解析式求得“=-I,

/.>'=-(x-1)2+4=-/+2x+3,

当x=0时，y=3,

：・B(0,3),

设直线AB的解析式为：y=kx+b,

b=3

把A(3,0),B(0,3)代入_)，=履+〃中，得:

3k+b=0,

lr=-1

解得：V七

lb=3

・•・直线AB的解析式为：y=-x+3：

(2)存在，

如图2,连接OP,

设P(x,-/+2x+3)(0<x<3),

第8页共40页

S^h\B=S^OBP+SMOP-SMOB

=—*3x+—*3(-?+2¥+3)--X3X3

222

22

=-—<x--）

228

q

V-JI<O,

2

・•・当x=2时，△月IB的面积最大，此时p（3,勾.）；

224

（3）存在,

分两种情况：

①当。在的上方时，如图3,过点C作。。〃48,交抛物线于Q,连接QB,QA,此时S"C8=Sa

2A8,

设CD的解析式为：），=-x+m.

把C（1,4）代入得：4=-l+/w,

w=5,

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-X2+ZV+3--x+5»

解得：xi=l,X2=2,

•・•点。与点。不重合，

：,Q（2,3）；

②当。在44的下方时，

由①知：直线C。与y轴的交点为（0,5）,即直线向上平移2个单位，

・•・将直线/1B向下平移2个单位得到），=-x+1,

:.-xi+2x+3--x+1»

解得：A-1=3+Vlz_,X2=3-E,

22

（Wn,-1-^7）或-1S.

2222

综上，点Q的坐标是（2,3）或（亚叵，土叵）或（对立，士叵）.

2222

3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线丁=互乂2+泳+。与％轴的正半轴交于点。，与），轴交于点C，点A

6

在抛物线上，AB1），轴于点8.ZUBC绕点8逆时针旋转90°得到△OBE,连接DE.当互%2+饭+c<0

6

时，x的取值范围是-3<X<2.

5

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求证：四边形04。是矩形；

（3）在线段。。上找一点N,过点N作直线机垂直x轴，交OE于点F,连接。F,当△QNP的面积取

得最大值时，求点N的坐标，在此基础上，在直线，〃上找一点P,连接OP、DP.使得N0P/H/Q0E

=90°,求点P的坐标.

【解答】（1）解：•・•当区J+日+。<。时・，x的取值范围是-3<X<2,

65

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・••抛物线与x轴的两个交点为（2,0）,（一名，0）,

5

93

b+c=O

255

5

H+2b+c=。

b4

解得b,

c=-l

.•・),=»2■工”]

-6x6

(2)证明：由(I)可知D(2,0),C(0,-1),

：.OD=2,OC=\,

••'A叫，轴,

•••△ABC是直角三角形,

•・•/XABC绕点B逆时针旋转90°得到△O8E,

AOBA.BE,AB=OB,

设A(-〃?，m)t

57

••lJI=-7712■—Ifl-1»

66

解得m=-1或/«=—,

5

：.A(-1,1),

:、BO=1,

・•・BC=BE=2,

・•・BE=OD,

•・・/8。。=90°,

：.BE//OD,

・•・四边形06。是矩形;

(3),:E(2,1),

・•・直线OE的解析式为产泰

设N(〃，0),则尸(〃，—/?)»

2

A5=AxDNXFN="X(2-〃)X1〃=--(n-1)

22243

•.'N在线段ODL,

第11页共40页

・•・当〃=1时，S有最大值，

此时N(1,0),F(I,—),

2

VZPNO=90°,

・•・NEOD+NPO£=90°,

VzlOPD+ZDOE=90a,

ZPOE+ZOPN=NOPD,

•・・o点与。点关于/对称，

：・ZOPN=/NPD,

：,/OPN=/POE,

:・PF=OF,

设户(1,t),

・・巾-」=返，

22

.・・-匹+』或--返+工

2222

・・・P点坐标为(1,返+2)或(1,-1+2).

2222

第12页共40页

4.在平面直角坐标系xQy中，已知抛物线y=-，+2辰+2F+1与x轴的左交点为人，右交点为8,与)，轴的

交点为C,对称轴为直线/,对于抛物线上的两点(XI,户)，(A-2,)2)(X\<k<X2),当川+X2=2时，

yi-¥2=0恒成立.

