《概率论与数理统计及其MATLAB实现（微课版）》 习题及答案 第3章

PAGEPAGE18习题3.11.设二维随机变量的联合分布函数为，试用表示下面事件的概率.(1)(2)(3)(4).【解】(1)；(2)；(3);(4).2.已知二维随机变量的联合分布函数为(1)求的值；(2)求概率，，.【解】(1)(2)；；.3.一个盒中放有同样的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任意取2次，每次取1球.令在放回和不放回两种情况下，求的联合概率分布律.【解】（1）放回情况，，.（2）不放回情况，，.4.设二维随机变量的联合概率分布律如下表所示.表3-6的联合概率分布律YX12010.5000.5（1）求的联合分布函数；（2）求.【解】略.5.设二维随机变量的联合分布函数为.求(1)；(2),其中区域有围成（见下图）；(3).【解】(1)于是，；(2).第5题区域D(3第5题区域D.6.设二维随机变量的联合分布函数为.求(1)；(2).【解】(1)；(2).习题3.21.设二维离散随机变量的联合概率分布律如下表所示.表3-11的联合概率分布律YX123-110.050.250.1000.200.40求的边缘概率分布律.【解】先求的边缘概率分布律,.再求的边缘概率分布律,,.2.设二维离散随机变量的联合概率分布律如下表所示.表3-12的联合概率分布律YX-11/21-10301/121/31/6005/1200求的边缘概率分布律.【解】先求的边缘概率分布律,,.再求的边缘概率分布律,,.3.设二维随机变量的联合分布函数为求的边缘分布函数.【解】4.设二维随机变量的联合概率密度函数为求的边缘概率密度函数.【解】5.设二维随机变量的联合概率密度函数为求的边缘概率密度函数.【解】6.设为二维正态随机变量，即，求的边缘概率密度函数.【解】略.习题3.31.设二维离散随机变量的联合概率分布律如下表所示.表3-16的联合概率分布律YX012-10301/61/61/61/601/61/60(1)求在的条件下，的概率分布律；(2)求在的条件下，的概率分布律；【解】首先求出的边缘概率分布律,,.,,.(1)，，.(2)，,.2.设二维随机变量的联合概率密度函数为求条件概率密度函数.【解】于是，当时，当时，3.设二维随机变量的联合概率密度函数为求条件概率密度函数.【解】于是，当时，当时，习题3.41.设二维随机变量的联合概率分布律如表3-19所示.表3-19的联合概率分布律XY2580.40.80.150.300.350.050.120.03判断随机变量X与Y的独立性.【解】的边缘概率分布律为,,.的边缘概率分布律为,.由于，故随机变量X与Y不相互独立.2.设二维随机变量的联合概率分布律如表3-20所示.表3-20的联合概率分布律XY123121/61/91/181/3ab已知随机变量X与Y相互独立，求a,b的值.【解】略.3.设二维随机变量的联合概率密度函数为判断随机变量是否相互独立.【解】验证可知，故不相互独立.4.设二维随机变量的联合概率密度函数为判断随机变量是否相互独立.【解】验证可知，故不相互独立.5.设和是两个相互独立的随机变量，在上服从均匀分布，的概率密度为（1）求和的联合概率密度函数；（2）设含有的二次方程为，试求方程有实根的概率.【解】(1)由可知，的概率密度函数为再由和是相互独立的随机变量可得，和的联合概率密度函数为(2)方程有实根等价于事件，于是方程有实根的概率为.习题3.51.设二维随机变量的联合概率分布律如表3-27所示.表3-27的联合概率分布律YX0121201/31/31/601/6(1)求概率分布律；(2)求概率分布律.【解】p(i,j)01/31/31/601/6(X,Y)(1,0)(1,1)(1,2)(2,0)(2,1)(2,2)Z1=X+Y123234Z2=max{X,Y}112222于是，概率分布律为Z11234pz1(xi)01/21/31/6概率分布律为Z212pz2(xi)1/32/32.设随机变量相互独立，且均服从参数的指数分布，求随机变量的概率密度函数.【解】由于随机变量且相互独立，故于是，随机变量的概率密度函数为.3.设二维随机变量的联合概率密度函数为求随机变量的概率密度函数.【解】随机变量的概率密度函数为.由的联合概率密度函数可知，使的区域为（见下图）.于是第3题.第3题4.设随机变量均服从指数分布且相互独立，记随机变量.求的联合概率密度函数.【解】由于均服从指数分布，于是的概率密度函数分别为考虑到相互独立，故的联合概率密度函数为函数存在唯一的反函数，且反函数的一阶偏导数存在且连续.同时，由于，得到.此时雅可比行列式为.于是的联合概率密度函数为.习题3.6设随机变量(X,Y)的联合概率分布见下表表3-29的联合概率分布律（X,Y）-201234500.020.010.050.010.020.040.0110.010.10.050.0200.010.0230.030.010.040.010.020.030.0150.040.080.050.020.070.07060.020.030.050.020.010.010.01利用MATLAB软件计算(1)X和Y的边缘分布律；(2)P{2<X+sin(Y)<3.6}.