2024-2025学年福建省福州市闽侯县高一上册10月月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年福建省福州市闽侯县高一上学期10月月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．）1.若集合，则满足的集合B的个数为（）A.2 B.4 C.8 D.162.已知命题，命题q：不等式的解集为，则p成立是q成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.“”是“且”的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.不等式的最小整数解为（）A. B. C. D.5.已知且，则的最小值为（）.A. B. C. D.6.已知命题：，，则为（）.A.， B.，C，或 D.，或7.若不等式的解集为，则函数的图象可以为（）A. B.C. D.8.已知命题是真命题，则的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分．）9.若关于方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（）A B. C. D.10.已知正数，满足，则下列说法正确的是（）A.的最大值为 B.的最小值为C.的最大值为 D.的最小值为11.已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（）A. B. C. D.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分．）12.已知，且，则的最小值是__________.13.不等式：的解为______．14.某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多________．四、解答题（本大题共6小题，共77分，解答应写出文字说明、证明或演算步骤．）15.已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．16.已知，，全集（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.17已知，，．（1）当时，求的最小值；（2）当时，满足恒成立，求m的取值范围.18.根据要求完成下列问题：（1）要在墙上开一个上半部为半圆形，下部为矩形窗户（如图所示），在窗框为定长的条件下，要使窗户能够透过最多的光线，窗户应设计成怎样的尺寸？（2）如图所示，铁路线上段长千米，工厂到铁路的距离为千米.现要在上某一点处向修一条公路，已知铁路每吨千米的运费与公路每吨千米的运费之比为.为了使原料从供应站运到工厂的运费最少，点应选在何处？19.已知实数集，定义．（1）若，求；（2）若，求集合A；（3）若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值．2024-2025学年福建省福州市闽侯县高一上学期10月月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．）1.若集合，则满足的集合B的个数为（）A.2 B.4 C.8 D.16【正确答案】C【分析】解不等式求出集合，再由并集概念求解即可得出结果.【详解】对于集合，由,解得，又∵，∴.又∵，∴满足条件的集合可能为，，，，，，，，共8个．故选：C．2.已知命题，命题q：不等式的解集为，则p成立是q成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】D【分析】根据分式不等式以及一元二次解求解，为真命题时的范围，即可结合逻辑关系求解.【详解】由得，由不等式的解集为，所以或者，解得，综上为真时，，故成立是既不充分也不必要条件，故选：D3.“”是“且”的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】通过特例说明充分性不成立，根据不等式的性质说明必要性是成立的.【详解】可令，，，则满足，但“且”不成立，所以“”不是“且”的充分条件；根据不等式的性质：由且，可得.所以“”是“且”的必要条件.故选：A4.不等式的最小整数解为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】分段去绝对值符号求出的取值范围即可得解.【详解】原不等式可化为或或，解得，所以所求最小整数解是.故选：C5.已知且，则最小值为（）.A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据题意，求得，且，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由，可得，因为，可得，解得，则，设，由二次函数的性质，可得在上单调递增，所以当时，函数取得最小值，最小值为，即的最小值为.故选：D.6.已知命题：，，则为（）.A.， B.，C.，或 D.，或【正确答案】D【分析】利用全称命题的否定求解即可.【详解】由全称命题的否定是特称命题知：原命题的否定为，或.故选：D7.若不等式的解集为，则函数的图象可以为（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】由题可得和是方程的两个根，求出，再根据二次函数的性质即可得出.【详解】由题可得和是方程两个根，且，，解得，则，则函数图象开口向下，与轴交于.故选：C.8.已知命题是真命题，则的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】分离变量法求出为真命题时的取值范围，再由充分必要条件的概念判断．【详解】因为，所以当时，，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以是充要条件，因为，但，所以是的一个必要不充分条件，故选：B二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分．）9.