2022年北京海淀高一数学下学期期末试卷及答案

2022年北京海淀高一数学下学期期末试卷及答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

1.已知正四棱锥的底面边长为2,高为3,则它的体积为()

A.2B.4C.6D.12

2.向量a=(2,0),6=(1,2),则修一力|=()

A.-AB.>/13C.4D.13

3.将函数/(x)=sin2x的图象向右平移°个单位长度后得到函数/(x)=sin(2x-g的图象,

则*的最小值是()

2不

A.-B.-rD.—

6336

,54、

4.cos一=()

12

."-夜B6+近C73+72DV2—^6

A

4444

5.已知直线机和平面a,尸，则下列四个命题中正确的是()

A.若a_L尸，mu0,则m_LoB.若m//a,mli13,则a//4

C.若a///7,mlla,则〃?///?D.若a//。，则"z"L〃

6.函数y=sirx的最小正周期与其图象的对称中心分别是()

兀]7T

A.2万,(攵44—,一)(左eZ)B.2乃,(24+—,0)(4wZ)

424

八.k.7C7t1n.k7V7C八

C,肛(一^+二，二')(左£Z)D.肛(-^—F—,0)(XrG

242

7.已知向量a,〃是两个单位向量，则“<a,6>为锐角”是“|a-””的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

已知函数在区间工上的最小值为则的取值范围是(

8./(x)=2sinor［-3］-2,0)

34

Q93

A.(-oo,--]J[6,+oo)B・(-8,一万][[-,-KO)

C.(-00,-2](J[6,+oo)D.(-OO,-2J(JL|,-KK)

9.底与腰（或腰与底）之比为黄金分害肚匕（亨）的等腰三角形称为黄金三角形,

其中顶

角为36。的黄金三角形被认为是最美的三角形.据此可得cos216。的值是（）

.4+A/5n1+由r3+亚n1-2亚

8484

10.在AABC中，acosA=bcosB,则AABC的形状是（）

A.等腰直角三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。

11.已知圆柱的底面半径为1,高为2,则其侧面积为一.

12.向量。=（2,—1）,6=（2/）,al（ta-b）,则实数/=.

13.在正方形A8CD中，E是AD的中点，贝I（8E+CE）•BC=.

14.函数/"（X）=esinx-cos（x-g,工€[-半,的值域是.

15.如图，在棱长为1的正方体A8C£>-A8|G〃中，£是棱A4,上的一

个动点，给出下列四个结论：

①三棱锥始-8EQ的体积为定值：

②存在点E,使得平面BE0；

③对每一个点E,在棱DC上总存在一点P，使得AP//平面BE]:

④M是线段BG上的一个动点，过点片的截面a垂直于O0,则截面a的面积的最小值为

迈

2

其中所有正确结论的序号是

三、解答题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16.（9分）如图，在四棱锥尸一ABCD中，BC//平面皿）,AD^BC,E,F,H,G

分别是棱Q4,PB,PC,的中点，

(I)求证：BCHADx

(n)判断直线所与直线G”的位置关系，并说明理由.

17.(10分)在AABC中，2bcosA+a=2c>c=8,sinA=——-.

14

(I)求NS；

(II)求AABC的面积.

18.(11分)如图，在直棱柱ABC。-ABC。中，底面A8C£>是菱形，AB=2,ZBAD=6O°,

AA,=a,E,F分别是棱BC,QR的中点.

(I)求证：BO_LAC；

(H)求证：EF//平面ABO；

(III)是否存在正数a,使得平面ABC，平面ADC?若存在，求a的值；若不存在，说明

理由.

19.(10分)若点(%,%)在函数f(x)的图象上，且满足为"(%)..(),则称/是/")的4

点.函数/(X)的所有&点构成的集合称为f{x)的自集.

(I)判断三是否是函数f(x)=tanx的4点，并说明理由;

(II)若函数f(x)=sin((wx+9)(<w>0)的J集为A,求。的最大值；

(III)若定义域为R的连续函数/(x)的《集。满足。UR,求证：{x"(x)=O}*0.