【解】clc;clear;closeall;Xvalue=[01356];Yvalue=[-2012345];Pvalue=[0.020.010.050.010.020.040.01;0.010.100.050.020.000.010.02;0.030.010.040.010.020.030.01;0.040.080.050.020.070.070.00;0.020.030.050.020.010.010.01;]PX=[Xvalue;sum(Pvalue,2)']%X的边缘概率PY=[Yvalue;sum(Pvalue)]%Y的边缘概率P=0;fori=1:5forj=1:7ifXvalue(i)+sin(Yvalue(j))<3.6ifXvalue(i)+sin(Yvalue(j))>2P=P+Pvalue(i,j);[Xvalue(i)Yvalue(j)]endendendendP运行结果：(1)X01356pi0.160.210.150.330.15Y-2012345pj0.120.230.240.080.120.160.05(2)P{2<X+sin(Y)<3.6}=0.10设具有联合概率密度函数为：利用MATLAB软件计算(1)；(2)边缘概率密度和；(3)的概率密度.【解】(1)输入程序symsxyzfxy=2-x-y;P=int(int(fxy,y,0,x/2),x,0,1)运行结果：P=7/24.(2)输入程序symsxyzfxy=2-x-y;fxz=2-z;fx=int(fxy,y,0,1)fy=int(fxy,x,0,1)运行结果：,.(3)输入程序symsxyzfxz=2-z;fz1=int(fxz,x,0,z)fz2=int(fxz,x,z-1,1)运行结果：第3章考研真题1.设平面区域由曲线及直线所围成，二维随机变量在区域上服从均匀分布，求关于的边缘概率密度在处的值为多少？（1998研考）【解】区域的面积为，于是的联合概率密度函数为.的边缘概率密度函数为，所以有.2.设随机变量相互独立，下表列出了二维随机变量联合分布律及关于的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处.（1998研考）表3-30的联合概率分布律YXy1y2y3P{X=xi}=pix1x21/81/8P{Y=yj}=pj1/61【解】略.3.设某班车起点站上客人数服从参数为的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为，且中途下车与否相互独立，以表示在中途下车的人数，求：（1）在发车时有个乘客的条件下，中途有人下车的概率；（2）二维随机变量的概率分布.（2001研考）【解】(1)显然，这是求条件下，的概率，即求.由于车上的每位乘客是否下车是相互独立的，故的条件分布是一个二项分布，于是有(2)4.设随机变量和相互独立，其中的概率分布为，而的概率密度为，求随机变量的概率密度函数.(2002研考)【解】设的分布函数为，的分布函数为，则由全概率公式可知于是，随机变量的概率密度函数为.5.设随机变量和相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则（）(2012研考)【解】由于随机变量和分别服从参数为1与参数为4的指数分布，故有，.考虑到随机变量和相互独立，因此，于是.6.设随机变量和相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，求.(2006研考)【解】已知随机变量和相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，故有以及.于是，.7.设随机变量的概率密度函数为令随机变量(1)求的分布函数；(2)求概率.(2013研考)【解】，故而.(1)由随机变量可知，的取值范围为，于是当时，；当时，；当时，.(2).8.设二维随机变量服从正态分布，则(2015研考)【解】由可知，与的相关系数，于是有与相互独立，且，.所以.9.设二维随机变量在区域上服从均匀分布，令(1)写出的概率密度；(2)问与是否相互独立？并说明理由；(3)求的分布函数.(2016研考)【解】(1)区域的面积为，故而的联合概率密度函数为.(2),..，，.显然，，即与不相互独立.(3)先求出.当时，；当时，；当时，.即.再求出.于是，当，即时，；当，即时，；当，即时，.即.由以上可计算出.10.设二维随机变量的联合概率密度函数为，求常数及条件概率密度函数.(2010研考)【解】注意到，则有于是，.又.故有.11.设随机变量和相互独立，且的概率分布为，的概率密度函数为(1)求；(2)求的概率密度函数.(2017研考)【解】(1)..(2)先求.为此，由求出的分布函数为.于是，当时，；当时，；当时，.再求出.于是，当，即时，；当，即时，；当，即时，.由以上可计算出所以.12.设随机变量和相互独立，且均服从正态分布，则()(A)与无关，而与有关；(B)与有关，而与无关；(C)与,都有关；(D)与,都无关.(2019研考)【解】已知随机变量和相互独立，且均服从正态分布，故有，于是.所以，与无关，而与有关.13.设随机变量和相互独立，服从参数为1的指数分布，的概率分布为,.令.(1)求出的概率密度；(2)为何值时，和不相关；(3)与是否相互独立？(2019研考)【解】注意解题过程中要使用全概率公式.(1).于是，(2)当时，，则和不相关.已知服从参