(I)求该抛物线的解析式：

(2)点M是第二象限内直线AC上方的抛物线上的一点，过点于点N,求线段MN的最

大值，并求出此时点M的坐标；

(3)点P是直线/右侧抛物线上的一点，PQJJ于点Q,AP交直线/于点F,是否存在这样的点P,使

△PQ/与△ACO相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

【解答】解：⑴V(XI,户)，Gz”)在抛物线y=-/+2履+2必+1上，

'•x\-\-xz~2k,x\x2--2启-1,yi=-xi2+2Zai+2Zr+l»yi—-xr+2kx2+2lr+1,

•'•yL)2=(-XI2+2^AI+2^2+1)-(-x22+2te+2Z?+1)=(xi-x\)(xi+xz-24),

*.*当Xi+X2=2时，>,I-"=0恒成立，

:.(X2-.ri)(2-2k)=0,

*.*A1<Z：<X2,

・・・2-2火=0,

:.k=1,

・•・该抛物线的解析式为y=-f+2x+3；

(2)由(1)知:)，=・W+2x+3,

令y=0,得-f+2¥+3=0,

解得：X|=-1,X2=3,

・・・4(-1,0),B(3,0),

令x=0,得y=3,

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AC(0,3),

在Rl^AOC中，AC=^/0A2<)C2=A/12+32=V10,

设直线AC的解析式为y=〃优+%则

ln=3

解得：，=3,

ln=3

・•・直线AC的解析式为y=3x+3,

如图1,过点M作MD〃)，轴交AC于点Q,

设M(/,-P+2/+3)(-l</<0),则。(z,3什3),

：.MD=-P+2/+3-(3r+3)=-「-/,

VM/V1AC,

AZM7VD=9O°=ZAOC,

*：MD//OC,

：・4MDN=NACO,

:.丛MDNS^ACO,

2

.MNMD即MN-T—t

**0A=AC，'TVio'

:・MN=-(r+—)2+g且

10240

V巫VO,

10

・・.当--工时，线段MN取得最大值逗，此时，M(-1,三)；

24024

(3)存在.

*/>'=-/+2t+3=-(x-1)2+4,

・••抛物线的对称轴为直线x=L

设产(/%,-〃/+2〃?+3)(〃?>1),则Q(L-"/+2"?+3)，过点尸作?”JLx轴于点〃，则”(胆,0),

・・・PQJ_/,山轴，

・・・PQ〃x轴，

:・/FPQ=4PAH,

'：4PQF=4AHP,

：.4PFQsAAPH,

当点尸在x轴上方时，如图2,尸”=-机，2m+3,4，=〃?+1,乂。4=1,OC=3,

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若△尸/Qs/\C40,则△APHs/XCAO,

o

.PH_AH即-m+2m+3-m+1

**OA-OC，13-，

解得：〃?=-1（舍去）或机=去

当用=@时，-/〃2+26+3=-（6）2+2x6+3=11,

3339

：.P（­,—）；

39

若△尸FQs^ACO,则△APHS/XACO,

o

._AH_出]in+1_-m+2m+3

，*OA-OC，-3"

解得：用=-1（舍去）或机=0（不符合题意，舍去）；

当点。在x轴下方时,如图3,PH=nr-2m-3,AH=m+],

若△尸bQs/\CAO,则△人/V/s/XCAO,

.PH=AH即।m2_2nr3_n+]

**0A前''1亍，

解得：m=-1（舍去）或机=」旦，

3

当机=卫时，-机2+2〃?+3=_（_10）_10.3=-工，

2+2X+

3339

.p/1013x

39

若△PFQS/XACO,则△APHS/XACO,

・AH_PH即m+]_K—'m_S

**OA-OC，'-3-'

解得：加=-1（舍去）或机=6,

当m-6时，-〃?'+2〃?+3--6%2X6+3--21,

：.P（6,21）；

综上所述，点P的坐标为（@，旦）或（也，-」与）或[6,21）.

3939

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5.二次函数y=a，+〃x+3的图象与入轴交于A(2,0),B(6,0)两点，与)，轴交于点C,顶点为E.

(I)求这个二次函数的表达式：

(2)如图①，力是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当8。的垂直平分线恰好经过点C时，求点。

的坐标；

(3)如图②，尸是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q,连接QC,QE,CE,当4

CEQ的面积为12时，求点P的坐标.