选做题：(本题满分0分。所得分数可计人总分，但整份试卷得分不超过100分)

20.正弦信号是频率成分最为单一的信号，复杂的信号，例如电信号，都可以分解为许多频

率不同、幅度不等的正弦型信号的叠加.正弦信号的波形可以用数学上的正弦型函数来描述:

V(f)=Asin(2万黄+e),其中V。)表示正弦信号的瞬时大小电压丫(单位：V)是关于时间f(单

位：s)的函数，而A>0表示正弦信号的幅度，/是正弦信号的频率，相应的7为正弦

信号的周期，*为正弦信号的初相.由于正弦信号是一种最简单的信号，所以在电路系统设

计中，科学家和工程师们经常以正弦信号作为信号源(输入信号)去研究整个电路的工作机

理.如图是一种典型的加法器电路图，图中的三角形图标是一个运算放大器，电路中有四个

电阻，电阻值分别为k，4,R3,《(单位：。)匕。)和匕⑺是两个输入信号，匕⑺表示

的是输出信号，根据加法器的工作原理，匕⑺与K⑺和匕⑺)的关系为：

匕⑺=

/?37?!+7?2

例如当《=&=/?3=6=1。，输入信号K(r)=sinr,匕(r)=cosr时，输出信号：

…、八1、l-sin^+lcosZ.

匕(力=(1+1)----j-j-----=sinr+cosr.

(I)若用=&=q=氏4=1。，输入信号乂⑺=sinr,匕⑺=cosr,则％⑺的最大值

为—；

(JI)已知&=9,&=2Q,凡=3Q,输入信号V；(f)=sin(f+与，匕⑺=cos(t+马.若

63

匕⑺=Asin(f+g)(其中A>0)贝UR=；

(III)已知&=1Q,&=1。,0<&<«,,1O,且MQ)=sin/,匕(f)=cos2f.若％(f)的

最大值为g,则满足条件的一组电阻值飞，%分别是—.

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

1.解：如图，正四棱锥P—ABCE)中，AB=2,PO=3,

所以展B8=；・Ss・PO=gx2x2x3=4.

故选：B.

考查数形结合思想等，是中档题.

2.解：因为向量。=(2,0),6=(1,2),

所以。—2b—(0,—4),

所以I。-2b|二4.

故选：C.

3.解：将将函数/(x)=sin2x的图象向右平移°个单位长度后,

_jr

得到函数y=sin2(x~(p)=sin(2x-2(p)=sin(2x——),

JTTT

所以-2(p=-----F2k冗，keZ,B|J(p=一2力4+—,kwZ,

36

当％=O时，9取得最小值为三.

故选：A.

裕忍5乃7%(冗工兀、172>/372V6-V2

4.解：cos——=cos(4--)=-cos(—+—)=-(—x------------x——)=------------.

12123422224

故选：A.

5.解：对于A选项，若a_L〃，mu/3,则加可能与a平行，故A错误；

对于4选项，若加//a,mlIp,则a,〃可能平行或者相交，则C错误；

对于C选项，若a///7,mlla,则加可能与尸平行或者在平面/?内，故8错误；

对于。选项，由面面平行以及线面垂直的性质可知，。正确；

故选：。.

6.解：因为y=sin2x=^~cos2x

所以函数的最小正周期为7=四=》，

2

令2x=k冗+三,AwZ,解得x=—4--,A:GZ,

224

所以函数的对称中心为(当+7,；),keZ,

故选：C.

7.解：向量4,b是两个单位向量，

.•.由va,b>为锐角可得cos<a,b»0,

/.\a-h|=yj(a-h)2=\]2-2cos<a,h><&,

反过来，由|〃一b|v友两边平方可得片-2a,b+〃<2,

/.2-2cos<a,b><2，/.cos<a,b»0,

jr_、

<a,h>G[0,—),：.<a,不一定为锐角，

2

故“<a,6>为锐角”是“|a-切〈夜”的充分不必要条件，

故选：A.

【点评】本题考查充分与必要条件的概念，平面向量数量积的定义与性质，属基础题.

8.【分析】先根据x的范围求出ox的范围，根据函数/(x)在区间玛甲上的最小值为-2,

可得到-石©，-工，即0…然后对。分大于0和小于0两种情况讨论最值可确定答案.

