浙江省台州市2024-2025学年高一上学期1月期末质量评估数学试题 含解析

学年浙江省台州市高一上学期1月期末质量评估数学试题❖85分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1若幂函数经过点，则（）A.81B.C.3D.【答案】C【解析】【分析】用待定系数法求出幂函数的解析式，计算出的值即可．【详解】设幂函数，则，所以，所以故选：C.2.已知函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，，，，则函数在区间上的零点至少有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】【分析】根据零点存在定理，判断函数值的符号，然后判断函数零点个数即可．【详解】解：因为函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，，，，根据根的存在性定理可知，在区间和内至少含有一个零点，故函数在区间上的零点至少有2个.故选：B3.“且”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件第1页/共13页【答案】A【解析】【分析】按照充分必要条件的判断方法判断，“且”能否推出“”，以及“”能否推出“且”，判断得到正确答案，【详解】当且时，成立，反过来，当时，例：，不能推出且.所以“且”是“”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，重点考查基本判断方法，属于基础题型.4.已知扇形的圆心角为1rad，面积为8，则扇形的弧长为（）A.8B.4C.D.【答案】B【解析】【分析】先由扇形的面积公式可得半径，进而由弧长公式可得答案.【详解】设该扇形的弧长为l，圆心角为，半径为r，由，可得，解得，故.故选：B.5.若，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知结合求出、，即可求【详解】因为，所以，又因为，所以，第2页/共13页解得：，或，因为，所以，此时可得，则，故选：D.6.将函数的图象向左平移y的值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据图象平移得到偶函数，即，即可求【详解】由题意，将函数的图象向左平移个单位长度，得到偶函数的图象，所以，求得，又，故的值为.故选：B7.设，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用对数换底公式、对数运算及不等式的性质来比较大小.【详解】因为，，且，所以，因为第3页/共13页所以，所以故选：C.8.光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向通常会发生改变，这种现象称为光的折射.光在折射过程中，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值是一个常数.例如，一束光线从空气斜射入水时，会发生折射现象，并满足（其中是入射角，是折射角）当入射角增加增加，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用题干所给定义，列式，结合两角和与差的正弦公式，可得结果.【详解】已知光从空气斜射入水时，满足即.当入射角增加时，设此时入射角为+，折射角变为+，根据折射定律有：，即++，因为+，将代入可得+++由于<<，的值在0到1之间，，，第4页/共13页当时，+而当时所以.故答案为：A.二、多选题：本题共3小题，共分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知，则下列不等式成立的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根据不等式性质及作差法判断各项的正误.【详解】选项A，若，则，正确；选项B，若，则，错误；选项C，，则，所以，正确；选项D，因为，则，所以，正确故选：ACD10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.的值域为B.函数的最小正周期为C.在上单调递减D.的图象关于对称【答案】AD【解析】【分析】应用辅助角公式化简三角函数式，根据正弦型函数的性质、代入法判断对称中心，即可得各项的正误.【详解】由，第5页/共13页对于A，因为，故的值域为，正确；对于B，因为的最小正周期为，则函数的最小正周期为，错误；对于C，当时，，在给定区间内不单调，错误；对于D，因为，则的图象关于对称，正确.故选：AD已知，都是定义在R上的函数，且，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.存在，使得D.若是增函数，则是增函数【答案】ABD【解析】【分析】利用求函数值判断ABC，利用复合函数的单调性判断D即可.【详解】对于选项A，，则，故A正确；对于选项B：，，则，故B正确；对于选项C，若存在使得，则，由于是增函数，对于不同的x值，的值不同，因此不存在满足条件的，故C错误；对于选项D，若是增函数，则时，，由，可得，，由于且，所以，即是增函数，选项D正确.故选：ABD.第6页/共13页【点睛】关键点点睛：对于D选项关键点是利用复合函数的单调性判断解题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.函数（且）的图象恒过定点______．【答案】【解析】【分析】根据对数函数过定点求解.【详解】解：由，令，得，所以函数（且）的图象恒过定点，故答案为：13.已知，则_________.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式计算可得答案.【详解】因为，所以，故答案为：14.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量单位：与时间单位：间的关系为k__________5h消除了的污染物，那么污染物减少需要花费__________小时精确到参考数据：【答案】①.②.57【解析】【分析】代入数据，根据指对互化，即可求解.第7页/共13页【详解】因为过滤过程中废气的污染物含量P与时间t间的关系为，所以时，；设要消除的污染物，至少需要的时间t小时，由题意得，故答案为：；57.四、解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.求值：（1）（2）【答案】（1）；（2）1.【解析】1）根据指数幂的运算性质化简求值；（2）利用诱导公式化简求值.【小问1详解】；【小问2详解】原式16.已知集合，（1）若时，求（2）若，求实数a的取值范围.第8页/共13页【答案】（1）（2）【解析】1）根据函数定义域求法求得集合B，由此求得（2）由知，列不等式来求得a的取值范围.【小问1详解】，或，【小问2详解】由知，，①当时，，②当时，，；③当时，，不满足题意.所以a的取值范围为17.已知函数是奇函数.（1）求a的值，判断函数的单调性并请说明理由;（2）对任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围.【答案】（1），函数在R上单调递增，理由见解析；（2）【解析】1）由求得a，然后验证即可，再利用函数单调性定义证明单调性；（2）根据函数的奇偶性和单调性得恒成立，应用基本不等式求右侧最值，即可得结果.【小问1详解】第9页/共13页因为函数是奇函数，所以有，得则，有，符合题设，所以，即，，，且，则，因为所以函数在R上单调递增.【小问2详解】由题设及奇函数性质知对任意恒成立，因为在R单调递增，所以，即，设，当时取等号，所以k的取值范围为18已知，，，，（1）请写出以x轴的非负半轴为始边，射线OA为终边的角的集合;（2）作点A关于直线OB的对称点.①当，时，求点C坐标;②若，，求【答案】（1）；（2）①；②第10页/共13页【解析】1）根据题意，射线OA为终边的角的集合是所有与终边相同的角，即可得答案；（2）①根据题意，利用余弦和正弦的和角公式计算和，可求得点C坐标；②根据题意和差公式得到，即可求解.【小问1详解】由在角的终边上，所以射线OA为终边的角的集合为；【小问2详解】①由题知，，，，，，所以，，②由题知，，则由，知，故，所以，即，又，所以，所以19.给定函数，，都在，，也是某个三角形的三边长，则称为“保三角形函数”.（1）判断函数是否为“保三角形函数”，并说明理由;第11页/共13页（2）若是“保三角形函数”，求的最小值;（3）若函数同时满足以下条件：①；②在区间上单调递增；③对任意，，都有证明：函数是“保三角形函数”.【答案】（1）是，理由见解析（2）1（3）证明见解析【解析】1）利用“保三角形函数”定义判断即可；（2）由是“保三角形函数”，得，由题意可证m的最小值为1；（3）由“保三角形函数”及函数在区间上单调递增，可证明函数是“保三角形函数”.【小问1详解】不妨假设，有，此时，，，且有，所以，，可以构成某三角形的三边，所以是“保三角形函数”.【小问2