计量经济学教案

计量经济学教案

应用经济学教研室

2006年5月

目录

第1章绪论....................................................................1

1.1计量经济学...............................................................1

1.2计量经济学方法论........................................................2

第2章一元线性回归模型.......................................................7

2.1回归分析概述............................................................7

2.2一元线性回归模型.......................................................12

第3章多元线性回归模型.......................................................30

3.1多元线性回归模型.......................................................30

3.2多元线性回归模型的统计检验.............................................39

3.3多元线性回归模型的置信区间............................................43

第4章异方差性................................................................49

4.1异方差的概念...........................................................49

4.2异方差的后果...........................................................51

4.3异方差的检验...........................................................52

4.4异方差的修正...........................................................54

4.5案例一居民储蓄模型估计.................................................56

第5章序列相关性.............................................................59

5.1序列相关性.............................................................59

5.2序列相关性的后果.......................................................61

5.3序列相关性的检验.......................................................62

5.4序列相关性的修正.......................................................64

5.5案例一地区商品出口模型估计............................................67

第6章多重共线性..............................................................70

6.1多重共线性.............................................................70

6.2多重共线性的后果.......................................................71

6.3多重共线性的检验.......................................................73

6.4多重共线性的方法.......................................................74

6.5案例一服装市场需求函数.................................................75

第7章随机解释变量和虚拟变量.................................................78

7.1随机解释变量问题.......................................................78

7.2虚拟变量模型...........................................................83

第8章单方程计量经济学应用模型...............................................89

8.1生产函数模型...........................................................89

8.2需求函数模型...........................................................96

第9章滞后变量模型..........................................................102

9.1滞后变量模型的基本概念................................................102

9.2分布滞后模型的参数估计...............................................103

9.3滞后变量模型的构造....................................................107

9.4自回归模型的估计......................................................109

9.5案例一我国长期货币流通量需求模型.....................................111

第10章联立方程计量经济学模型理论与方法....................................113

10.1联立方程模型的基本概念..............................................113

10.2联立方程模型的结构式和简化式........................................115

10.3计量经济学方法中的联立方程问题......................................118

第11章联立方程计量经济学模型的识别........................................121

11.1模型的识别的概念.....................................................121

11.2模型的识别的阶条件和秩条件..........................................125

第12章联立方程模型的估计..................................................130

12.1联立方程模型的单方程估计方法.........................................130

12.2联立方程模型的系统估计方法..........................................138

第一章绪论

【教学目的与要求】通过本章学习，要求了解计量经济学的基本概念、计量

经济学的内容体系以及本课程涉及的内容、计量经济学的主要应用、建立与应用

计量经济学模型的工作步骤、学习计量经济学的重要性。要求掌握计量经济学的

经济学科性质以及在经济学科中的地位，在建立与应用计量经济学模型的每一步

骤中应注意的关键问题。

【教学重点与难点】本章重点是对计量经济学的经济学科性质的理解和在建

立与应用计量经济学模型的每一步骤中应注意的关键问题。难点是如何将本章的

知识用于指导全课程的学习。

【教学方法】课堂讲授、实证分析与学生自学相结合。

§1.1计量经济学

一、计量经济学

计量经济学，是对经济学的作用存在有某种期待的结果，它把数理统计学应用于经济数

据，以使数理经济学构造出来的模型得到经验上的支持，并获得数值结果。

计量经济学可定义为实际经济现象的数量分析。这种分析基于理论与观测的并行发展，

而理论与观测又通过适当的方法而得以联系。

计量经济学研究经济定律的经验判断。

本质上，计量经济学的研究方法是，利用统计推断的理论和技术作为桥头堡，以达到经

济理论和实际测算相衔接的目的。

对经济的数量研究有几个方面,其中任何一个就其本身来说都不应该与经济计量学混为

一谈。因此，经济计量学与经济统计学绝不是一样的。它也不等于我们所说的一般经济理论,

即使这种理论中有很大部分具有确定的数量特征。也不应把计量经济学的意义与经济学中应

用经济学看成是一样的。经验表明，统计学、经济理论和数学的三个方面的观点之一是实际

理解现代经济生活中数量关系的必要条件，但任何一种观点都不是充分条件。这三者的统一

才是强有力的工具；正是由于这三者的统一才构成了经济计量学。(R.Frish,

Economitrica,1933)

