2024-2025学年广东省梅州市兴宁市高二上册10月联考数学学情检测试题（含解析）

2024-2025学年广东省梅州市兴宁市高二上学期10月联考数学学情检测试题一、单选题1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.2.与向量共线的单位向量可以为（）A. B. C. D.3.已知直线l过点和，则直线l在y轴上的截距为（）A－1 B.0 C.2 D.44.下列说法中正确的是（）A.空间中共线的向量必在同一条直线上B.不相等的两个空间向量的模必不相等C.数乘运算中，既决定大小又决定方向D.在四边形ABCD中，一定有5.点与点关于直线l对称，则l的方程是（）A. B. C. D.6.下列命题中正确是（）A.点关于平面对称的点的坐标是B.若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则C.若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为D.已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则7.经过两条直线的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为（）A. B.C. D.8.加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：）约为（）（参考数据：取重力加速度大小为）A.63 B.69 C.75 D.81二、多选题9.下面说法中错误的是（

）.A.经过定点的直线都可以用方程表示B.经过定点的直线都可以用方程表示C.经过定点直线都可以用方程表示D.经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示10.如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（）A.CC1⊥BDB.C.夹角是60°D.直线与直线的距离是11.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的有（）A.当点E运动时，总成立B.当E向运动时，二面角逐渐变小C.二面角的最小值为D.三棱锥的体积为定值三、填空题12.已知，，若点Px,y在线段上，则的取值范围是______.13.已知直线的方程为，求坐标原点到的距离的最大值________.14.已知直三棱柱，，，E为侧棱的中点，过E作平面与平面垂直，当平面与该直三棱柱所成截面为三角形时，顶点与该截面构成的三棱锥体积的最小值为_______.四、解答题15.已知，，．（1）写出直线一个方向向量；（2）设平面经过点，且是平面的法向量，是平面内的任意一点，试写出，，满足的关系式．16.已知直线：，：，：，其中直线，交点为.（1）求点a与b的值；（2）求过点且与直线平行的直线方程；（3）求过点且与直线垂直的直线方程.17.已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点．（1）求证平面；（2）求平面与平面的夹角余弦值；（3）求点到平面的距离．18.如图1，在边长为4的菱形中，，点，分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥．（1）在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论；（2）当四棱锥体积最大时，求直线和平面所成角的正弦值；（3）在（2）的条件下，在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．19.如图直线过点(3，4)，与轴、轴的正半轴分别交于、两点，的面积为24.点为线段上一动点，且交于点.（1）求直线斜率的大小；（2）若的面积与四边形的面积满足：时，请你确定点在上的位置，并求出线段的长；（3）在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.2024-2025学年广东省梅州市兴宁市高二上学期10月联考数学学情检测试题一、单选题1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系即可得倾斜角．【详解】设直线的倾斜角为，因为该直线的斜率为，所以，所以，故选：A2.与向量共线的单位向量可以为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】计算出，从而得到与向量共线的单位向量.【详解】因为，所以与向量共线的单位向量可以是或.故选：D3.已知直线l过点和，则直线l在y轴上的截距为（）A.－1 B.0 C.2 D.4【正确答案】C【分析】两点式求斜率，再由点斜式写出直线方程，进而求截距.【详解】直线l的斜率为，∴直线l的方程为，即，故直线l在y轴上的截距为2.故选：C4.下列说法中正确的是（）A.空间中共线的向量必在同一条直线上B.不相等的两个空间向量的模必不相等C.数乘运算中，既决定大小又决定方向D.在四边形ABCD中，一定有【正确答案】C【分析】对于A，由共线向量的定义分析判断，对于B，举例判断，对于C，根据数乘向量的意义分析判断，对于D，根据向量和加法法则判断.【详解】对于A，空间中共线的向量不一定在同一条直线，有可能两向量所在的直线平行，所以A错误，对于B，两个向量不相等，有可能方向不同，模相等，如的方向不同，但模相等，所以B错误，对于C，向量数乘运算中，既决定大小又决定方向，所以C正确，对于D，在平行四边形ABCD中，才有，所以D错误.