专题04相互作用万有引力与宇航

专题04相互作用：万有引力与宇航思维导图学习目标掌握开普勒三大定律，学会开普勒第三定律在椭圆和圆轨道的分析和计算；掌握万有引力定律，掌握计算天体质量和密度的方法；掌握三种卫星，重点掌握同步卫星的特点，能够分析卫星变轨各个物理量之间的关系；掌握三个宇宙速度以及各自的涵义；了解多星模型，学会双星模型的分析方法。核心考点核心考点01开普勒三大定律一、开普勒第一定律1、内容所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。2、图例3、对其理解开普勒第一定律解决了行星运动的轨道问题，行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，如下图所示，不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同的。开普勒第一定律说明了太阳不是位于椭圆的中心，不同的行星不是位于同一椭圆轨道，而且不同行星的椭圆轨道一般不在同一平面内。二、开普勒第二定律1、内容对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。2、图例3、对其理解开普勒第二定律比较了某个行星在椭圆轨道上不同位置的速度大小问题。如下图所示，在相等的时间内，面积SA＝SB，这说明离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星在远日点a的速率最小，在近日点b的速率最大。近日点是行星距离太阳最近的点，远日点则为行星距离太阳最远的点。根据开普勒第二定律可知同一行星在近日点时速度最大，在远日点时速度最小。三、开普勒第三定律1、内容所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。2、公式，k是一个与行星无关的常量。3、对其理解开普勒第三定律比较了不同行星周期的长短问题，椭圆轨道的半长轴a如下图所示：由开普勒第三定律可知椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长，该定律既适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕地球的运动，对于地球卫星，常量k只与地球有关，而与卫星无关，也就是说k值的大小由中心天体决定。【注意】遇到题目中椭圆轨道求周期的情景时一般考虑开普勒第三定律。该定律也适用与圆轨道，此时半长轴a为半径r，即。高中阶段行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。因此高中阶段的开普勒三大定律可以这样理解：①多数行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心；②对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的速率不变，即行星做匀速圆周运动；③所有行星轨道半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。绕同一中心天体运动的两颗行星的轨道半径分别为R1、R2，公转周期分别为T1、T2，则有。要注意长轴是指椭圆中过焦点与椭圆相交的线段，半长轴即长轴的一半，注意它和远日点到太阳的距离不同。核心考点2万有引力定律一、万有引力定律1、内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。2、表达式F＝Geq\f(m1m2,r2)，其中G叫做引力常量，。牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但没有测出引力常量G。家卡文迪什通3、适用条件①适用于质点间的相互作用；②两个质量分布均匀的球体可视为质点或者一个均匀球体与球外一个质点，r是两球心间的距离或者球心到质点间的距离；③两个物体间的距离远远大于物体本身的大小，r为两物体质心间的距离。二、对万有引力定律的理解宏观性质量巨大的星球间或天体与附近的物体间，它的存在才有宏观的物理意义。在微观世界中，由于粒子的质量都非常小，万有引力可以忽略不计。普适性万有引力是普遍存在宇宙中任何两个有质量的物体间的相互吸引力，它是自然界中的基本相互作用之一。相互性两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零；在匀质球体内部距离球心r处的质点（m）受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体（M′）对其的万有引力，即F＝Geq\f(M′m,r2)。三、重力与万有引力的关系如下图所示，在地表上某处，物体所受的万有引力为F=，M为地球的质量，m为地表物体的质量。由于地球一直在自转，因此物体随地球一起绕地轴自转所需的向心力为F向=mRcos·ω2，方向垂直于地轴指向地轴，这个力由物体所受到的万有引力的一个分力提供，根据力的分解可得万有引力的另一个分力就是重力mg。