Comparison：MathematicalEconomics--themathematicaldevelopmentoftheeconomictheory

EconomicStatistics----concernedwithdescriptivestatistics:developingandrefining

Economicdata(nationalincomeaccounts,indexnumbers)

Econometrics——utilizesthedatatoestimatequantitativeeconomicrelationshipsand

Totesthypothesesaboutthem..

(MichaelD.Intriligator,ProfessorofEconomics,UniversityofCalifornia,LosAngeles)

二、计量经济学模型

模型(models),是对现实的描述和模拟。对现实的各种不同的描述和模拟方法，就构

成了各种不同的模型：

语义模型(也称逻辑模型)、物理模型、几何模型、数学模型和计算机模型等。

经济理论语义模型

例1:对供给不足下的生产活动，我们可以用“产出量是由资本、劳动、技术等投入要

素决定的，在一般情况下，随着各种投入要素的增加，产出量也随之增加，但要素的边际产

出是递减的”来描述。

数理经济模型——（经济）数学模型

计量经济模型——（经济）数学模型

比较：

数理经济模型：揭示经济活动中各个因素之间的理论关系，用确定性的数学方程加以描

述。如可将例1中的语义模型写成数理经济模型：

Q=或Q=Ae”K”

计量经济模型：揭示经济活动中各个因素之间的定量关系，用随机性的数学方程加以描

述：如可将例1中的语义模型写成计量经济模型：Q=

三、计量经济学的内容体系

1.广义计量经济学和狭义计量经济学

计量经济学作为经济学的一个分支学科，有其广泛的内容。一般将它分为广义计量经济

学和狭义计量经济学。

广义计量经济学，是利用经济理论、数学以及统计学定量研究经济现象的经济计算方法

的统称，包括回归分析方法、投入产出分析方法、时间序列分析方法等。

狭义计量经济学，也就是我们通常所说的计量经济学，以揭示经济现象中的因果关系为

目的，在数学上主要应用回归分析方法。

2、理论计量经济学和应用计量经济学

理论计量经济学：以介绍、研究计量经济学的理论与方法为主要内容，侧重于理论与方

法的数学证明与推导，与数理统计联系极为密切。

应用计量经济学：以建立与应用计量经济学模型为主要内容，强调应用模型的经济学和

经济统计学基础，侧重于建立与应用模型过程中实际问题的处理。

3、计量经济学建模理论与方法的发展

传统方法（“结构模型方法”（50、60年代））：以先验给定的经济理论为建立模型的出

发点，以模型的参数估计为重心，以参数估计值与其理论预期值相••致为判断标准。

试验方法（70年代以后）：从只有少数方程和变量入手，进行试验，包括在各种变量的

组合中增删变量、或增删方程、或改变函数形式等，以求取得最佳模型。

§1.2计量经济学方法论

一、传统或经典方法论（建立模型）

（-）理论模型的设计

1、理论或假说的陈述；

2、理论的数学模型的设定；

3、理论的计量经济模型的设定；

（二）获取数据

（三）模型的参数估计

（四）模型的检验

