高考数学全国乙卷（文）3年（2021-2023）真题分类汇编-解答题

高考数学全国乙卷(文)3年(2021-2023)真题分类汇编-

解答题

一、解答题

1.(2023年高考全国甲卷数学［文)真题)记的内角的对边分别为a/,c,

已知"3=2.

cos/4

⑴求力c；

八HacosB一力cosAh,q_____

⑵若———-----=1,求面积.

acosB+bcosAc

2.(2023年高考全国甲卷数学(文)真题)如图，在三棱柱ABC-中，平

面ABC,Z4C8=900.

(1)证明：平面ACGA上平面BBC。；

(2)设A8=A8,AA=2,求四棱锥A—B8CC的高.

3.(2023年高考全国甲卷数学(文)真题)一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如

下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试

验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统

计每只小白鼠体重的增加量(单位：g).试验结果如下：

对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

15.218.820.221322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

(1)计算试验组的样本平均数；

(2)(i)求40只小白鼠体重的增加量的中位数〃?，再分别统计两样本中小于根与不小

于机的数据的个数，完成如下列联表

（ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在

正常环境中体重的增加量有差异？

n(ad-bc)2

(a+%)(c+d)(a+c)(〃+d)，

P(K2>k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

4.（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数〃力=»-当,x/o，S].

cosx\2）

⑴当4=1时，讨论/（X）的单调性；

（2）若〃x）+sinxvO,求。的取值范围.

5.（测试使用，请勿下载（全国甲卷理数））已知直线％-2y+l=0与抛物线

C:y2=2px（〃>0）交于48两点，且|AB|=4而.

⑴求P：

（2）设尸为C的焦点，M,N为C上两点，FMFN=0,求△MRV面积的最小值.

fX=2+fcosa

6.（测试使用，请勿下载（全国甲卷理数））已知点户（2,1）,直线/:।.（f为

[y=l+rsina

参数），a为/的倾斜角，/与x轴壬半轴,），轴正半轴分别交于A,B两点，且I尸AHP例=4.

⑴求a;

（2）以坐标原点为极点，工轴正半轴为极轴建立极坐标系，求/的极坐标方程.

7.（测试使用，请勿下载（全国甲卷理数））设a>0,函数/（x）=2|x-a|-a.

⑴求不等式的解集；

⑵若曲线y=/（x）与x轴所围成的图形的面积为2,求

8.（2022年全国高考乙卷数学（文）试题）记d5C的内角A,B,C的对边分别为a,

b,c,已知sinCsin（A-4）=sin5sin（C-A）.

(1)若A=23,求C；

试卷第2页，共6页

(2)证明：2/=护+d

9.(2022年全国高考乙卷数学(文)试题)如图，四面体A3CQ中,

AD工CD,AD=CD,ZADB=NBDC,E为AC的中点.

(1)证明：平面平面4CQ；

(2)设48=8£)=2,NAC8=60。，点尸在8。上，当△APC的面积最小时，求三棱锥

尸-ABC的体积.

10.(2022年全国高考乙卷数学(理)试题)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造

成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量

每棵树的根部横截面积(单位：n?)和材积量(单位：n?),得到如下数据:

总

样本号i12345678910

和

根部横截面

0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

积占

材积量必0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并计算得=0.038,X#=]6158,=0.2474.

1=11=11=1

(1)估计该林区这种树木平均•棵的根部横截面积与平均•棵的材积量；

(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材枳量的样本相关系数(精确到0.01)；

(3)现测量了该林区所有这种树人的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积

总和为186m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该

林区这种树木的总材积量的估计值.

Za-君(X-/

附：相关系数------：--------1-377.

飞一好2七日一刃2

1=1

11.(2022年全国高考乙卷数学(文)试题)已知函数/(x)=/ix-L-(〃+1)lnx.

x

（1）当。=0时,求/（x）的最大值；

⑵若"X）恰有一个零点，求。的取值范围.

12.（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为

“轴、），轴，且过人（0,-2）,哈T）两点.