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图①图②

【解答】解：⑴将A(2,0),B(6,0)代入y=o?+历+3,得［4a+2b+3=0

l36a+6b+3=0

'°

解得,

b=-2

・•・二次函数的解析式为-2x+3；

4

(2)如图1,图2,连接C3,CD,由点C在线段3。的垂直平分线CN上，得CB=CD.

设D(4,m),

VC(0,3),由勾股定理可得：42+(m-3)2=62+32.

解得加=3土d萌.

・•・满足条件的点。的坐标为(4,3+^29)或(%3-V29)：

(3)如图3,设CQ交抛物线的对称轴于点M,

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图3

设点。(〃，2〃2-2〃+3),则点Q工%+3),

4282

设直线CQ的解析式为尸区+3,则焉〃2_〃+得=焉成+3,

822

解得仁LZ-2-3,于是C。：y=(―H-2-—)X+3,

4n4n

当x=4时,y=4(小〃・2・2)+3=5--,

4nn

・・・M(4,n-5--),ME=〃-4-丝

nn

S/\CQE=SACEM+S^QEM=—X—//,ME=—X—//,(〃-4-)=12,

・•・/-4〃・60=0,

解得u=10或n=-6,

当〃=1()时，P(10,8),当〃=-6时，P(-6,24).

综合以上可得，满足条件的点P的坐标为(10,8)或(-6,24).

6.如图，抛物线产小+率+c与x轴交于点A,B,与)，轴交于点C,已知4,C两点坐标分别是A(l,0),

C(0,-2),连接AC,BC.

(1)求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；

(2)将△ABC沿8c所在直线折叠，得到△D8C,点4的对应点。是否落在抛物线的对称轴上，若点。

在对称轴上，请求出点。的坐标；若点。不在对称轴上，请说明理由：

(3)点P是抛物线图象上的一动点，当NPC8=NA8。时，直接写出点尸的坐标.

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【解答】解：⑴•・,抛物线产o?+畀c经过4(1,()),C(0,-2)两点,

'3

.a-^-+c=0

c=-2

解得：｛，下，

c=-2

・••抛物线的表达式为产工^旦厂2,

22

设直线AC的表达式为)，=区+〃，

则产0,

lb=-2

解得：尸，

lb=-2

•*.直线AC的表达式为y=2x-2；

(2)点。不在抛物线的对称轴上，理由是：

•・•抛物线的表达式为广工2+旦工・2,

22

・••点B坐标为(-4,0).

•・・Q4=I,OC=2,

.0A=0C

**OCOB,

XVZAOC=ZCOB=90°,

・•・△AOCs^COB.

・•・ZACO=ZCBO.

AZACO+ZBCO=ZOBC+ZBCO=90^,

・・・AC_L4c.

・••将AA4c沿3c所在直线折登，点。一定落在直线4c上，

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延长AC至。，使OC=AC,过点。作。EJLy轴交》轴于点巴如图1.

又丁ZACO=ZDCE,

:.△AC09XDCE(AAS).

：,DE=AO=\,则点。横坐标为7,

•・•抛物线的对称轴为直线4=-3.

2

故点D不在抛物线的对称轴I.

(3)当点P在x轴下方时,如图2,

•:NPCB=NABC,

:・CP〃AB,

・••点P的纵坐标为-2,

令>'=-2,得-l/+ax-2=-2,

22

解得：x=0(舍去)或尸-3,

AP1(-3,-2)；

当点户在入轴上方时，如图2,设CP交x轴于点G,设G6,0),

则OG=BG=t+4,

由勾股定理得：CG2=OG2+OC2=P+4,

■:NPCB=/ABC,

：・BG=CG,即(z+4)2=尸+4,

解得：1=-g,

2

:.G(,0),

2

设直线CG的解析式为y=nix^n,

则就廿。，

ln=-2

4

解得:广万，

n=-2

:.直线CG的解析式为y=-a-2,

第20页共40页

综上所述，点P的坐标为（-3,-2）或（-毛，黑）.

39

7.如图，已知直线AB：尸质+〃与抛物线尸》乂之与一相交于点A（a,多、点8,点8在工轴上,

00o

且对于任意实数x,不等式Jtx2-1tx-t>/恒成立.

（1）求该抛物线及直线AB的解析式；

（2）点〃为该抛物线上的一点，过点M作MNJ_x轴于点M过点八作轴于点从当以点M、

N、8为顶点的三角形与△■///?相似，直接写出满足条件的全部点M的横坐标，并选取其中两种情况写

出解答过程；

（3）试问，在抛物线），=%>2~4次-/上是否存在点Q,使得△Q/W的面积等于△408的面积的2

00

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倍？如果存在，请直接写出点。的坐标，如果不存在，请说明理由.