1、经济意义的检验

2、统计检验

2

3、计量经济学检验

4、预测检验

（五）模型应用

I、经济分析/构分析

2、经济预测

3、政策评价

4、检验与发展经济理论

例2：凯恩斯消费理论

（-）理论模型的设计

1、理论或假说的陈述

“基本的心理定律是……，通常或平均而言，人们倾向于随着他们收入的增加而增加

其消费，但比不上收入增加得那么多。"（JohnMaynardKeynes,TheGeneralTheoryof

Employment,InterestandMoney）

即：边际消费倾向（MPC：marginalpropensitytoconsume）大于0而小于1。

•确定模型所包含的变量：消费（Y）、（X）

2、理论的数学模型的设定

数理经济学的设定：

y=/（x）（1.2.D

或：Y=仇+臣（1.2.2）

这里四与A分别表示一条直线的截距和斜率，其中A就是对MPC的度量。

・拟定理论模型中待估参数的理论期望值

伐>0;0>%>1

3、理论的计量经济学模型的设定

Y=+N（1.2,3）

其中：p---误差项或干扰项（stochasticdisturbanceterm）,是•个随机变量。

该计量经济消费模型假设了消费对收入有线性关系，但两者的关系还是不准确的，它从

一个家庭变到另一个家庭（山误差项表示）。

3

b.凯恩斯消费函数的计量经济模型

图1.1凯恩斯消费函数及其计量经济模型

（二）样本数据的收集

为了估计（123）所示的计量经济模型，即为了得到4和4,需要有关于收入与消费

支出的统计数据。表1.1给出了一组美国经济的数据。

表1.1Y（个人消费支出）和X（国内生产总值）数据（10亿万年美元）

年YX年YX

19802447.13776.319862969.14404.5

19812476.93843.119873052.24539.9

19822503.73760.319883162.44718.6

19832619.43906.619893223.34838

19842746.14148.519903260.44877.5

19852865.84279.819913240.84821

（三）模型的参数估计

参数估计将对模型赋予经验内容，是一个纯技术的过程。包括对模型进行识别（对联

立方程模型而言）、估计方法的选择、软件的应用等内容。在一定的假设下面，通过普通最

小二乘法，利用表1.1中的数据所估计的消费函数是

K=-231.8+0.7194%（1.2.4）

从方程（1.2.4）可知,在1980~1991年期间,边际消费倾向约为0.72,表明在此期间，

实际收入每增加一美元，平均而言，实际消费支出增加约72美分。之所以说平均而言，是

因为消费和收入之间没有准确的关系。

（四）模型的检验

4

1、经济意义的检验

主要检验模型参数估计量在经济意义上的合理性。主要方法是将模型参数的估计量与

预先拟定的理论期望值进行比较，包括参数估计量的符号、大小、相互之间的关系，以判断

其合理性。

这里，0<0.72vl,经济意义合理。

2、统计检验

统计检验是由统计理论决定的，目的在于检验模型的统计学性质。通常最广泛应用的统

计检验准则有拟合优度检验、变量和方程的显著性检验等。

这里需要检验：0.72是否在统计意义上（statistical）小于1?