⑴求E的方程；

⑵设过点尸（1,-2）的直线交上于M,N两点，过M且平行于x轴的直线与线段48交于

点T,点“满足MT=77/.证明：直线"N过定点.

13.（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）在直角坐标系xQy中，曲线C的参数方程

为卜8s2：（/为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，己

y=2sinr

知直线/的极坐标方程为psin［。+（J+机=°.

（1）写出/的宜角坐标方程；

⑵若/与。有公共点，求机的取值范围.

14.（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）已知a,b,c都是正数，且7+谓+发=1，

证明：

（1）abc<［；

ahc,1

（2）+-------+----<—7=；

b+ca+ca+b21abe

15.（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为

检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件

产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为［和亍，样本方差分别记为

s：和s；.

⑴求，5,S：,门;

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果

5-则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否

试卷第4页，共6页

则不认为有显著提高）.

16.（2021年全国高考乙卷数学f文）试题）如图，四棱锥P-ABC0的底面是矩形，PD1

底面ABC。，M为的中点，且总_LA用.

（1）证明：平面平面形£>；

（2）若PD=DC=1,求四棱锥尸一A8CD的体积.

17.（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设应｝是首项为1的等比数列，数列｛〃｝

满足以=詈.已知叫，34，94成等差数列.

（1）求应｝和他｝的通项公式：

（2）记S“和7；分别为｛吗和他｝的前〃项和.证明：Tn<^-.

18.（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知抛物线。：），2=2〃武〃>0）的焦点尸到

准线的距离为2.

（1）求C的方程；

（2）已知。为坐标原点，点P在C上，点。满足PQ=9。产，求直线Q2斜率的最大

值.

19.（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知函数/（幻=/-12+K+].

（1）讨论/（x）的单调性；

（2）求曲线y=/（x）过坐标原点的切线与曲线y=/（力的公共点的坐标.

20.（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）在直角坐标系X。），中，0c的圆心为C（2,l）,

半径为1.

（1）写出OC的一个参数方程；

（2）过点尸（4,1）作C的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标

系，求这两条切线的极坐标方程.

21.(2021年全国高考乙卷数学(文)试题)已知函数/(力=卜-4+卜+3|.

(1)当时，求不等式/(x)之6的解集；

(2)若/(x)>—〃，求a的取值范围.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.（1）1

⑵无

4

【分析】（1）根据余弦定理即可解出；

（2）由（1）可知，只需求出sinA即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出.

【详解】（1）因为。2=廿+_28。cosA，所以"""=2"cc0s：=2bc=2t解得：爪=1.

cosAcosA

/-、q-i-r»^^B—rz«a8sB-bcosAbsinAcosB-sinBcosAsinB

（2）由正弦定理可得-----------------=--------------------------

acosB+bcosAcsinAcosB+sinBcosAsinC

sin（A-A）sinBsin（A-8）-sinA1

sin（4+B）sin（4+B）sin（4+B）

变形可得：sin（4-5）-sin（A+8）=sinB,即一2cosAsin8=sinB,

而0<sin8Wl,所以cosA=-1,又0<4<冗，所以sinA=且，

22

故从取7的面积为S^ARC=；〃csinA=；x\x与=与.

2.（1）证明见解析.

（2）1

【分析】（1）由A。，平面ABC得A。又因为AC16C,可证BC工平面4。。小，从

而证得平面ACGA，平面BCCM；

（2）过点A作AOLCG，可证四棱锥的高为A。,由三角形全等可证AC=AC，从而证得。

为CG中点，设AC=AC=X,由勾股定理可求出X,再由勾股定理即可求A。.

【详解】（1）证明：因为AC，平面ABC,8Cu平面A8C,

所以4C_L8C,

又因为NAC8=90,即AC1BC,

ACACu平面ACGA，ACCAC=C,

所以8cl平面ACGA,

答案第1页，共29页

又因为8Cu平面5CC4,

所以平面ACGA，平面BCGq.

(2)如图,

因为平面ACGA，平面8CGM,平面ACG41平面8CG4=CG,AOu平面ACGA,

所以AO1平面BCG耳，

所以四棱锥A-BBCC的高为A0.

