2025年春北师版数学八年级下册教学课件 第1章 3 线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线的性质定理及其判定定理

第1章三角形的证明3线段的垂直平分线第1课时线段的垂直平分线的性质定理及其判定定理北师版

八年级数学（下）导入新课

如图，A，B表示两个仓库，要在A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？分析：线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的一条对称轴．我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成，AB探究新知探究【线段垂直平分线的性质】已知：如图，直线MN⊥AB，垂足为C，且AC＝BC，P是MN上的任意一点．求证：PA＝PB.证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°.∵AC＝BC，PC＝PC，∴△PCA≌△PCB(SAS)，∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)．ABCMNP归纳总结

定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？

如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上.即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．想一想探究新知探究【线段垂直平分线的判定】已知：如图，线段AB，点P是平面内一点，且PA＝PB.求证：点P在AB的垂直平分线上．证法一：过点P作已知线段AB的垂线PC，垂足为C.∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)，∴AC＝BC，即点P在AB的垂直平分线上．CABP证法二：取AB的中点C，过点P，C作直线．CABP∵PA＝PB，PC＝PC，AC＝BC，∴△APC≌△BPC(SSS)，∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB，∴点P在AB的垂直平分线上．应用举例例1ABCO【分析】线段垂直平分线性质定理的逆定理的应用．证明：∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)．同理，点O在线段BC的垂直平分线上，∴直线AO是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线)．

如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.例2【分析】由AD＝

AB，AB＝AC和AD＋AC＝24cm，可求出AD＝BD＝8cm，AC＝16cm.由BD＋BC＝20cm得BC＝12cm，由DE垂直平分AB得EA＝EB，所以BE＋EC＝AC，由此即可求出△BEC的周长．ADEBC

如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于点E，若AD＋AC＝24cm，BD＋BC＝20cm，求△BEC的周长．∴AD＝BD＝

AB.∵AB＝AC，∵AD＋AC＝24cm，ADEBC解：∵DE垂直平分AB，∴AD＝

AC.∴AD＝BD＝8cm，AC＝16cm.∵BD＋BC＝20cm，∵DE垂直平分线段AB，∴BC＝12cm.∴EA＝EB，∴BE＋EC＋BC＝AC＋BC＝16＋12＝28(cm).即△BEC的周长为28cm.随堂练习1．如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(

)A．AB＝ADB．CA平分∠BCDC．AB＝BDD．△BEC≌△DECABECDC2．如图，AD是线段BC的垂直平分线，AB＝5，BD＝4，则AC＝____，CD＝____，AD＝____．ADBC5433．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，DE为AB的垂直平分线，则∠1＝______，∠C＝______，∠3＝______，∠2＝______；若△ABC的周长为16cm，BC＝4cm，则AC＝______cm，△BCE的周长为______cm.123ABCDE40°70°30°80°610