3、计量经济学检验

计量经济学检验是由计量经济学理论决定的，目的在于检验模型的计量经济学性质。

即运用所选定的估计方法（如上面所说的普通最小二乘法）时的前提假设是否存在。通常最

主要的检验准则有随机误差项的序列相关检验和异方差性检验，解释变量的多重共线性检验

等。

4、预测检验

预测检验主要检验模型参数估计量的稳定性以及相对样本容量变化时的灵敏度，确定

所建立的模型是否可以用于样本观测值以外的范围，即模型的所谓超样本特性。

（五）模型应用

1、经济分析/结构分析嗔

2、经济预测当一个变量或几个变量发生变化时会对其他变量以至

3、政策评价一经济系统产生什么样的影响

纯预测：假定1994年GDP为60万亿美元，问1994年的消费将是多少？

f=-231.8+0.7196x60=40.85

经济分析/政策评价：1993年克林顿总统上任后宣布其经济计划，其中包括对年收入超

过14万美元的人增税，假若政策改变的结果导致投资的下降，问这一收入政策对消费支出

以至最后对就业的影响将如何？

根据宏观经济理论：投资支出每改变1元，收入的改变由收入乘数（M）给出：

因此，由模型中已得到的MPC=0.7196,可得到M=3.57。即投资减少1元，将最终导

致收入减少3.6美元。

于是，假定这一政策导致1994年投资支出下降1%,则可预算出收入下降1.014%,相

应的消费支出下降1.019%。

表1.21994年加税政策的影响

预测值加税后预测值政策影响绝对量政策影响相对量

（10亿美元）（10亿美元）（10亿美元）（%）

收入6000059392-608-1.014

消费支出4296842530-438-1.019

投资支出1703216861-170-1

又问：政府认为4万亿美元的消费支出水平可维持当前约60.5%的失业率水平，问什么

收入水平将保证消费支出的这一目标？

4000=—231.8+0.7194X

5

X=5882

4、检验与发展经济理论

一方面，按照某种经济理论去建立模型，通过实际经济数据去拟合，根据拟合的好坏来

检验经济理论：另一方面，根据实际数据来拟合各种模型，并通过分析总结拟合最好的模型

所表现出来的变量间的关系，来探寻经济变化规律，即发现和发展经济理论。

二、计量经济学模型成功的三要素

从上述建立计量经济学模型的步骤中，不难看出，任何项计量经济学研究、任何个

计量经济学模型赖以成功的要素应该有三个：理论、方法、数据

EconomicTheory——econometricmodel

StatisticTheory---econometrictechniques

Facts—relevantdata

理论、方法、数据

图1.2,TheEconometricApproac

6

第二章一元线性回归模型的理论与方法

【教学目的与要求】

了解（最低要求）：一元线性单方程计量经济学模型的基本理论与方法；推

导和证明与普通最小二乘法有关的参数估计过程和结论；应用计算器进行线性单

方程模型的普通最小二乘估计；独立完成建立一元线性单方程计量经济学模型的

全过程工作。

掌握（较高要求）：关于线性单方程积极性模型的基本假设，最小二乘法的

基本原理；主要的统计检验方法及应用。

应用（对应用能力的要求）：学习该部分，要求建立一个实际的一元线性回

归模型，用计算器完成参数估计量的计算与检验，最后提交一篇报告。

【教学重点与难点】本章重点是关于线性单方程积极性模型的基本假设，最

小二乘法的基本原理；主要的统计检验方法及应用。难点是推导和证明与普通最

小二乘法有关的参数估计过程和结论。

【教学方法】课堂讲授、实证分析与学生自学相结合。

§2.1回归分析概述

一、变量间的关系及回归分析的基本概念

经济变量之间的关系，大体可分为两类：

确定性变量关系或函数关系：研究的是确定现象非随机变量间的关系。

统计依赖或相关关系：研究的是非确定现象随机变量间的关系。

例2.1：圆面积=F（兀,圆半径）=兀*圆半径*圆半径，函数关系;