因为AC_L平面A8C,AC,BCu平面A8C,

所以AC_L8C,AC_LAC,

又因为A8=A8,BC为公共边，

所以闻5c与.ABC全等，所以AC=AC.

设A。—A。=x,则AG=x,

所以。为CG中点，。0=39=1,

又因为AC_LAC,所以AC2+AC2=A<,

即f+f=22,解得x=&,

所以A。=]AC：_OC；=小豆—12=1,

所以四棱锥A-Bqcc的高为1.

3.(1)19.8

(2)(i)m=23.4；列联表见解析，(ii)能

答案第2页，共29页

【分析】(1)直接根据均值定义求解；

(2)(i)根据中位数的定义即可求得利=23.4,从而求得列联表；

(ii)利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.

【详解】(1)试验组样本平均数为：

，(7.8+9.2+11.4+12.4+13.2+15.5+16.5+18.0+18.8+19.2+19.8+20.2

+21.6+22.8+23.6+23.9+25.1+28.2+32.3+36.5)=艺396=19.8

(2)(i)依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第

20位与第21位数据的平均数，

由原数据可得第11位数据为18.8.后续依次为

19.2,19.8,20.2,20.2,21.3,21.6,22.5,22.8,23.2,23.6,

故第20位为23.2，第21位数据为23.6,

232+23.6=23.4,

所以加二

2

故列联表为:

<m>m合计

对照组61420

试验组14620

合计202040

40x(6x6-14x14)

(ii)由⑴可得，K1=6.400>3.841,

20x20x20x20

所以能有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.

4.⑴〃力在(0彳)上单调递减

(2)a<0

【分析】(1)代入〃=1后，再对『a)求导，同时利用三角函数的平方关系化简r(x),再

利用换无法判断得其分子与分母的正负情况，从而得解；

(2)法一：构造函数g(x)=/(M+sinx,从而得到g(x)〈0,注意到g(0)=0,从而得到

答案第3页，共29页

^(0)<0,进而得到再分类讨论。=0与兴0两种情况即可得解；

法二：先化简并判断得Sinx-粤±<0恒成立，再分类讨论。=0,。<0与。>0三种情况,

cos-x

利用零点存在定理与隐零点的知识判断得4>0时不满足题意，从而得解.

【详解】(1)因为4=1，所以=竽外，

cosxV2)

贝-)-1-8sxcos2x-2cosx(-sinx)sinx_1_cos2x+Zsin2x

cos4Xcos3X

_COS、_8S2X_2(1_8S2X)8S\+8S2X2

cos3xcos3X

令f=cosx,由于X€(O,1),所以z=cosxe(0,l),

所以

cos3x+cos2x-2=t3+t2-2=t3-t2+2t2-2=t2(/-l)+2(/+l)(r-l)=(z2+2r+2)(r-l),

因为“+2/+2=(f+l)2+l>0,r-l<0,cos3x=r5>0>

所以广⑺=cos，x：：;：x2<0在(o,\上恒成立,

所以在其)上单调递减.

(2)法一:

构建g(%)=f(x)+sinx=ai一.sin;十§出((()<彳<]),

e，/\l+sin2x(门兀)

则g(x)=。-----1—+cosx0<x<-,

cosxI2J

若g(x)-〃％)+sinx<。，J3.^(0)-/(0)+sin0-0,

则g'⑼=〃-1+1==0,解得a«(),

当a=0时，因为sinx--=sinx1----j—,

cosxIcosx)

又所以0<sinx<l,0<cosx<1»则一>1,

I2)cos'x

所以/(x)+sinx=sinx----<0,满足题意;

cos'x

当。<0时，由于0<x苫，显然orvO,

所以/(x)+sinx=or--^^-+sinx<sinx一叫"<。,满足题意;

cos-xcos-x

答案第4页，共29页

综上所述：若f(x)+siiu<0,等价于。<0,

所以。的取值范围为(YO,0].