322

【解答】解：当0>0时，-&濡hr-co,

34

由题意知一工外，,即④.2,

322

当GVO时，—Ct^ox--G）,

43

由题意知?@，一工,即q,一2,

42

综上知，包的取值范围是（TO,-2JU《，+°o）-

故选：D.

9.解：由题意可知：把顶角为36。的等腰三角形称为黄金三角形，它的底和腰之比为黄金

分割比应二1=0.618,该三角形被认为是最美的三角形.

2

1BC

如图，则可得：cosB=^—=里二，

AB4

可得cos720=—~-，cos72°=2cos2360-1

4

即2cos236°-1=—一-，

4

grpi22石+6y/5+12

所以cos36°=---；—=(-----)，

424

所以8536。=叵1，

4

所以cos216°=cos(l80°+36°)=-cos360=

故选：B.

10.解：利用正弦定理：QCOSA=Z?8S8转换为sinA8sA=sin8cos6,

整理得sin2A=sin2B，

故2A=28或2A+23=i；

所以A=3或A+8=匹:

2

故三角形为等腰三角形或直角三角形.

故选：D.

二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。

11.解：圆柱的底面半径为1,高为2,

则其侧面积为S=2IX1X2=4TT.

故答案为：4万.

=

12.解：tci—b(2/-2,—2f)9a_L{tu—b),

a(ta-b)=2(2t-2)+2t=0f解得/=*.

3

故答案为：

3

..,.,..，2.2

13.解：^(BE+CE)・BC=(BE+CE)・(BE+EC)=(BE+CE)(BE-CE)=BE--CE-,

因为|8E|二|CE|,所以(8E+CE)-8C=O；

故答案为：0.

14解：

f(x)=V3sinx-cos(x--)=5/3sinx--cosx——-sinx=—sinx--cosx=sin(x--)；

322226

由于]£[一£百，

22

所以％—MW卜二，马，

633

故/(x)£•

故答案为：1-1,#].

15.解：对于①，如图，在棱长为1的正方体A88-A4G〃中，AAJiBB、,仁平面

BBR,BB[u平面BBR,：.AA,//平面BBR,

点£是棱A4,上的一个动点，，点E到平面的距离为〃=事，

IJ2

Sn=—x旦Z)xBB.=——,

DRORj必2।ii2

，三棱锥4-8£。1的体积丫=3*5阴4x/i=l,故①正确；

对于②，当E为棱胴的中点时，取的中点为F,连接EF,如图,

则所//AC,又AC_L80,AC±BB,,BD\BB、=B,

平面再,又8Qu平面

:.EFl.BDDBOR4，EF1BtD,

由正方体性质得8。。出|是矩形，不是正方体，

BR±B.D不成立，又EF\BD、=F,

.•・不存在点E,使得与。，平面BER,故②错误；

对于③，当E与点A重合时，无论点P在何位置，直线”与平面8ER相交，故③错误;

对于④，根据题意，作图如下，

设〃G=x,则AG=Jl+月，CG=J(l-x)2+l,

„।.,”\+x2+x2—2,x+2—3x~-x

则A中，cosZA,GC=­,~；=->一/=

241+x2-v%2-2.x+2+x?-yx2—2x+2

x2-x12d-2x+2

sinZJ\GC=)2

Jl+x一-J“—2x+2+x2,Jx2—2x+2

则该截面面积S=2x；AG.CG-sinNAGC=j2x2—2x+2=VLj(x—；)2+[,

XG[0,1],当x时，S*=当，故④正确.

【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,

考查运算求解能力，是中档题.

三、解答题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16.证明：（/）因为BC//平面24。，8Cu平面ABCD,平面ABC£）C平面E4£）=4）,

所以3CV/AD.