农作物产量=F（气温、降雨量、阳光、施肥量），统计依赖（相关）关系。

正相关

,线性相关不相关相关系数:、

而因果关系河归分析

统计依赖（相关）关系〈L负相关-1WPW1

「正相关宏因果关系5目关分析

I非线性相3不相关

L负相关

▲注意：①不线性相关并不意味着不相关；

②有相关关系并不意味着一定有因果关系；

③回归分析/相关分析研究一个变量对另一个（些）变量的统计依赖关系，但它们

并不意味着一定有因果关系。

④回归分析对变量的处理方法存在不对称性，即区分应变量（被解释变量）和自

变量（解释变量）：前者是随机变量，后者不是；相关分析则对称地对待任何（两

个）变量，两个变量都被看作是随机的。

回归分析是研究一个变量关于另一个（些）变量的依赖关系的计算方法和理论。其用

意在于通过后者的已知或设定值，去估计和（或）预测前者的（总体）均值。前一个变量

7

被称为被解释变量(ExplainedVariable)或应变量(DependentVariable)后一个变量被称

为解释变量(ExplanatoryVariable)或自变量(IndependentVariable)«

回归分析构成计量经济学的方法论基础，其主要内容包括：

1、根据样本观察值对经济计量模型参数进行估计，求得回归方程；

2、对回归方程、参数估计值进行显著性检验；

3、利用回归方程进行分析、评价和预测。

二、总体回归函数(方程)：PRF

由于统计相关的随机性，回归方程关心的是根据解释变量的己知或给定值，考察被解释

变量的总体均值，即当解释变量取某个确定值时，与之统计相关的被解释变量所可能出现的

对应值的平均值。

例2.1：一个假想的社区人口总体有60户家庭组成，要研究该社区每月家庭消费支出

Y与每月可支配家庭X的关系，即知道了家庭的每月收入，预测每月消费支出的(总体)

平均水平。为达到此目的，将该60户家庭划分为组内收入差不多的1。组，以分析每一收

入组的家庭消费支出(表2.1)

表2.1某社区每月家庭收入与消费支出查统计表

每月家庭收入X(元)

800100012001400160018002000220024002600

550650790800102011001200135013701500

每月600700840930107011501360137014501520

家庭650740900950110012001400140015501750

消费7008009401030116013001440152016501780

支出7508509801080118013501450157017501800

Y(元)088001130125014000160018901850

0001150000162001910

共计325046204450707067807500685010430966012110

条件概率1/51/61/51/71/61/61/51/71/61/7

条件均值6507708901010113012501370149016101730

由于不确定因素的影响，对同一收入水平X,不同家庭的消费支出不完全相同，但由于

调查的完备性，给定收入水平X的消费支出Y的分布是确定的，即以X的给定值为条件的

Y的条件分布(Conditionaldistribution)是已知的，如P(Y=550IX=800)=1/5。

对Y的每一个条件概率分布，可得其条件均值(conditionalmean)或条件期望(值)

(conditionalexpectation)：E(YIX=X,.),圳E(YlX=800)=650

散点图表示，随着收入的增加，消费“平均地说”也在增加，且Y的条件均值均落在

一根正斜率的直线上。这条直线称为总体回归线。

在给定解释变量X,条件下被解释变量匕的期望轨迹称为总体回归线(population

regressionline).或更一般地称为总体回归曲线(populationregressioncurve)。相应的函数

(方程)：

£(yIX,.)=/(%,.)(2.1.1)

8

3500

称为（双变量）总体回归函数（方程）（PRF）（populationregressionfunction）。

•含义：回归函数（PRF）说明被解释变量％的平均状态（总体条件期望）随解释变量X

变化的规律。

・函数形式：可以是线性或非线性的。

例中：E（yiX,）=&+4Xj为一线性函数。其中，为与才为未知然而固定的参数，

称为回归系数（regressioncoefficients）

总体回归函数（方程）的随机设定

个体家庭的消费支出与给定收入水平间的关系：聚集在该收入水平平均消费支出周围。

对每一个个别家庭，记

4=Y「E（YIXJ

=Y「（为+£区）（2.1.2）

称从为观察值匕围绕它的期望值E（YIX。的离差（deviation）,是一个不可观测的随机变

量，又称为随机干扰项（stochasticdisturbance）或随机误差项（stochasticerror）»

由（2.1.2）式，个别家庭的消费支出为：

X=E（YIXJ+〃，

=£o+4X,+〃i（2.1.3）

即，给定收入水平X,，个别家庭的支出可以表示为两部分之和：（1）该收入水平下所有家

庭的平均消费支出E（YIX,）,称为系统性（systematic）或确定性（deterministic）部分（2）

9

其他随机或非确定性(nonsystematic)部分“。

(2.1.3)式称为总体回归函数(方程)PRF的随机设定形式。表明被解释变量Y除了

受解释变量X系统性影响外，还受其他未包括在模型中来而又集体地影响着Y的全部变量

的随机性影响，〃即为这些集体变量的替代物。由于方程中引入了随机项，成为计量经济

学模型，因此也称为总体回归模型。

三、随机干扰项的含义

随机干扰(误差)项〃是在模型设定中省略下来而由集体地影响着被解释变量Y的全

部变量的替代物。

随机误差项主要包括下列因素的影响：

(1)在解释变量中被忽略的因素的影响；

(2)变量观测值的观测误差的影响；

(3)模型关系的设定误差的影响；

(4)其他随机因素的影响。

产生并设计随机误差项的主要原因：

(1)理论的含糊性；

(2)数据的欠缺；

(3)节省原则.