法二：

因为.sinx_sinxcos2x-sinx_sinx(cos2x-1)_sin'x,

cos2xcos2xcos2xcos2x

因为xc(0，T),所以0<sinx<l,0<cosx<1,

故sinx—金竽<0在上，恒成立，

COS'X\2)

所以当。=0时，f(x)+sinx=sinx-■包？-<0,满足题意：

cosx

当a〈0时，由于0<x苦，显然如<0,

所以f(x)+sinx=ax--网二+sinxssinx一叫'<0,满足题意；

cos"xcos"x

当a>0时，因为f(x)+sinx=ax--n^4-sinx=av-S*n.'¥,

cosxcosx

A/\sin3x(北1,3sin2xcos2x+2sin4x

令g(x)=ax-----0<x<-,mi则tgz0)x=a---------------------

cos、I2)''cos3x

"八'3sin20cos20+2sin40八

汪意至Ug(0)=a----------z---------=a>0,

cos0

若V0vx<5，/(x)>0,则g(x)在里)上单调递增，

注意到g(0)=0,所以g(x)>g(0)=0,EP/(x)+sinx>0,不满足题意；

若30<%<5，g'&)<0,则g'(0)g'K)<0,

所以在(。，£)上最靠近x=0处必存在零点百e(0卷｝使得g。)=0，

此时g'(x)在(0,石)上有g'(x)>0,所以g(x)在(。小)上单调递增，

则在(0,芭)上有g(x)>g(0)=0,g|J/(x)+sinx>0,不满足题意；

综上：a<0.

【点睛】关键点睛：本题方法二第2小问讨论。>0这种情况的关键是，注意到g'(0)>0,

从而分类讨论g'(x)在(0段)上的正负情况，得到总存在靠近工=0处的一个区间，使得

g")>0,从而推得存在g(x)>g(0)=0,由此得解.

答案第5页，共29页

5.(1)P=2

(2)12-872

【分析】(1)利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出

⑵设直线用N：》=〃"〃，加(西,乂),77(%,%)，利用人”.孙=0，找到"?，〃的关系，以

及△MFN的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值.

【详解】⑴设A(”JB(3),

由「2°可得,y2-4py+2p=0,所以以+为=40,以力=2p,

y=2px

2

所以|『+(力-%)2=-媪=yl(yA+yB)-4yAyB=4而，

即2/一2一6=0,因为〃>0,解得：〃=2.

(2)因为/(1,0),显然直线MN的斜率不可能为零，

设直线MN：x^my+nt”(内,凶,

(y2=4x

由《可得，y2-4my-4n=0,所以，X+%=4m,y跖=-4〃，

[x=my+n

△=16m2+16/1>0^/n2+n>0>

因为尸M/N=0，所以(内_1)(毛_1)+乂必=0，

即(，町[+〃-1)(，佻+〃.=0，

亦即(,P+]),%+〃?("―1)(%+%)+(〃—I)?=0，

将乂+必=4肛yy2=-4n代入得，

4/w2=n2-6w+l»4(/n2+«)=(/!-I)2>0,

所以〃wl,且〃2-6〃+120,解得〃N3+2&或〃43-2四.

设点尸到直线MN的距离为"，所以1=上;工，

yj\+m2

22

|MN\=J(芭-w)2+(y-％)2=J1+二Iy(-),21=Vl+/n716/n+16n

答案第6页，共29页

所以加小的面积S=』x|MN|xd=!><,2，1+川|〃_1|=(〃_1)2,

而〃23+2&或〃43-2上，所以，

当〃=3—2a时，AA/FN的面积5„“（2-2&『=12-8&.

【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到八〃的关系，一是为了减元，二是通过

相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积

的最小值.

(2)pcos^+psin^-3=0

【分析】（1）根据，的几何意义即可解出；

（2）求出直线/的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可解出.

【详解】（1）因为/与力轴，》轴正半轴交于A8两点，所以］vav兀，

21

令x=0,”------，令y=0,G=一一：—,

cosa'sina

所以1PAl|PB|=hJ==^—=--=4,所以sin/=±l,

sin«cosasin2a

即加=4十而，解得a=四+'而/ez,

242

因为?<a〈冗，所以。=学.