根据以上的分析可得：①在赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R；②在两极上：Geq\f(Mm,R2)＝mg2；③在一般位置：万有引力Geq\f(Mm,R2)可分解为两个分力：重力mg与向心力F向。忽略地球自转影响，在地球表面附近，物体所受重力近似等于地球对它的吸引力，即mg＝Geq\f(Mm,R2)，化简可得GM＝gR2，该式称为黄金代换式，适用于自转可忽略的其他星球。四、万有引力定律的应用在地球表面附近的重力加速度g（不考虑地球自转）：mg＝Geq\f(mM,R2)，得g＝eq\f(GM,R2)。在地球表面上，mg＝eq\f(GMm,R2)，在h高度处mg′＝eq\f(GMm,R＋h2)，所以eq\f(g,g′)＝，随高度的增加，重力加速度减小，在计算时，这个因素不能忽略。五、万有引力定律的成就1、“称量”地球的质量和计算天体的质量①求解地球质量解决思路：若不考虑地球自转的影响，地球表面的物体的重力等于地球对物体的引力。解决方法：mg＝Geq\f(mm地,R2)。得到的结论：m地＝eq\f(gR2,G)，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量。知道某星球表面的重力加速度和星球半径，可计算出该星球的质量。②计算天体的质量解决思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力。解决方法：eq\f(Gmm太,r2)＝meq\f(4π2,T2)r。得到的结论：m太＝eq\f(4π2r3,GT2)，只要知道引力常量G，行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的质量。【注意】运用万有引力定律，不仅可以计算太阳的质量，还可以计算其他天体的质量。以地球质量，月球的已知量为例，介绍几种计算天体质量的方法。已知量求解方法质量的求解公式月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r根据万有引力等于向心力，得月球绕地球做匀速圆周运动的半径r和月球运行的线速度v地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，得月球运行的线速度v和运行周期T地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，得和两式消去r，解得：地球的半径R和地球表面的重力加速度g物体的重力近似等于地球对物体的引力，得2、天体密度的计算类型分析方法已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。由于Geq\f(Mm,R2)＝mg，则天体质量M＝eq\f(gR2,G)，结合ρ＝eq\f(M,V)和V＝eq\f(4,3)πR3，可得天体密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。已知卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r。由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，中心天体质量M＝eq\f(4π2r3,GT2)，结合ρ＝eq\f(M,V)和V＝eq\f(4,3)πR3，可得天体的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)；若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝eq\f(3π,GT2)（只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度）。核心考点3宇宙航行一、卫星1、卫星轨道卫星运动的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和倾斜轨道。2、运行规律卫星做匀速圆周运动。万有引力提供向心力：即由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mrω2＝meq\f(4π2,T2)r＝man可推导出：①线速度：；②角速度：；③周期：；④向心加速度：。3、三种卫星①近地卫星：在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9km/s。②地球同步卫星：地球同步卫星，是相对于地面静止的，这种卫星位于赤道上方某一高度的稳定轨道上，且绕地球运动的周期等于地球的自转周期【注意】地球同步卫星的轨道平面、周期、角速度、高度、速率、绕行方向、向心加速度都是一定的。轨道平面一定（只能位于赤道上空，轨道平面和赤道平面重合）；周期一定（与地球自转周期相同，大小为T=24h＝8.64×104s。）；角速度一定（与地球自转的角速度相同）；高度一定（根据得）=3.6×107m）；线速度一定（根据线速度的定义，可得=3.08km/s，小于第一宇宙速度）；向心加速度一定（根据eq\f(GMm,R＋h2)=man，可得an＝eq\f(GM,R＋h2)＝gh＝0.23m/s2）；绕行方向一定（与地球自转的方向一致）。