四、样本回归函数(SRF)

由于总体的信息往往无法掌握，实现的情况只能是在一次观测中得到总体的一个样本。

问题：能从一次抽样中获得总体的近似的信息吗？如果可以，如何从抽样中获得总体的

近似信息？

例2.2在例2.1的总体中有如下一个样本，问：能否从该样本中预测整个总体中对应于

选定X的平均余，月消费支出，即能否从该样本估计总体回归函数PRF?

Y700650900950110011501200140015501500

X800100012001400160018002000220024002600

回答：能

访XSA-X-甘心JR1”.

3000

每2500

月

2000

消

费

1500

支

出1000

Y

元500

0

800110014001700200023002600290032003500

每月可能西队X：元)

样本散点图近似于一条直线，画一条直线以尽好地拟合该散点图，由于样本取自总体,

可以该线近似地代表总体回归线。该成为样本回归线(sampleregressionlines),其函数形

式为：

10

X=〃X,)=A+6区(2.1.4)

称为样本回归函数(sampleregressionfunction)SRF。

将(2.1.4)看成(2.1.1)的近似替代，则

g就为E(Y/XJ的估计量：

6.为月的估计量，i=i=(0,l)

样本回归函数的随机形式

匕=y.+认=Bo+B\Xj+et(2.1.5)

式中，,称为(样本)残差(或剩余)项(residual),代表了其他影响工的随机因素

的集合体，可看成为从的估计量。由于方程中引入了随机项，成为计量经济模型，因此也

称为样本回归模型。

▼回归分析的主要目的：根据样本回归函数SRF,估计总体回归函数PRF。即根据

匕=£+生=乐+2区+分

估计匕=E(yix,)+〃,=&+四x,.+〃，

即：设计一“方法”构造SRF,以使SRF尽可能“接近"PRF,或者说使£(i=0,1)尽

可能接近川(『=0,1)。(注：这里真实的PRF可能无法无从知道)

y,

样本与总体回归线

11

§2.2一元线性回归模型

一、线性回归模型的特征

形如

Y=R(2.2.1)

的计量经济学模型称为一元线性回归模型(双变量线性模型)。其中，Y为被解释变量，X

为解释变量，4与4是待估参数，〃为随机干扰项。

例：凯恩斯的绝对收入假设消费理论，认为消费是由收入唯•决定的，是收入的线性函

数。其模型为：

C^a+/3Y+/J(2.2.2)

线性回归模型的特征：

1.通过引入随机误差项，将变量之间的关系用一个线性随机方程来描述，并用随机

数学的方法来估计方程中的参数，这就是线性回归模型的特征，也就是线性计量经济学

模型的特征。

2.在线性回归模型中，被解释变量的特征由解释变量与随机误差项共同决定。

单方程线性回归模型的一般形式为：

YHX小外Xg+0XQ+从i=l,2,…n(2.2.3)