（2）由（1）可知，直线/的斜率为tana=-1,且过点（2,1）,

所以直线/的普通方程为：y_l=-（x-2）,即x+y—3=0,

由x=Qcose,y=〃sin。可得直线［的极坐标方程为。8se+〃sin，-3=0.

7.⑴（衿）

【分析】（1）分和工讨论即可;

（2）写出分段函数，画出草图，表达面积解方程即可.

答案第7页，共29页

【详解】(I)若xWa,贝ij/(x)=2a-2x-a<x,

即解得=,即二

33

若％>巴则/(x)=2x-2a-a<x,

解得xv3a,即avx<3a,

综上，不等式的解集为序3。).

\-2x+ayx<a

⑵/(x)=&、.

\29x-3a,x>a

画出fM的草图，则f(%)与方轴围成MBC,

认纥的高为。，够，0)，8仔,()],所以|A8|二a,

所以S"c=g|4刚。=；/=2,解得a=2.

(2)证明见解析.

【分析】(1)根据题意可得，sinC=sin(C-A),再结合三角形内角和定理即可解出；

(2)由题意利用两角差的正弦公式展开得

sinC(sinAcosZ?-cosAsinB)=sinB(sinCeosA-cosCsinzl),再根据正弦定理，余弦定理化

简即可证出.

【详解】(1)由A=2〃，sinCsin(A-B)=sinAsin(C-A)可得，sinCsinB=sinBsin(C-A),

而0<8<],所以sin8c(0,l),即有sinC=sin(C-A)>0,而0VC<TI,0<C-A<7t,显

答案第8页，共29页

然CwC—A,所以，C+C-A=JC,而A=28,A+B+C=n,所以C==.

o

（2）由0皿。5皿（4一8）=5析85足（。一4）可得，

sinC（sin4cos8-cosAsin8）=sinB（sinCcosA-cosCsinA）,再由正弦定理可得，

accosB-bccosA=bccosA-abccsC,然后根据余弦定理可知，

2

；（q2+c_%一；e2+e2_。2）=：（82+/—a2）_g（q2+力2_/）,化简得：

加2=从+。2,故原等式成立.

9.（1）证明详见解析

⑵且

4

【分析】（1）通过证明ACJL平面8EO来证得平面BED_L平面ACQ.

（2）首先判断出三角形AFC的面积最小时产点的位置，然后求得尸到平面A6C的距离,

从而求得三棱锥F-ABC的体积.

【详解】（1）由于AO=C。，E是AC的中点，所以AC_LD£

AD=CD

由于＜8。=8。，所以AAOB二△CD8,

NADB=ZCDB

所以A5=C8,故AC_LBE,

由于OEc8E=E,DE,BEu平面BED,

所以AC_L平面BEO,

由于ACu平面AC。，所以平面8a，平面ACO.

（2）［方法一］:判别几何关系

依题意AB=BD=BC=2,ZACB=60°,三角形ABC是等边三角形，

所以AC=2,AE=CE=1,8E=75,

由于AO=8,AO_LC。，所以三角形AC。是等腰直角三角形，所以DE=1.

DE2+BE?=BD?，所以小_LBE，

由于ACcBE=E,ACBEu平面ABC,所以DEI平面ABC.

由于△ADBNACDB,所以N尸8A=NH5C,

答案第9页，共29页

BF=BF

由于，N"84=NF8C,所以力而三尸BC,

AB=CB

所以A尸二b,所以E产1AC,

由于S..c=：4CE尸，所以当E尸最短时，三角形AFC的面积最小

过E作律_L8。，垂足为尸，

在RIZXBE3中，［BE・DE=!BD-EF,解得七尸二立，

222

所以OF=}一住)=1,BF=2-DF=|>

kBF3

所以而十

FHBF3

过尸作「H_L5E,垂足为〃，则FH//DE,所以"/_L平面A8C,且一=—=",

DEBD4

3

所以"7==,

4

所以％-A8c=1s.A8c.FH=(x；x2x石、1=乎.