证明：（〃）直线防与直线G”相交.理由如下:

连接砂，FH,HG,GE,如图所示,

因为E,G分别是Q4,PD的中点，所以EG是ARW的中位线，所以EG//AQ,且

EG=-AD,

2

因为F,〃分别是PB,PC的中点，所以EH是AP3c的中位线,

所以切//BC,且

2

因为8C〃A£>,所以EG//FH,

因为A£)w8C,所以EGwFH,

所以四边形瓦HG是梯形，

所以直线EF与直线GH相交.

p

A二B

P

A:B

17.解：(I)由正弦定理可得,2sinBcosA+sinA=2sinC,

A+5+C=/r，

2sin3cosA+sinA=2sin(A+L?)=2sinAcosB+2cosAsinB,

cosB=—,

2

BG(0,71)»

••B=r

T

(II)sinA=—<-,B=-一»

1423

/.0<A<—,

6

・・.8SA=g

14

…R_4耳

sinC=sin(A+8)=sinAcosB-+cosAsinD——~~,

c_14V3

..Z/\----------------,

sinC3

.•“=2Rsin4库-3,

314

S=gacsinB=lx3x8x^

MBC-=6A/3.

18.(/)证明：如图，连接AC,因为底面是菱形，

所以8O_LAC,直棱柱A3C3—A4G〃中，/切_1平面44。1。，

所以且4A「）AC=A,所以3£）_L平面AAC,

（〃）证明：取AZ）的中点M,连接FM、BM,则月W为三角形AOQ的中位线，

所以FM"AD、且FM=-\Dx.又因为AAUBS且AR=；B£,

又BE//BG且BE=；B£,所以FM"BE且FM=BE,

所以四边形FMBE为平行四边形，

所以EF//MB,砂仁平面AB。，Affiu平面4瓦），所以EF//平面4台。；

解：（〃/）不存在正数a,使得平面ABC，平面ADC,证明如下:

因为BC_L平面AB,所以BC_LA3,

在直角△ABC中，A,B=y/a2+4,CB=2,所以＞\C=,

假设存在正数a,使得平面ABCJ.平面AOC,如图，

过3作BO_LAC且与AC交于O点，连接DO,平面A^CC平面AC,

所以8OJ_平面4QC,所以在直角中，Bo'B.BC=Na…,同

AC々+8

2&+4

理DO=/一,

yja2+8

因为底面ABCD是菱形，AB=2,Zfi4£>=60°,所以DB=2,

在直角三角形ABOD中，BO2+DO2—DB2，得(―7==i)2+(~—f===~)2=4,

\la2+8\Ja2+8

化简得。=0与已知。为正数矛盾，所以不存在正数使得平面ABC,平面

理由如下：设用=萼，则为utan,=6,/(%)=tanG,

因为5<6<万，所以/.(%)=tan百<0,所以为•/(%)<0，

所以与不是函数/Q)=tanx的彳点；

Orr

(〃)先证明⑷,乃，若。>1,则函数/(x)的最小正周期T=——<2,

co

因为函数/(x)=sin(s+9)3>0)的集为A,

所以对Vx°eR,%是f(x)的零点,

令%=/(%)，则%♦/(%)..0，

因为函数/(x)=sin(ox+e)(0>0)的值域为[一1,1],

所以当先e[0,1]时，必有/(%)..0,

即/(x)=sin((yx+夕)..0对于xe[0,1]恒成立，

所以工..1一0,即/(x)的最小正周期T..2,与7<2矛盾;

再证明(y的值可以等于乃，令/(x)=sin;rx,对

当先=/(』)w[0,1]时，/(%)e[0,1],%•/(%)..();

当%=/®)w[-1,0]时，/(%)€1,0],%•/(%)..(),

所以修是/'(x)的点，即函数/'(X)=sin(<yx+cp){a>>0)的集为R,

综上所述，。的最大值是万；

(III)因为函数f(x)的集。满足。1尺，

所以存在与eR,使得%=/(%)且％•/'(%)<(),即,

因为若%=%,则f(%)•/(%)=(/(%)了..0，所以％W%,

因为函数/(x)的图象是连续不断的，

不妨设%<%,由零点存在定理知，必存在用€(%，％)使得f(X1)=0，

所以/(X)存在零点，

即{x"(X)=O}H0.

选做题：(本题满分0分。所得分数可计人总分，但整份试卷得分不超过100分)

20.解：(I)由题意得，匕⑺=(1+；),