【解答】解：(1)由题意可知,抛物线(X-1)2-冬

;不等式JtX24tx-t>4恒成立，

Oo0

・•・当x=i时，-£=-4,解得i=i,

33

・•・抛物线的解析为：y=工>2&-1.

33

当y=-±则工2工厂匚■刍，解得尸].即”=1,

3333

令y=0,则上乂2_?_工-1=0,解得工=-1或1=3；

33

；・B(3,0),

将8(3,0),A(1,--)代入)，=履+〃，

3

r3k+b=0[2

・•・<4,解得1kW.

|k+b=-ylb=-2

・•・直线A4的解析式为：y=^x-2.

(2)・.・A，_Lx轴，

:,H(1,0),

4

：.AH=—,BH=2.

3

设点M的横坐标为〃?,

则M(/zb—m2-1),N(〃?，0)，

33

2

:.MN=mV〃l11,iiN=\m-3|,

若△MNB与相似，则MMBN=2：3或MMBN=3：2,

k-3|=2：3或弓m2~4〃Ll|：|〃L3|=3：2,

OoOo

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解得in=1或m=-3或〃?=1或m=--.

22

综上，当以点M、N、8为顶点的三角形与相似时，点M的横坐标为1或-3或工或一旦.

22

如图，作点8关于点0的对称点E,

：,BE=2OB=6,

••.△ABE的面积等于AAOB的面积的2倍,

过点E作AB的平行线，与抛物线的交点即为点Q,

•：EQ//AB,

・•・直线EQ的解析式为：＞'=-|x+2,

令21+2=工乂2上工-I，解得K=2+JT^或x=2-

333

:.Q（2+V13,也+汉亘）或（2-VI§，也-汉亘）.

3333

作直线EQ关于直线A8的对称直线&Q',则直线E'Q'的解析式为：产率-6,

O

令2犬-6=工乂2上x-1，无解.

33x3

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综上，使得△QA4的面积等于△AOA的面积的2倍的点Q的坐标为(2+dT§,也■+2后)或(2-

33

10_2A/13)

T3•

三.四边形综合题(共2小题)

8.如图甲，在△ABC中.NACB=90°.AC=4.BC=3.如果点P由点B出发沿8A方向向点A匀速运

动.同时点。由点4出发沿AC方向向点C匀速运动.它们的速度均为每秒钟1个单位长度.连接PQ,

设运动时间为/秒钟(0</<4).

(1)设4AP。的面积为S,当实数f为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？

(2)在(1)的前提F.当S取得最大值时.把此时的△AP。沿射线AC以每秒钟1个单位长度的速度

平移，当点A平移至与点C重合时停止，写出平移过程中，△4PQ与△ABC的重叠部分面积)，与平移时

旬工的函数解析式，并写出对应的x的取值范围；

(3)如图乙，连接PC,将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP'C,当四边形PQP'。为菱形时，求

实数f的值.

【解答】解：（1）如答图I,过点P作于H,

VZC=90°,

：,ACLBC,

：.PH//BC,

・•・XAPHsXABC、

.PH=AP

**BCAB*

AC=4ctn,BC=3cm,

••AB=5cm,

•.•PH-5-t,

35

:.PH=3-2i,

5

•••△AQP的面积为:

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S=2XAQXP”=2XfX(3・3，)=--(/--)2+—,

2251028

.・・当，为$秒时，s最大值为三c〃，.

28

(2)①当OWxv3时，)，=工；

28

②当时，>>=-旦升3.

24

PyC

③如答图2,当2W%W4时，AP'C^AA/

P。'则皆‘即”乂5

3

2TX7

解得P'。=旦(4-x),

4

则>，=«1(4-x)义3(4-x)=旦(4-x)2,

248

-y-(0<X<1)

oN

-^x+3(y<x<2).