其中，Y被称为解释变量，X「X2，KX.被称为解释变量，〃为随机误差项，i为观测

值下标，n为样本容量，四,KA为待估参数。

二、线性回归模型的普遍性

线性回归模型是计量经济学模型的主要形式，许多实际经济活动中经济变量间的复

杂关系都可以通过一些简单的数学处理，使之化为数学上的线性关系。

将非线性关系化为线性关系的常用的数学处理方法：

1.直接置换法

例如，商品的需求曲线是一种双曲线形式，商品需求量q与商品价格p之间的关系

表现为非线性关系：

1,1

—=a+b—

qp

显然，可以用y=%和x=%的置换，将方程变成：

y=a+bx

再如，拉弗曲线描述的税收s和税率r的关系是一种抛物线形式：

s=a+br+cr2c<0

12

2

可以用花=r,x2=r进行置换，将方程变成：

s=a+bxt+cr2c<0

2、对数变化

例如，著名的Cobb-Dauglas生产函数将产出量Q与投入要素(K,L)之间的关系描述为

事函数的形式：

Q=AKW

方程两边取对数后，即成为--个线性形式：

LnQ=LnA+aLnK+/3LnL

再如，生产中成本C与产量q的关系呈现指数关系：

C=ahq

方程两边取对数后，即成为一个线性形式：

Ln(C)=Ln(a)+qLn(b)

3、级数展开

例如，著名的CES生产函数将产出量Q与投入要素(K,L)之间的关系描述为如下的

形式：

_।

Q=A(伪KV+&L7)。(4+心=1)

方程两边取对数后，得到：

pp

LnQ=LnA-—Ln©K-+S2U)

P

将式中r")在夕=。处展开台劳级数，取关于夕的线性项，即得道一个线性近

似式。

结论：实际经济生活中的许多问题，都可以最终化成线性问题，所以，线性回归模型有

普遍意义。即使对于无法采取任何变换方法使之变成线性的非线性模型，目前使用得较多的

参数估计方法——非线性最小二乘法，其原理仍然是以线性估计方法为基础。

三、线性回归模型的基本假设

山于回归分析的主要目的是要通过样本回归函数(模型)SRF尽可能准确估计总体回

归函数(模型)PRFo即通过

匕=Z+a=瓦+自X’+e,(2.1.5)

估计匕=E(yiXJ+M.=£°+4Xj+4(2.1.6)

1、技术线路：

山于/是匕的估计值，要求匕与匕的“总体”误差尽可能地小一最小二乘法；

山于£=瓦+6/，是E(Y。,)=尸0+£阳的近似，要求区尽可能接近回

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A尽可能接近几f对模型的解释变量X,与随机误差项《作出合理假定。

2、线性回归模型在上述意义上的基本假设：

(1)解释变量X1,X2,…X*是确定性变量，不是随机变量，而且解释变量之间

互不相关。

(2)随机误差项具有。均值和同方差。即

E(从)=0i=l,2,—n

Var(4)=<7]i=l,2,-n

其中E表示均值或期望，也可用M表示；Var表示方差，也可以用D表示。

(3)随机误差项在不同样本点之间是独立的，不存在序列相关。即

Cov(〃j,〃/)=0iWji,j=l,2,--n

其中Cov表示协方差。

(4)随机误差项与解释变量之间不相关。即

Cov(Xj,.,〃j)=0j=l,2,…ki=l,2,…n

(5)随机误差项服从0均值、同方差的正态分布。即

内~N(0,bj)i=l,2,…n

在实际建立模型的过程中，除了基本假设5外，对模型是否满足假设都要进行检验。这

就是“建立计量经济学模型步骤”中“计量经济学检验”的任务。对于基本假设5,根据中

心极限定理，当样本容量趋于无穷大时，对于任何实际模型，都是满足的。

由于解释变量X,是确定性变量，随机误差项4是随机性变量，因此被解释变量匕

是随机变量，且其分布(特征)与《相同。

四、一元线性回归模型的参数估计：普通最小二乘法

1、普通最小二乘法估计

已知一组样本观测值(X，Xj),(i=l,2,-n),要求样本回归函数尽可能好地拟合这组

值，即样本回归线上的点g与真实观测点匕的“总体误差”尽可能地小，或者说被解释变

量的估计值与观测值应该在总体上最为接近，最小二乘法给出的判断的标准是：二者之差的

平方和

0=£(匕—£.)2=£(匕—(瓦+6/))2(2.2.4)