③极地卫星：运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。二、卫星变轨分析轨道渐变问题：当卫星由于某种原因速度逐渐改变时，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运行。当卫星的速度逐渐增加时，Geq\f(Mm,r2)＜meq\f(v2,r)，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝eq\r(\f(GM,r))可知其运行速度比原轨道时减小。当卫星的速度逐渐减小时，Geq\f(Mm,r2)＞meq\f(v2,r)，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝eq\r(\f(GM,r))可知其运行速度比原轨道时增大。离心运动：当v增大时，所需向心力eq\f(mv2,r)增大，卫星将做离心运动，轨道半径变大，由v＝eq\r(\f(GM,r))知其运行速度要减小，此时重力势能、机械能均增加。同一卫星在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径(半长轴)越大，机械能越大。卫星向心运动：当v减小时，所需向心力eq\f(mv2,r)减小，因此卫星将做向心运动，轨道半径变小，由v＝eq\r(\f(GM,r))知其运行速度将增大，此时重力势能、机械能均减少。情景分析，如下图所示：先将卫星发送到近地轨道Ⅰ；使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1，变轨时在P点处点火加速，短时间内将速率由v1增加到v2，使卫星进入椭圆形的转移轨道Ⅱ；卫星运行到远地点Q时的速率为v3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v3增加到v4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动。注意：卫星在不同轨道相交的同一点处加速度相等，但是外轨道的速度大于内轨道的速度。中心天体相同，但是轨道不同（不同圆轨道或椭圆轨道），其周期均满足开普勒第三定律。变轨过程物体的分析如下：速度根据以上分析可得：v4>v3>v2>v1加速度在P点，卫星只受到万有引力作用，所以卫星当从轨道Ⅰ或者轨道Ⅱ上经过P点时，卫星的加速度是一样的；同理在Q点也一样。周期根据开普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k可得T1<T2<T3。机械能卫星在一个确定的轨道上（圆或者椭圆）运动时机械能是守恒的，若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1<E2<E3。说明：根据以上分析可得当增大卫星的轨道半径时必须加速。【注意】卫星变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨道上的运行速度变化由v＝eq\r(\f(GM,r))判断；卫星在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大；卫星经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。三、卫星追及问题1、问题的描述同一中心天体的两颗卫星之间的距离有最近和最远时都处在通过中心天体球心的同一条直线上。如果它们初始时的位置在该直线上，当内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是再次出现最近或最远的时刻。分析时根据两颗卫星做圆周运动的圈数或角度关系列出方程求解。2、两颗卫星相距最近时开始计时①最近到最近，则角度关系建立方程(ω1>ω2)有：ω1t－ω2t＝n·2π，(n＝1,2,3，…)，即如果经过时间t，两天体与中心连线的半径转过的角度之差等于2π的整数倍，则两天体又相距最近。根据圈数关系建立方程，相距最近：eq\f(t,T1)－eq\f(t,T2)＝n，(n＝1,2,3，…)。②最近到最远，则角度关系建立方程(ω1>ω2)有：ω1t－ω2t＝(2n－1)π，(n＝1,2,3，…)，即如果经过时间t，两天体与中心连线的半径转过的角度之差等于π的奇数倍，则两天体相距最远。根据圈数关系建立方程(T1<T2),相距最远：eq\f(t,T1)－eq\f(t,T2)＝n－eq\f(1,2)，(n＝1,2,3，…)。四、三大宇宙速度宇宙速度数值(km/s)意义第一宇宙速度(环绕速度)7.9是人造地球卫星的最小发射速度，也是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度。第二宇宙速度(脱离速度)11.2使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。