若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（）A. B. C. D.【正确答案】BC【分析】利用的判别式，求出的范围，再利用必要条件的定义即可求得.【详解】因为方程至多有一个实数根，所以方程的判别式，即：，解得，利用必要条件的定义，结合选项可知，成立的必要条件可以是选项B和选项C.故选：BC.10.已知正数，满足，则下列说法正确的是（）A.的最大值为 B.的最小值为C.的最大值为 D.的最小值为【正确答案】ABD【分析】利用已知条件、基本不等式逐项判断可得答案.【详解】对于A：∵，，.∴，当且仅当，即，，取“”，∴A正确；对于B：，由（1）知，∴.∴.∴B正确；对于C.∴，∴C错误；对于D：，当且仅当，即，取“”，∴D正确.故选：ABD.11.已知x，y，z为非零实数，代数式值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（）A. B. C. D.【正确答案】CD【分析】讨论的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项.【详解】当均为负数时，；当两负一正时，；当两正一负时，；当均为正数时，；∴，A、B错误，C、D正确.故选：CD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分．）12.已知，且，则的最小值是__________.【正确答案】9【分析】利用不等式乘“1”法即可求解.【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故所求最小值为9，故913.不等式：的解为______．【正确答案】或【分析】根据题意结合有理数的除法法则可得或，再解不等式组即可．【详解】由，得或，解得或，所以不等式的解为或.故或14.某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多________．【正确答案】21【分析】设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为，只参加其中一个小组的人数为，根据题意列出方程，由的最大值求的最大值.【详解】如图，设该班学生中同时参加三个小组的人数为，只参加其中一个小组的人数为，则，即．因为，所以．所以只参加其中一个小组的人数最多为21.故21.四、解答题（本大题共6小题，共77分，解答应写出文字说明、证明或演算步骤．）15.已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．【正确答案】【分析】依题意，集合A是集合B的真子集，由集合的包含关系求实数的取值范围．【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以集合A是集合B的真子集，即，解得，经检验满足题意,所以实数a的取值范围是.16.已知，，全集（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据交集与补集的运算求解即可；（2）分与由条件列不等式求范围即可.【小问1详解】当时，，所以或，又，所以.【小问2详解】由题可得：当时，有，解得a的取值范围为；当时有，解得a的取值范围为，综上所述a的取值范围为.17.已知，，．（1）当时，求的最小值；（2）当时，满足恒成立，求m的取值范围.【正确答案】（1）36（2）【分析】（1）利用基本不等式得到，再利用换元法与二次不等式的解法即可得解；（2）利用代入法将不等式左式问题转化为，从而利用基本不等式“1”的妙用求得不等式左式的最小值，进而得到关于m的不等式，由此得解．【小问1详解】，，当时，，当且仅当时等号成立，令，得，解得：（舍去）或，，解得，当且仅当时等号成立，的最小值是36；【小问2详解】当时，，可得．由得，又，，，当且仅当，即时等号成立．当时，求的最小值是10．则有，解得，即m的取值范围为.18.根据要求完成下列问题：（1）要在墙上开一个上半部为半圆形，下部为矩形的窗户（如图所示），在窗框为定长的条件下，要使窗户能够透过最多的光线，窗户应设计成怎样的尺寸？（2）如图所示，铁路线上段长千米，工厂到铁路的距离为千米.现要在上某一点处向修一条公路，已知铁路每吨千米的运费与公路每吨千米的运费之比为.为了使原料从供应站运到工厂的运费最少，点应选在何处？【正确答案】（1）答案见解析（2）距点千米处【分析】（1）依题意，结合图形，求出窗框的宽关于长的关系式，继而求得窗框的面积表达式，利用二次函数的图象即可求得的最大值；（2）经分析，判断点在线段上某一适当位置，设，铁路吨千米运费，公路吨千米运费，将从到的总费用表示成的函数式，设，利用根的判别式非负求得的最小值，从而得到对应的的值，即可.【小问1详解】设矩形窗框的长为，宽为，则窗框的定长为，∴，（），则窗框的面积为：，因，当时，窗框的面积取得最大值，此时，即当时，窗户能够透过最多的光线；【小问2详解】由题意可知单位距离的公路运费大于铁路运费，由图知，，则只有点选在线段上某一适当位置，才能使总运费最省.设（千米），铁路吨千米运费，公路吨千米运费，从到的总费用为，则依题意得，，即，令，则有，两边同时平方并整理得：(*)，∵关于的方程一定有解，∴，解得，∵，∴，当时，由（*），解得，，这时最小，也最小，即当点选在距点千米处时，总运费最省.19.已知实数集，定义．（1）若，求；（2）若，求集合A；（3）若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值．【正确答案】（1）（2）或者.（3）13【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可；（2）根据可得，然后分中4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负进行讨论即可；（3）分中没有负数和中至少有一个负数两种情况进行讨论即可求解.【小问1详解】;【小问2详解】首先，；其次中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负.记，不妨设或者--①当时，，相乘可知，从而，从而，所以；②当时，与上面类似的方法可