综上所述，y=

-|-(4-x)2(2<x<4)

(3)如答图3,连接夕P',PP'交QC于£,

当四边形PQP'C为菱形时，P七垂直平分QC,BPPE1AC,QE=EC,

・•・AAPEs△人AC,

.AE=AP

**ACAB>

.・.AE=^£=(5-t)X4=W,+4

AB55

4Q

QE=AE-AQ=-由+4-t=-也+4,

55

QE=—QC=—(4-r)=-L+2,

222

g1

:.--r+4=-—r+2,

52

V0<—<4,

13

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・••当四边形PQP'C为菱形时，，的值是空a

P'

答图3

9.在矩形ABC。中，48=12,户是边A8上一点，把△P3C沿直线PC折叠，顶点8的对应点是点G,过

点“作AK_LCG,垂足为E且在A。上，BE交PC于点F.

（1）如图I,若点E是AO的中点，求证：△AEBgADEC；

（2）如图2,当4。=25,且AEVOE时，求”的值；

PC

【解答】解：（1）在矩形A8CO中，ZA=ZD=90°,AB=DC,

•・•£是AD中点,

:・AE=DE,

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在aAEB和△DEC中，

'AB=DC

'ZA=ZD=90"，

AE=DE

:AAEBqADEC(SAS)；

(2)•:BE工CG,

:.NBEC=90°,

・・・NAEB+NCED=90°,

V^AEB+^ABE=90°,

：,ZCED=ZABE,

VZA=ZD=90°,

/.△ABEs^DEC,

・AB_DE

••AE-CD，

设AE=x,

：.DE=25-x,

.1225-x

••=-9

X12

Ax=9或x=16,

*：AE<DE,

・・・AE=9,DE=\6,

：,CE=20,BE=15,

由折置得，BC=CG=25,

在矩形ABC。，ZABC=90c,

*/△APC沿PC折叠得到△GPC,

・・・NPGC=NPBC=90°,NRPC=NGPC,

*：BELCG,

:,BE〃PG,

:.AECFSAGCP,

.EFgjF

"PG"CG=PC,

•CF二20_4

"PC"255'

第27页共40页

(3)如图，连接尸G,

:・/GPF=/PFB,

:・NBPF=/BFP,

:,BP=BF；

♦：BP=PG,

・・・图3。6/是菱形，

:.BP//GF,

/GFE=NABE,

:•△GEFS/SEAB,

・EFAB

••"二-，

GFBE

：・BE・EF=AB・GF，

•••BE・E/=108,4B=12,

・・・G尸=9,

:・BP=GF=9.

四.圆的综合题(共5小题)

10.如图，A8是圆。的直径，弦CD与AB交于点H,NBDC=NCBE.

(1)求证：BE是圆。的切线；

(2)CD1AB,AC=2,BH=3,求劣弧8c的长；

(3)如图，若3〃BE,作。尸〃8C,满足BC=2QF,连接尸”、BF,求证：FH=BF.

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F.

A

E

【解答】（I）证明：•・•AB是直径,

・・・NACB=90°，

•••NCAB+N48c=90°，

ZCAB=ZCDB,ZCDB=ZCBE,

:./CBE=NCAB,

；・NCBE+NABC=90°,

•・・A8是直径，

是。。的切线；

(2)解：*：CDLAB,

二/4HC=N4CA=90”,

*：ZCAH=ZCAB,

.CA=AH

**ABCAJ

:.CA2=AH*AB,

设AH=x,则4=x(x+3),

解得x=1或-4(-4舍去)，

：.AH=A,AB=4,

：.AC=2AH,

・・・N4CH=30°,

.,.ZCAW=60°,

，NBOC=2/A=120°,

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・•・菽的长=120•兀・2=3r；

1803

(3)证明：如图，取8C的中点G,连接。G,GH,过点G作GMJL8D于点M,过点H作〃KJ_OB于

点K过点F作FN±BD于点M作FT//BD交CD的延长线于点T.

:・DF=BG,

・•・四边形DFBG是平行四边形，

:,BF=DG,BF//DG,

工NGDM=/FBN,

■:/GMD=/FNB=90”,

：・4GMD@AFNC(AAS),

:.GM=FN,

1•AB是直径，AHA.CD,

:.DH=HC,DB=BC»

:・DB=DC,

:・/BDC=NBCD,

,:CG=GM,

:.HG〃DB,

•:HK1DB,GMLDB,

:,KH=GM=FN,

•:/HKJ=NFNJ=90。,ZKJH=ZNJF,

第30页共40页

:.丛HKJ@/\FNJ(AAS),

：.HJ=JF,

FT//JD,

：.DT=DH=CH,

CD=HT,

*：DF//CB,FT//BD,

：・4FDT=4BCD,NBDC=£T,

：・4T=/FDT