第三宇宙速度(逃逸速度)16.7使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。发射速度为v，第一宇宙速度为v1，第二宇宙速度为v2，第三宇宙速度为v3，发射物体的运动情况跟宇宙速度息息相关，它们的关系如下表所示：v＜v1发射物体无法进入外太空，最终仍将落回地面；v1≤v＜v2发射物体进入外太空，环绕地球运动；v2≤v＜v3发射物体脱离地球引力束缚，环绕太阳运动；v≥v3发射物体脱离太阳系的引力束缚，逃离太阳系中。五、多星模型1、双星模型双星问题：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点（公共圆心）做周期相同的匀速圆周运动的行星组成的系统，我们称之为双星系统。如下图所示：双星模型条件：①两颗星彼此相距较近；②两颗行星之间的相互作用为万有引力，并且做匀速圆周运动；③两颗行星绕同一圆心做圆周运动。双星模型的特点：两颗恒星做匀速圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力提供的，故两恒星做匀速圆周运动的向心力大小相等，方向相反，则有eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ωeq\o\al(2,1)r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ωeq\o\al(2,2)r2。两颗恒星均绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，因此它们的运行周期（T1＝T2）和角速度（ω1＝ω2）是相等的。两颗星到环绕中心的距离r1、r2与两星体质量成反比，即eq\f(m1,m2)＝eq\f(r2,r1)（m1ωeq\o\al(2,1)r1＝m2ωeq\o\al(2,2)r2,ω1＝ω2），两星体的质量与两星体运动的线速度成反比，即eq\f(m1,m2)＝eq\f(v2,v1)。两星体的质量与两星体运动的线速度成反比，即eq\f(m1,m2)＝eq\f(v2,v1)。颗恒星做匀速圆周运动的半径r1和r2与两行星间距L的大小关系：r1＋r2＝L。双星的总质量公式m1＋m2＝eq\f(4π2L3,GT2)，运动周期T＝2πeq\r(\f(L3,Gm1＋m2))。行星的质量，。2、三星模型宇宙中存在一些离其他恒星较远（可忽略其他星体对它们的引力作用）的三颗星组成的三星系统。已观测到稳定的三星系统主要有两种基本的构成形式∶一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R1的圆轨道上运动;另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运动。情景一：三星模型（三颗星在同一直线上），如下图所示，运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：。两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。情景二：三颗星位于等边三角形的三个顶点上面，沿等边三角形外接圆的轨道运动，如下图所示，B、C对A的万有引力提供A做圆周运动的向心力，则有：这里。【注意】三星模型中每颗行星转动的方向相同，运行周期、角速度和线速度大小相等。每颗行星在同一轨道绕同一点做匀速圆周运动，每颗行星做匀速圆周运动所需的向心力由其它各个行星对该行星的万有引力的合力提供。模拟题专练一．选择题（共19小题）1．（2025•南通模拟）2024年12月17日，中国航天员创造了最长太空行走的世界纪录，空间站在距离地面约400km高处的圆轨道上运动。则航天员（）A．受到的合力为零 B．始终在北京的正上方 C．绕地球运动的周期为24h D．绕地球运动的速度小于7.9km/s【解答】解：A、航天员随空间站绕地球一起做匀速圆周运动，合力不为零，由合力提供向心力，故A错误；BC、根据万有引力提供向心力得GMmr2=可得T＝2πr3GM，因空间站的轨道半径比地球同步卫星的小，所以空间站的运行周期小于地球同步卫星的运行周期24h，则空间站的角速度小于地球同步卫星的角速度，所以空间站相对于地球是运动的，不可能始终在北京的正上方，故D、7.9km/s是第一宇宙速度，是卫星绕地球的最大环绕速度，可知航天员绕地球运动的速度小于7.9km/s，故D正确。故选：D。2．（2024秋•江苏期末）木星有四颗卫星是伽利略发现的。小华同学打算根据万有引力的知识计算木卫二绕木星运动的周期，除已知万有引力常量外，他利用下列哪一组数据就能实现（）A．木星的质量、半径及自转周期 B．木卫二的质量，绕木星运动的半径 C．木卫二的质量，木星的半径和质量 D．木星的质量，木卫二绕木星运动的半径【解答】解：设木星的质量为M，木星的质量为m，木卫二绕木星运动的半径为r，运动周期为T。木卫二绕木星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得GMmr2=可得T＝2πr可知，除已知万有引力常量外，只有利用木星的质量M，木卫二绕木星运动的半径r能求木卫二绕木星运动的周期T，故ABC错误，D正确。