故选：C5.点与点关于直线l对称，则l的方程是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】求出两个定点中点坐标及这两个定点确定的直线斜率作答.【详解】过点与点直线的斜率为，则直线l的斜率为，点与点的中点为，所以直线l的方程为，即.故选：B6.下列命题中正确的是（）A.点关于平面对称的点的坐标是B.若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则C.若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为D.已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则【正确答案】C【分析】由空间点关于平面的对称点的特点可判断A；由向量的数量积的性质可判断B；由线面角的定义可判断C；由共面向量定理可判断D.【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A选项错误；对于B，若直线l的方向向量为，平面的法向量为，，有，则或，B选项错误；对于C，若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为，C选项正确；对于D，已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则，解得，D选项错误.故选：C.7.经过两条直线的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】先求出两直线的交点坐标，再利用直线的方向向量求出斜率，利用点斜式求出直线方程.【详解】联立直线与，，解得：，所以直线：，：的交点为，又直线的一个方向向量，所以直线的斜率为，故该直线方程为：，即故选：D8.加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：）约为（）（参考数据：取重力加速度大小为）A.63 B.69 C.75 D.81【正确答案】B【分析】根据平行四边形法则得到该学生的体重,利用余弦定理即可求出得解.详解】如图，设该学生的体重为,则.由余弦定理得.所以.故选：B本题主要考查向量的平行四边形法则和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、多选题9.下面说法中错误的是（

）.A.经过定点的直线都可以用方程表示B.经过定点的直线都可以用方程表示C.经过定点的直线都可以用方程表示D.经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示【正确答案】ABC【分析】根据题意，结合直线方程的形式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，因为直线的点斜式方程，只能表示斜率存在的直线，所以经过定点的直线不一定可以用方程表示，所以A错误；对于B中，因为直线不能表示与轴垂直的直线，所以经过定点的直线不一定可以用方程表示，所以B错误；对于C中，因为方程只能表示斜率存在的直线，所以经过定点的直线不一定可以用方程表示，所以C错误；对于D中，因为方程，即为直线的一般式方程，可以表示坐标系能所有的直线，所以经过任意两个不同的点的直线，都可以用方程表示，所以D正确.故选：ABC.10.如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（）A.CC1⊥BDB.C.夹角是60°D.直线与直线距离是【正确答案】ABD【分析】设，依题得运用向量数量积的运算律计算即可判断A,B两项；利用向量夹角的公式计算排除C项；利用空间向量关于点到直线的距离公式计算即可验证D项.【详解】如图，设，则对于A，因，则，故A正确；对于B，因，，则，故B正确；对于C，，则，且设夹角为，则，因，则，即C错误；对于D,在平行六面体中，易得,则得,故,故点到直线的距离即直线与直线的距离.因，且，则，故D正确.故选：ABD.11.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的有（）A.当点E运动时，总成立B.当E向运动时，二面角逐渐变小C.二面角的最小值为D.三棱锥的体积为定值【正确答案】ACD【分析】A选项，作出辅助线，得到，，从而得到平面，因为平面，所以总成立；B选项，当E向运动时，平面与平面的夹角不变；C选项，建立空间直角坐标系，设，，得到二面角的法向量，求出二面角的余弦，从而得到余弦值的最大值，得到二面角的最小值；D选项，利用体积公式求出三棱锥的体积为定值.【详解】对于A，连接，，，因为四边形为正方形，故，又⊥平面，平面，所以，又，平面，所以平面.因为平面，所以，同理可证.因为，平面，所以平面，因为平面，所以总成立，故A正确.对于B，平面EFB即平面，平面EFA即平面，所以当E向运动时，二面角的大小不变，故B错误.对于C，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以，因为E，F在上，且，故可设，，，则，由题知平面ABC的一个法向量为，设平面ABE一个法向量为，则，解得，取，则，故，设二面角的平面角为，则为锐角，所以，又，所以当时，取得最大值，取得最小值，故C正确；对于D，因为，点A到平面EFB的距离即到平面的距离，为，所以，为定值，故D正确.