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最小。即在给定样本观测值之下，选择出/o、自能使匕与X之差的平方和最小。

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为什么用平方和？因为二者之差可正可负，简单求和可能将很大的误差抵消掉，只有平方和

才能反映二者在总体卜.的接近程度。这就是最小二乘原则。

根据微积分学的运算，可推得用于估计6。、亥的下列方程组:

乞（廓+//—工）=0（2.2.5）

W（瓦+ax,T）x,=o

或（2.2.6）

解得

Bo=（2.2.7）

〃£丫/一z匕zx,

A〃ZX：_（ZXj）2

方程组(2.2.6)称为正则方程组(normalequations)«

2、参数估计的离差形式(deviationform)

记

MgXj,「=”匕

nn

Xi=x「M,x=y,-P

(2.2.7)的参数估计量可以写成：

Y

区

X.

•注：在计量经济学中，往往以小写字母表示对均值的离差。

至此，完成了模型的基本估计任务。

由于20、6的估计结果是从最小二乘原理得到的，故称为最小二乘估计量。

3、样本回归线的性质：

(1)样本回归线通过丫和X的样本均值。

证：因为有歹=廓+6》

(2)估计的Y的均值£等于实测的丫的均值

证:r;=30+3^;=（y-31x）+31x,.=r+3.（x/-%）

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由于Z（x,一招）=0,则

£=1/心£=1/心手=「

⑶残差4的均值为零。

证：由正则方程：—Z（匕一片―6d,）=0知=0,故

耳="/=0

n

•样本回归模型的离差形式（deviationform）：

%=以a+4(2.2.9)

因为「=瓦+竺+，,

0匕一厂=B(X,「M)+e,

y=&+4x

按照离差形式，样本回归方程（函数）SPF可写为：

z-=a巧(2.2.10)

（4）残差6和预测的匕不相关。

证：在离差形式下，

Z淞=/①巧（/一£心）=6工七%一62工工2

因：。=2>,必/2>3故

工皿=厌工4-厌=D

（5）残差，与X,不相关。

证：由正则方程：—Z（匕—瓦―«X,）X,=0知=0

五、最小二乘估计量的性质：高斯马尔可夫定理

当模型参数估计出后，需考虑参数估计值的精度，即是否能代表总体参数的真值，或

者说需考察参数估计量的统计性质。

一个用于考察总体的统计量，可从三个方面考察其优劣性：

1、线性性：即是否是另一随机变量的线性函数；

2、无偏性：即它的均值或期望值是否等于总体的真实值；

3、有效性：即它是否在所有线性无偏估计量中具有最小方差。

高斯一马尔可夫定理：在给定经典线形回归的假定下，最小二乘估计量是具有最小方差

的线性无偏估计量。

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关于最小二乘估计量的线性性与无偏性的证明：

1、线性性：估计量A）、6是匕的线形组合。

证：

A==\＞，（匕一夕）=2天匕

令占=9彳，因=2匹一无）=0，固有

A=ZZ；2Y＞=工"

8。=丫_机又=①丫「工kiYi又=z（/位比=Z噌

2.无偏性：估计量自）、A的均值（期望）等于总体回归参数真值力。与四。

B、=Z匕匕=Z匕（夕o++〃,'）=+Pi＞，匕x；+＞,匕从

由于、,=妾=。

cy_2七匕_2玉（'，—x+x）_2玉（七+X）_2玉y^xi_]

*因=M=-—=z.F工

所以：B\=四+工先出

山：E（A）=E（0]+工kM）=I+2占&〃,）=回

A=Z叱匕=%吗（及＞+〃J=£oZ卬,+4Z吗X,+z吗〃,

由于：工叱=z（i/〃一取）=i一区WX=i

Z吗Xj=Z（l/”欣）x,=%Z尤厂又EkjXj=又一又=0