2024-2025学年重庆市高二上册10月月考数学学情检测试题（含解析）

2024-2025学年重庆市高二上学期10月月考数学学情检测试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知a=1,2,−y,b=x,1,2，且A． B．x=12,y=−4C．x=2,y=14 2、已知经过两点的直线的方向向量为，则（

）A． B． C．2 D．3、如图，四棱锥中，底面为矩形且平面，连接与，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（

）A．PD与AB B．PB与DAC．PC与BD D．PA与CD4、已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为圆的直径，为圆上的点，则的最大值为（

）A．4 B． C．5 D．5、已知ΔABC的顶点，，其垂心为，则其顶点的坐标为A． B． C． D．6、如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（

）A．直线与所成的角可能是B．平面平面C．三棱锥的体积不是定值D．平面截正方体所得的截面可能是直角三角形7、在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各项中不可能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（

）A． B． C． D．8、如图，正方体的棱长为6，点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（

）A． B． C． D．二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．）9、如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（

）A． B．C．的长为 D．10、下面四个结论正确的是（

）A．空间向量a,ba≠B．若空间四个点，PC=14PAC．已知向量a=1,1,x,b=D．任意向量a,b11、如图，正方体的棱长为2，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（

）A．直线BC与平面所成的角等于 B．点到平面的距离为C．异面直线和所成的角为. D．线段长度的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12、已知直线经过点，直线经过点，若，则的值为.13/已知直线的斜率k∈−3,1，则直线的倾斜角的取值范围是.14、在正三棱锥P-ABC中，OO∈PD若O−ABCP−ABC=14四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、(本题满分13分)如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，.(1)试用向量，，表示向量；(2)若，，，求的值.16、(本题满分15分)如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为菱形，，．(1)证明：平面PAB⊥平面ABCD；(2)求二面角P－AD－B的余弦值．17、(本题满分15分)四边形ABCD是平行四边形，，四边形ABEF是梯形，，且，，，平面平面．(1)求证：；(2)求直线EC与平面EFD所成角的正弦值．z18、(本题满分17分)如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，异面直线与所成的角为.zyx

yx(1)在平面内是否存在一点M，使得直线平面，如果存在，请确定点M的位置，如果不存在，请说明理由；(2)若二面角的大小为，求P到直线的距离.19、(本题满分17分)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．（1）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；（2）设（1）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足．记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，平面EFB和平面ACB的夹角为．求证：sinθ=sinαsinβ．高二上期第一次教学检测解析一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知a=1,2,−y,b=x,1,2，且A． B．x=12,y=−4C．x=2,y=14 【正确答案】B【详解】解：，且∥，则，因为∥，，即2x=λ(1−x)2=λ解得.故选：B.2、已知经过两点的直线的方向向量为，则（

）A． B． C．2 D．【正确答案】C【详解】依题意可知，解得，故选：C．3、如图，四棱锥中，底面为矩形且平面，连接与，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（

）A．PD与AB B．PB与DAC．PC与BD D．PA与CD【正确答案】C【详解】对于A,因为平面，平面,所以,因为底面为矩形，所以,,平面,所以平面，平面,所以,即，所以，故A不正确；对于B,因为平面，平面,所以,因为底面为矩形，所以,,平面,所以平面，平面,所以,即，所以，故B不正确；对于C，因为底面为矩形，所以与不垂直，所以与不一定垂直，所以与不一定垂直，所以与的数量积不一定为0，故C正确．对于D,因为平面，平面,所以,因为底面为矩形，所以,,平面,所以平面，平面,所以,即，所以，故D不正确.故选：C.4、已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为圆的直径，为圆上的点，则的最大值为（

）A．4 B． C．5 D．【正确答案】A【详解】如图所示由题意可知，，因为为的中点，所以,所以，当时，取最小值，此时取最大值，所以的最大值为4.故选:A.5、已知ΔABC的顶点，，其垂心为，则其顶点的坐标为A． B． C． D．【正确答案】A【详解】为ΔABC的垂心

，又，直线斜率存在且，设，则，解得：

本题正确选项：6、如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（

）A．直线与所成的角可能是B．平面平面C．三棱锥的体积不是定值D．平面截正方体所得的截面可能是直角三角形【正确答案】B【详解】对于A，以D为原点，DA为轴，DC为轴，DD1为轴，建立空间直角坐标系，D1(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),设,,,，直线D1P与AC所成的角为，故A错误;对于B，正方体ABCD-ABCD中，，平面，平面，∴平面平面,故B正确;对于C，,P到平面的距离BC=1，∴三棱锥的体积:为定值，故C错误;对于D，为线段上的动点（不含端点），连接并延长，若的延长线交于，如图，此时截面为四边形，若的延长线交于，设交点为，此时截面为，设，则，，故，故不为直角三角形，故D错误.7、在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各项中不可能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（

）A． B． C． D．【正确答案】A【详解】解：设第四个顶点为．对于A选项，当点的坐标为时，，，，．∵，，∴四边形不是平行四边形．A不正确；对于B选项，当点坐标为时，因为，即且，故是平行四边形，B正确；对于C选项，当点坐标为时，因为，即且，故是平行四边形，C正确；对于D选项，当点坐标为时，因为，即且，故是平行四边形，D正确；故选：A．8、如图，正方体的棱长为6，点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法可得动点的轨迹为线段即可得结果.【详解】分别以，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设，，则，，由得，即，由于，所以，，所以点的轨迹为面上的直线：，，即图中的线段，由图知：，故选：B.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．）9、如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（