故选：ACD三、填空题12.已知，，若点Px,y在线段上，则的取值范围是______.【正确答案】【分析】根据的形式，可转化为线段AB上点与连线的斜率，结合图形即可求解.【详解】的几何意义是点Px,y与点连线的斜率，又点Px,y在线段上，由图知，因为，，所以，因为点P是线段AB上的动点，所以，故13.已知直线的方程为，求坐标原点到的距离的最大值________.【正确答案】【分析】整理直线的方程得令，解方程组即可求得定点的坐标，原点到直线的距离，，计算可得结果.【详解】直线的方程为，即令，解得：所以直线恒过定点，所以原点到直线的距离，即到直线的距离的最大值为.故答案为.本题主要考查了直线过定点问题，考查定点到动直线距离最值问题，考查转化能力和计算能力，属于中档题.14.已知直三棱柱，，，E为侧棱的中点，过E作平面与平面垂直，当平面与该直三棱柱所成截面为三角形时，顶点与该截面构成的三棱锥体积的最小值为_______.【正确答案】【分析】利用空间向量法来计算动点坐标关系，从而去解决平面问题.【详解】分别以所在直线为轴，轴，轴则，设平面的法向量，则，得，设平面，与平面交于点，则，点，由，得，即，当平面经过直线并绕着直线旋转时，平面与平面的交线绕着点旋转，当交线与线段，都相交时，与正方体所成截面三角形，令平面与平面的交线交于点，交于点，设，，则，，由三点共线，得，，所以，因此，所以故答案为.四、解答题15.已知，，．（1）写出直线的一个方向向量；（2）设平面经过点，且是平面的法向量，是平面内的任意一点，试写出，，满足的关系式．【正确答案】（1）（2）．【分析】（1）求出即可作为直线的一个方向向量；（2）由，可得为平面的一个法向量，所以，由此能求出，，满足的关系式．【小问1详解】，，，即为直线的一个方向向量．（答案不唯一）【小问2详解】由题意得，平面，，，则，，．化简得．16.已知直线：，：，：，其中直线，的交点为.（1）求点a与b的值；（2）求过点且与直线平行的直线方程；（3）求过点且与直线垂直的直线方程.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根据直线，的交点为，列出方程组，即可求得的值.（2）根据过点且与直线平行，求得所求直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解.（3）根据过点且与直线垂直，求得所求直线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解.【小问1详解】解：因为直线，的交点为，可得，解得.【小问2详解】解：将直线的方程可化为，可得，因为过点且与直线平行，可得所求直线的斜率为，又由点，可得直线的方程为，即.【小问3详解】解：将直线的方程可化为，所以，因为点且与直线垂直，可得所求直线的斜率为，又由点，可得直线的方程为，即.17.已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点．（1）求证平面；（2）求平面与平面的夹角余弦值；（3）求点到平面的距离．【正确答案】（1）证明见解析（2）（3）【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证；（2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解；（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解.【小问1详解】取中点，连接，，由是的中点，故，且，由是的中点，故，且，则有、，故四边形是平行四边形，故，又平面，平面，故平面；【小问2详解】以为原点建立如图所示空间直角坐标系，有A0,0,0、、、、C1,1,0、，则有、、，设平面与平面的法向量分别为、，则有，，分别取，则有、、，，即、，则，故平面与平面的夹角余弦值为；【小问3详解】由，平面的法向量为，则有，即点到平面的距离为.18.如图1，在边长为4的菱形中，，点，分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥．（1）在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论；（2）当四棱锥体积最大时，求直线和平面所成角的正弦值；（3）在（2）的条件下，在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．【正确答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，点在线段上靠近点的三等分点处.【分析】（1）根据菱形和点，分别是边，的中点得到，，然后利用线面垂直的判定定理得到平面，再结合得到平面，最后利用面面垂直的判定定理即可得到平面平面；（2）根据几何的知识得到当平面平面时，四棱锥的体积最大，然后根据线面角的定义得到为直线和平面所成角，最后求正弦值即可；（3）设，利用空间向量的方法得到平面与平面所成角的余弦值，然后列方程，解方程得到即可.【小问1详解】∵四边形为菱形，∴，∵点，分别是边，的中点，∴，，，即，∵，平面，平面，∴平面，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面.【小问2详解】由题意知，当平面平面时，四棱锥的体积最大，∵平面平面，，平面平面，平面.∴平面，为直线和平面所成角，∵菱形的边长为4，，∴，，∴，.【