故选：D。3．（2024秋•南京期末）月球表面的重力加速度约为地球表面的六分之一。某同学在地球上起跳，上升的最大高度为H，若该同学以相同的初速度在月球上起跳，则上升的最大高度约为（）A．H6 B．6H C．6H D【解答】解：设该同学在月球上起跳的最大高度为h。该同学做竖直上抛运动，根据最大高度表达式h=v022g可知，hH=g地g月故选：C。4．（2024秋•天宁区校级期末）2020年11月24日凌晨，搭载嫦娥五号探测器的长征五号遥五运载火箭从文昌航天发射场顺利升空，12月17日，“嫦娥五号”返回器携带月球样品在地球上预定区域安全着陆。在落地之前，它在地球大气层打个“水漂”，如图所示为返回器跳跃式返回过程示意图，虚线圆为大气层的边界，返回器从a点进入大气层，经a、b，c、d、e回到地面，其中a，c，e为轨道和大气层外边界的交点。下列说法正确的是（）A．返回器经过a、c两点时速度方向可能相同 B．返回器经过c、e两点时速度方向可能相同 C．返回器经过b、d两点时加速度方向可能相同 D．返回器经过d点时速度方向与加速度方向可能垂直【解答】解：AB、曲线运动中各点的速度方向沿该点切线的方向，因此a、c两点速度方向和c、e两点速度方向均不同，故AB错误；C、根据曲线运动的知识可知返回器所受的合外力和加速度方向应指向轨迹的回侧，返回器经过b点时加速度方向大致向上，经过d点时加速度方向大致向下，故C错误；D、返回器经过d点时速度方向沿切线方向，加速度方向指向轨迹的凹侧，可能垂直，故D正确。故选：D。5．（2025•海陵区校级一模）如图所示，地球和月球连线上的P1、P2两点为两个拉格朗日点，处在拉格朗日点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动。科学家设想分别在两个拉格朗日点建立两个空间站，使其与月球同周期绕地球运动。以a1、a2分别表示P1、P2处两空间站的向心加速度大小，a3表示月球的向心加速度大小，下列判断正确的是（）A．a1＞a2＞a3 B．a1＜a2＜a3 C．a1＞a3＞a2 D．a1＜a3＜a2【解答】解：P1、P2处两空间站与月球具有相同的角速度，根据an=rω2可知：半径越大则其向心加速度越大，则a1＜a3＜a2，故故选：D。6．（2024秋•苏州期末）鹊桥二号作为一颗中继通信卫星，首次任务是用于转发着落于月球背面的嫦娥六号与地球之间的通信。科研人员为它设计了周期为24h的环月大椭圆轨道，其远月点选在月球南极地区上空。下列关于鹊桥二号说法正确的是（）A．发射速度要大于11.2km/s B．与地球相对静止 C．环月大椭圆运动的力由地球引力提供 D．为月球南极地区提供通信的时间比北极地区长【解答】解：A、鹊桥二号没有脱离地球的束缚，所以鹊桥二号发射速度要小于11.2km/s，故A错误；B、鹊桥二号绕月心做椭圆运动，相对于地球是运动的，故B错误；C、环月大椭圆运动的力由月球引力提供，故C错误；D、鹊桥二号绕月心做椭圆运动，其远月点在月球南极地区上空，根据开普勒第二定律，其通过远月点的速度比近月点的小，则鹊桥二号为月球南极地区提供通信的时间比北极地区长，故D正确。故选：D。7．（2024•兴化市模拟）哈雷彗星是裸眼所见短周期彗星之一。如图所示为地球、哈雷彗星绕太阳运动的示意图，已知哈雷彗星大约每76年环绕太阳一周，在近日点与太阳中心的距离为r1，在远日点与太阳中心的距离为r2，于2023年12月初抵达远日点。若地球的公转轨道可视为半径为R的圆轨道，则下列说法正确的是（）A．在近日点与远日点的加速度大小之比为r2B．在近日点与远日点的速度大小之比为r2C．哈雷彗星大约将在2071年左右离太阳最近 D．哈雷彗星的轨道参数与地球轨道参数间满足r【解答】解：B.根据开普勒第二定律，取时间微元Δt可得12解得v1故B错误；A.在近日点，由牛顿第二定律可得GMmr1在远日点，由牛顿第二定律可得GMmr2联立解得a1故A正确；C.由题可知，哈雷彗星将在2023+（76÷2）＝2016年回到近日点，故C错误；D.根据开普勒第三定律可得a3则有a≈18R又半长轴a=则r1故D错误。故选：A。8．（2024•邗江区校级一模）2023年10月26日11时14分，我国三名航天员乘坐“神舟十七号”载人飞船沿椭圆轨道经过6.5小时的飞行，顺利与“天和号”空间站（运行周期小于24h）核心舱在B点对接，A、B两点分别为椭圆轨道的近地点和远地点，如图所示。则（）A．对接时，二者的速度方向相反 B．对接时，“神舟十七号”的加速度大于“天和号”的加速度 C．对接前，“神舟十七号”的周期大于“天和号”的周期 D．对接前，“天和号”的速度大于赤道上物体随地球自转的速度【解答】解：A、对接时，二者的速度方向相同，故A错误；B、对接时，“神舟十七号”与“天和号”距离地球中心的距离相等，根据牛顿第二定律得GMmr可得a=GM可知对接时，“神舟十七号”的加速度等于“天和号”的加速度，故B错误；C、根据开普勒第三定律r3T2D、根据万有引力提供向心力有GMm可得v=GM可知对接前，“天和号”的速度大于地球同步卫星的线速度。