）A． B．C．的长为 D．【正确答案】BD【分析】AB选项，利用空间向量基本定理进行推导即可；C选项，在B选项的基础上，平方后计算出，从而求出；D选项，利用向量夹角的余弦公式进行计算.【详解】根据题意，依次分析选项：对于A选项，，A错误，对于B选项，，B正确：对于C选项，，则，则，C错误：对于，则，D正确.故选：BD.10、下面四个结论正确的是（

）A．空间向量a,ba≠B．若空间四个点，PC=14PAC．已知向量a=1,1,x,b=D．任意向量a,b【正确答案】AB【分析】由空间向量的数量积及其运算性质可判断ACD，由空间向量的基本定理与共线定理可判断B【详解】对于A：因为，，则，故A正确；对于B：因为，则，即，又与有公共点，所以三点共线，故B正确；对于C：，若为钝角：则，且与不共线，由得，当时，，即，由与不共线得，于是得当且时，为钝角，故C错误；对于D：是的共线向量，而是的共线向量，故D错误，故选：AB11、如图，正方体的棱长为2，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（

）A．直线BC与平面所成的角等于 B．点到平面的距离为C．异面直线和所成的角为. D．线段长度的最小值为【正确答案】ABD【分析】根据直线和平面所成的夹角，点到平面的距离，异面直线所成的角以及异面直线距离的计算方法进行逐项判断.【详解】解：由题意得：正方体的棱长为2对于选项A：连接，设交于O点平面即为直线BC与平面所成的角，且，故A正确；对于选项B：连接，设交于O点平面点到平面的距离为,故B正确；对于选项C：连接、，由正方体性质可知∥故异面直线和所成的角即为和所成的角又为等边三角形故C错误；对于选项D：过作，过作，连接PQ为异面直线之间的距离，这时距离最小；设，为等腰直角三角形，则，也为等腰直角三角形，则为直角三角形故当时，取最小值，故，故D正确；故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12、已知直线经过点，直线经过点，若，则的值为.【正确答案】0或5【分析】分类讨论直线斜率不存在与存在两种情况，结合直线垂直的性质即可得解.【详解】因为直线经过点，且，所以的斜率存在，而经过点，则其斜率可能不存在，当的斜率不存在时，，即，此时的斜率为0，则，满足题意；当的斜率存在时，，即，此时直线的斜率均存在，由得，即，解得；综上，a的值为0或5.故0或5.13/已知直线的斜率k∈−3,1，则直线的倾斜角的取值范围是答案：0，π14、在正三棱锥P-ABC中，OO∈PD若O−ABCP−ABC=14答案：8四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、(本题满分13分)如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，.(1)试用向量，，表示向量；(2)若，，，求的值.【正确答案】(1)；(2)【分析】（1）根据向量的线性运算求出即可；（2）根据向量的运算性质代入计算即可.【详解】（1），，故∵点E为AD的中点，故.（2）由题意得，故，故.16、(本题满分15分)如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为菱形，，．(1)证明：平面PAB⊥平面ABCD；(2)求二面角P－AD－B的余弦值．【正确答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）作图，取AB的中点E，连接PE，DE，分析图中的几何关系，即可证明；（2）根据第1问的结果，过点E作，垂足为F，则∠PFE即为二面角P—AD—B的平面角.【详解】（1）取AB的中点E，连接PE，DE，则，由已知可得，∴，平面ABCD，平面ABCD，∵∴PE⊥平面ABCD，∵PE平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD；（2）过点E作，垂足为F，连接PF，则AD⊥平面PEF，∴，∴∠PFE即为二面角P—AD—B的平面角，在中，EF是AD边上的高，运用等面积法得：，，∴，∴二面角P－AD－B的余弦值为；综上，二面角P－AD－B的余弦值为.17、(本题满分15分)四边形ABCD是平行四边形，，四边形ABEF是梯形，，且，，，平面平面．(1)求证：；(2)求直线EC与平面EFD所成角的正弦值．【正确答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用余弦定理求出，即可得到，由面面垂直的性质得到平面，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；【详解】（1）证明：因为，，，由余弦定理，所以，则，所以，即，又平面平面，平面平面，平面所以平面，又平面，所以；（2）解：如图建立空间直角坐标系，则、、、，所以，，，设平面的法向量为，所以，令，则，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为；z18、(本题满分17分)如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，异面直线与所成的角为.zyx

yx(1)在平面内是否存在一点M，使得直线平面，如果存在，请确定点M的位置，如果不存在，请说明理由；(2)若二面角的大小为，求P到直线的距离.【正确答案】(1)存在，在平面可以找到一点，使得直线平面(2)【分析】（1）作出辅助线，证明出四边形为平行四边形，即，故，从而找到点M的位置；（2）先求出是二面角的平面角，大小为，得到，设，则，建立空间直角坐标系，求出方向上的单位向量，求出P到直线的距离.【详解】（1）延长交直线于点，点为的中点，，，∴，，即，四边形为平行四边形，即.，∴，故，平面平面，平面，平面，平面，故在平面内可以找到一点，使得直线平面；（2）如图所示，，即，且异面直线与所成的角为，即，又平面，平面.以E为坐标原点，ED所在直线为轴，EB所在直线为轴，平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，设AP=a,则P(−1,0,a),D(1,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0)∴BC可求得平面PBC的法向量为n=(0,a,1),设PD与平面PBC所成角θ，则cosθ=∴sinθ=1010又∵a>1,∴a=2.∴P(−1,0,2)∴EP=(−1,0.2)∴点P到直线CE的距离为EP219、(本题满分17分)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．（1）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；（2）设（1）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足．记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，平面EFB和平面ACB的夹角为．求证：sinθ=sinαsinβ．解：（1）直线l∥平