地球同步卫星的角速度等于赤道上物体随地球自转的角速度，根据v＝ωr可知，地球同步卫星的线速度大于赤道上物体随地球自转的速度，所以“天和号”的速度大于赤道上物体随地球自转的速度，故D正确。故选：D。9．（2023秋•广陵区校级期末）2020年11月24日4时30分，“嫦娥五号”在中国文昌航天发射场发射成功，若“嫦娥五号”在地面时受地球的万有引力为F，则当其上升到离地距离为地球半径的2倍时所受地球的万有引力为（）A．F3 B．F4 C．F9 【解答】解：根据万有引力定律，在地面时“嫦娥五号”所受地球的万有引力为F=GMmR2，当其离地距离为地球半径的2倍时所受地球的万有引力为F'=GMm(3R)2，得故选：C。10．（2024•江苏模拟）国产科幻大片《流浪地球2》中提出太空电梯设想，其原理如图所示．假设有一太空电梯轨道连接地球赤道上的固定基地与同步空间站A，空间站A相对地球静止，某时刻电梯停靠在轨道某位置，卫星B与同步空间站A的运行方向相同，此时二者距离最近，经过时间t后，A、B第一次相距最远．已知地球自转周期为T，则下列说法正确的是（）A．太空电梯内的乘客处于完全失重状态 B．电梯轨道对电梯的作用力方向指向地心 C．电梯轨道外部一物体脱落后将做匀速圆周运动 D．卫星B绕地球做圆周运动的周期为2Tt【解答】解：A、对地球卫星，有GMmr2=mω2r，解得ω=B、电梯做匀速圆周运动，由合外力提供向心力，根据电梯受到的万有引力大于做圆周运动的向心力，则万有引力与电梯轨道对电梯的作用力的差值提供向心力，即电梯轨道对电梯的作用力方向与万有引力方向相反，指向空间站，故B错误；C、对于同步卫星，由万有引力提供向心力，有：GMm同r同2电梯环绕半径小于同步轨道半径，即r梯＜r同，则GMm梯r梯2万有引力大于电梯做圆周运动的向心力，符合近心运动的条件，故电梯外壳上脱落的物体将做近心运动，故C错误；D、设卫星B绕地球做圆周运动的周期为T′。经过时间t之后，A、B第一次相距最远，则有tT-tT'=0.5，解得T故选：D。11．（2024秋•淮安期末）我国已发射的“嫦娥一号”、“嫦娥二号”绕月卫星，在不同轨道绕月做匀速圆周运动，如图所示。下列各项物理量中，“嫦娥一号”比“嫦娥二号”大的是嫦娥一号（）A．线速度 B．周期 C．加速度 D．角速度【解答】解：卫星绕月做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有GMmr2=mv2r=m4π2可得v=GMr，T＝2πr3GM，a因“嫦娥一号”的轨道半径比“嫦娥二号”的大，则“嫦娥一号”的线速度、加速度和角速度都比“嫦娥二号”的大，只有周期比“嫦娥二号”大，故ACD错误，B正确。故选：B。12．（2024秋•南京月考）“天问一号”探测器着陆之前先在停泊轨道绕火星做椭圆运动，运动轨迹如图所示，其中A点离火星最近，B点离火星最远。下列说法正确的是（）A．探测器在A点的速度等于在B点的速度 B．探测器在A点的角速度小于在B点的角速度 C．由A点运动到B点的过程中，探测器受到火星的引力变小 D．由A点运动到B点的过程中，探测器的动能变大【解答】解：ABD、根据开普勒第二定律可知，探测器在A点的速度大于在B点的速度，则A点运动到B点的过程中，探测器的动能变小，根据v＝rω可知，探测器在A点的角速度大于在B点的角速度，故ABD错误；C、根据F=GMmr2可知，由A点运动到B点的过程中，距离r故选：C。13．（2024•姜堰区校级模拟）“天问一号”火星探测器被火星捕获，经过系列变轨后从“调相轨道”进入“停泊轨道”，为着陆火星做准备。如图所示，阴影部分为探测器在不同轨道上绕火星运行时与火星的连线每秒扫过的面积，下列说法正确的是（）A．探测器从“调相轨道”进入“停泊轨道”机械能减小 B．从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器周期变大 C．从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器需点火加速 D．图中两阴影部分的面积相等【解答】解：AC.从“调相轨道”进入“停泊轨道”，探测器需要减速变轨，做近心运动，故其机械能变小，故A正确，C错误；B.由开普勒第三定律可知，由于从“调相轨道”进入“停泊轨道”，探测器运行轨道的半长轴变短，故其周期变小，故B错误；D.由开普勒第二定律可知，只有在相同轨道上运行的探测器与火星的连线每秒扫过的面积才相等，故D错误。故选：A。14．（2024•六合区校级模拟）如图甲是国产科幻大片《流浪地球2》中人类在地球同步静止轨道上建造的空间站，人类通过地面和空间站之间的“太空电梯”往返于天地之间。图乙是人乘坐“太空电梯”时由于随地球自转而需要的向心加速度a与其到地心距离r的关系图像，已知r1为地球半径，r2为地球同步卫星轨道半径，下列说法正确的是（）A．地球自转的角速度ω=aB．地球同步卫星的周期T=2πrC．上升过程中电梯舱对人的支持力保持不变 D．从空间站向舱外自由释放一物体，物体将做自由落体运动【解答】解：A、根据向心加速度公式有：a＝ω2r，可知a﹣r图像中，其斜率为角速度的平方，故A错误；B、由于向心加速度a2=故其周期为：T=2πω=2πC、上升过程中，处于超重状态，支持力会变大，故C错误；D、太空中处于失重状态，从舱释放一物体，不会做自由落体运动，故意D错误。故选：B。15．（2023秋•盐城期中）哈雷彗星的运动轨道是一个非常扁的椭圆，在近日点与太阳中心的距离为r1，在远日点与太阳中心的距离为r2，若地球的公转轨道可视为半径为r的圆轨道，哈雷彗星的公转周期为T。则哈雷慧星（）A．质量M=πB．公转周期T=(rC．在近日点与远日点的速度大小之比为r2D．在近日点与远日点的加速度大小之比为r【解答】解：A．由万有引力定律可以计算中心天体的质量，依题意哈雷彗星是环绕天体，其质量无法由万有引力提供向心力模型计算。故A错误；B．由开普勒第三定律可得：r3其中T地球＝1年，故解得哈雷慧星的公转周期为T=(故B错误；C．根据开普勒第二定律，取时间微元Δt，结合扇形面积公式S=1可得：12解得在近日点与远日点的速度大小之比为：v1故C错误；D．在近日点时，由牛顿第二定律可得GMmr在远日点时，由牛顿第二定律可得GMmr联立，解得向心加速度大小之比为：a1故D正确。故选：D。16．（2024•海安市校级二模）某校天文小组通过望远镜观察木星周围的两颗卫星a、b，记录了不同时刻t两卫星的位置变化如图甲。现以木星中心为原点，测量图甲中两卫星到木星中心的距离x，以木星的左侧为正方向，绘出x﹣t图像如图乙。已知两卫星绕木星近似做圆周运动，忽略在观测时间内观察者和木星的相对位置变化，由此可知（）A．a公转周期为t0 B．b公转周期为2t0 C．a公转的角速度比b的小 D．a公转的线速度比b的大【解答】解：AB、根据甲图可知，卫星a的轨道半径小于b的轨道半径。根据图乙可知，a公转周期为Ta＝2t0；根据开普勒第三定律可得：r3T2=k，所以b的公转周期大于2tC、卫星绕木星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有：GMmr2=mrω2，解得：ω=GMr3，所以D、卫星绕木星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有：GMmr2=mv2r，解得：v=GMr故选：D。17．（2024春•崇川区期中）木星有4颗卫星是伽利略发现的，称为伽利略卫星，其中两颗卫星绕木星做圆周运动的周期之比为1：4，则这两颗卫星的轨道半径之比为（）A．14 B．116 C．142【解答】解：两颗卫星绕木星做圆周运动，由开普勒第三定律可知，r13T12=r故选：D。18．（2024春•南京期中）如图所示，八大行星沿椭圆轨道绕太阳公转，下列说法中正确的是（）A．太阳处在八大行星的椭圆轨道的一个公共焦点上 B．火星绕太阳运行过程中，速率不变 C．土星比地球的公转周期小 D．地球和土星分别与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等【解答】解：A．根据开普勒第一定律，太阳处在每颗行星的椭圆轨道的一个焦点上，故必然处在八大行星的椭圆轨道的一个公共焦点上，故A正确；B．火星绕太阳运行过程中，在离太阳较近的位置运行速率较大，在离太阳较远的位置运行速率较小，故B错误；C．由题图可知，土星轨道的半长轴比地球轨道的半长轴长，根据开普勒第三定律a3T2D．开普勒第二定律说的是同一颗行星与太阳连线在相等的时间内扫过的面积相等，由于地球和土星不是同一颗行星，所以二者分别与太阳的连线在相同时间内扫过的面积不相等，故D错误。故选：A。19．（2024•海门区校级学业考试）如图所示，两球间的最近距离为r，质量分别为m1、m2，半径分别为r1、r2。两球的质量分布均匀，则两球间的万有引力大小为（引力常量为G）（）A．Gm1B．Gm1C．Gm1D．Gm【解答】解：两个质量分布均匀的球体万有引力定律同样适用，距离为两个球心的连线距离，根据万有引力定律F＝Gm故ABC错误，D正确；故选：D。二．实验题（共1小题）20．（2024•江苏模拟）如图1所示为研学小组的同学们用圆锥摆验证向心力表达式的实验情景。将一轻细线上端固定在铁架台上，下端悬挂一个质量为m的小球，将画有几个同心圆周的白纸置于悬点下方的水平平台上，调节细线的长度使小球自然下垂静止时恰好位于圆心处。用手带动小球运动使它在放手后恰能在纸面上方沿某个画好的圆周做匀速圆周运动。调节平台的高度，使纸面贴近小球但不接触。（1）若忽略小球运动中受到的阻力，在具体的计算中可将小球视为质点，重力加速度为g。①小球做圆周运动所需的向心力大小可能等于CD（选填选项前的字母）。A．绳子对球拉力B．小球自身重力C．拉力和重力的合力D．拉力在水平方向的分力②在某次实验中，小球沿半径为r的圆做匀速圆周运动，用秒表记录了小球运动n圈的总时间t，则小球做此圆周运动的向心力大小Fn＝m4π2n2t2r（用m、n、t、r及相关的常量表示）。用刻度尺测得细线上端悬挂点到球心的距离为l，那么对小球进行受力分析可知，小球做此圆周运动所受的合力大小F＝mg③保持n的取值不变，用刻度尺测得细线上端悬挂点到画有圆周纸面的竖直高度为h，改变h和r进行多次实验，可获取不同时间t。研学小组的同学们根据小球所受的合力F与向心力Fn大小相等的关系，画出了如图2所示的图像，测得图线的斜率为k，则由此图线可知，重力加速度的测量值应为4π2（2）考虑到实验的环境、测量条件等实际因素，对于这个验证性实验的操作，下列说法中正确的是ACD（选填选项前的字母）。A．小球质量的测量误差不影响本实验验证B．小球匀速圆周运动半径的测量影响本实验验证C．在其他因素不变的情况下，实验中细绳与竖直方向的夹角越大，小球做圆周运动的线速度越大D．在细绳与竖直方向的夹角保持不变的情况下，实验中细绳越长，小球做圆周运动的线速度越大（3）在考虑到有空气阻力的影响下，上述实验中小球运动起来后，经过比较长的时间，会发现其半径越来越小，足够长时间后，小球会停止在悬点正下方。这与无动力人造地球卫星在微薄阻力下的运动有很多类似。若小球和卫星在每转动一周的时间内半径变化均可忽略，即每一周都可视为匀速圆周运动，请对小球和卫星运动的周期变化情况进行分析与比较小球的半径减小，周期变大，卫星的半径变小，周期变小。【解答】解：（1）①小球在运动过程中受到重力和绳子的拉力，重力和绳子的拉力的合力提供小球做圆周运动的向心力，或者是绳子拉力的水平分量提供向心力，故CD正确，AB错误；故选：CD。②小球做圆周运动的周期为T=tFn令绳子和竖直方向的夹角为θ，根据三角形定则可知，小球的合力大小为：F=mgtanθ=mgr③因为小球所受的合力F与向心力Fn大小相等，则有：m4则有：t所以k=可得g=4（2）A.要验证的关系式中m4π2B.要验证的关系式m4π2n2C.根据mv2r=mg⋅rhD.根据mv2r=mg⋅tanθ可知，在细绳与竖直方向的夹角保持不变的情况下，实验中细绳越长，则故选：ACD。（3）设小球做半径为r的圆周运动的周期为T，此时小球距细线上端固定点的竖直高度为h，根据受力情况和向心力公式有：m4可解得：T=2πh因半径变小，绳长不变，h变大，故小球周期变大；卫星：根据万有引力提供向心力有GMmr2=解得T=2πr3GM故答案为：（1）①CD；②m4π2n2t2r；mgrl三．解答题（共10小题）21．（2024•邗江区校级模拟）一宇宙空间探测器从某一星球的表面升空，假设探测器的质量恒为1500kg，发动机的推力为恒力，宇宙探测器升空到某一高度时，发动机突然关闭，如图是表示其速度随时间变化规律：①求宇宙探测器在该行星表面所能到达的最大高度？②假设行星表面没有空气，试计算发动机的推力。③若该行星的半径为R，万有引力常量为G，则该行星的密度是多少？（用R、G表示）【解答】解：①空间探测器上升的所能达到的最大高度应等于它在第一、第二运动阶段中通过的总位移值，所以有：Hm＝768m。②选取空间探测器为研究对象，在0～8S内，空间探测器受到竖直向上的推进力与竖直向下的重力的共同作用，则由牛顿第二定律得：F﹣mg＝ma又a＝8m/s2，故有：F＝（ma+mg）＝18000N③空间探测器的发动机突然关闭后，它只受该行星的重力的作用，故它运动的加速度即为该行星表面处的重力加速度值，从v﹣t图线不难发现，8s末空间探测器关闭了发动机，所以v﹣t图线上的斜率即等于该行星表面处的重力加速度g＝4m/s2。根据ρ=3a解得ρ=1答：①求宇宙探测器在该行星表面所能到达的最大高度768m；②假设行星表面没有空气，试计算发动机的推力18000N；③若该行星的半径为R，万有引力常量为G，则该行星的密度是1GR22．（2023秋•建邺区校级期末）如图所示，当木星在绕日公转过程中运行到日、地连线延长线上时，会形成“木星冲日”现象。已知地球质量为M，半径为R，公转半径为r，地表重力加速度为g，公转周期为1年。假设木星质量是300M，半径是10R，公转半径是5r，不考虑木星和地球的自转，不计木星和地球间的引力，5≈2.4（1）木星地表的重力加速度为多大？（2）木星冲日平均多少年出现一次？【解答】解：（1）在行星表面，行星对物体的万有引力等于物体受到的重力，则有GMm解得行星表面的重力加速度为g=GM已知地球质量为M，半径为R，而木星质量是300M，半径是10R，解得木星表面的重力加速度为g木（2）根据开普勒第三定律有(5r)可得木星的公转周期为T木设从木星冲日到下次木星冲日的时间间隔为t，则有tT解得t=12答：（1）木星地表的重力加速度为3g；（2）木星冲日平均1.09年出现一次。23．（2023秋•泗阳县期末）2023年，中国航天成功发射近七十次。其中某一卫星绕地球做匀速圆周运动，已知地球的半径为R，地球的质量为M，该卫星距地球表面的高度也为R，引力常量为G。求：（1）该卫星绕地球运行的线速度大小v；（2）该卫星绕地球运行的周期T。【解答】解：（1）设卫星质量为m，则轨道半径为r＝R+R＝2R，根据万有引力提供向心力有GMm(2R)2=（2）根据圆周运动的周期和线速度的关系由T=2πrv，得答：（1）卫星绕地球运行的线速度大小v为GM2R（2）卫星绕地球运行的周期T为4π224．（2024秋•常州期中）第一宇宙速度又叫做环绕速度，第二宇宙速度又叫做逃逸速度，逃逸速度是环绕速度的2倍；逃逸速度大于或等于光速的天体即为黑洞。太阳的质量为M，引力常量为G，真空光速为c。（1）已知太阳半径为R，求太阳的环绕速度；（2）倘若太阳能收缩成球形黑洞，求该黑洞的最大半径。【解答】解：（1）假设卫星绕太阳表面做圆周运动，由万有引力提供向心力，则有GMmR解得v=GM（2）假设卫星