［方法二］:等体积转换

\'AB=BC,ZACB=60°,AB=2

二•43C是边长为2的等边三角形，

BE=yli

连接防

MDB"CDB:.AF=CF

EF±AC

.,.在ABED中，当时，AAFC面枳最小

答案第10页，共29页

AD1CD,AD=CD,AC=2,E为Ag点

/.DE=1DE2+BE2=BD2

：.BE1ED

若EF1BD,在ABED中，EF=BEDE=正

BD2

BF=JBE2-EF2=-

2

1G._13>/3075

,,^F-ABC=*A-BEf+%-BEF

3的384

10.(l)0.06m2:0.39m3

(2)0.97

⑶1209mI

【分析】（1）计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该林

区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

（2）代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值；

（3）依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的

总材积量的估计值.

【详解】（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值t=瑞=0.06

样本中10棵这种树木的材积量的平均值9=常=0.39

据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06m2,

平均一棵的材积量为0.39n?

1010

-元)(苗-力Zvi阿

⑵患：(i)2MH

0.2474-10x0.06x0390.01340.0134

,■—，—Q--------=0.97

7(0.038-10x0.062)(1.6158-10x0.392)V0.00018960.01377

贝人0.97

答案第11页，共29页

(3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Nm，

又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，

可得；9=^^'解之得y=1209n?.

则该林区这种树木的总材积量估计为1209m'

11.(D-1

(2)(0,同

【分析】(1)由导数确定函数的单调性，即可得解；

(2)求导得广⑴二回芈二D,按照。40、0<。<1及结合导数讨论函数的单调性,

求得函数的极值，即可得解.

【详解】(1)当〃=0时，/(^)=---lnx,x>0,则〃力=4」==，

XXXX

当x«0,l)时，/^x)>0,/(X)单调递增；

当工«1,也)时，r(x)<o,/(”单调递减；

所以/(x)g=f(l)=T；

(2)/(x)=ox---(t7+l)lnx,x>0,则八力二4+士—竺!=(”斗工。,

XXXX

当时，ar-l<0,所以当xe(0,l)时，八")>0,/(同单调递增；

当时,r(x)<o,/(力单调递减；

所以/(力皿=/(1)=4-<°，此时函数无零点，不合题意；

当Ovavl时，在(04),(5,+8)上，/^x)>0,/(%)单调递增；

在(1，£|上，r(x)<0,“力单调递减；

又/⑴=。-1<0,

由(1)得一+lnxNl,BPln->l-x,所以lnx<x』n五<&』nx<26,

xx

当x>［时，f(x)=ax---(a+\)\nx>ax---2(a+\)y/x>ax-(2n+3)y/x,

答案第12页，共29页

则存在加=（3+2]/，使得/»>0,

所以/（“仅在（5，E）有唯一零点，符合题意；

当々=1时，,（力=组工20,所以/（力单调递增，X/（l）=6r-l=0,

所以/（X）有唯一零点，符合题意；

当°>1时，%,在上，户"）>0,〃力单调递增;

在仁』）上，Z（x）<0,""单调递减；此时.“1）=。-1>0,

由（1）得当0<xvl时，lnx>l--,lnVx>l--，，所以lnx>2

xy/x

f{x）=ax--~[a+\）\r\x<ax---2{a-\-\V1—!=|<--+

XX\yJx）xy/x

存在〃=元使得/（〃"°，

所以/（x）在（。3）有一个零点，在弓,+8）无零点，

所以/（'）有唯一零点，符合题意；

综上，4的取值范围为（0,+8）.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问

题转化为函数的单调性与极值的问题.

⑵⑴“I

(2)(0-2)

【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可;

（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.

【详解」（1）解：设椭圆E的方程为〃比2+42=1

答案第13页，共29页

4n=1

则＜9i，解得加=：,〃=：，

—m+n=134

14

所以椭圆E的方程为：工+片=1.

43

32

(2)A(0,-2),B(-,-l)»所以AB:y+2=-x,

23

①若过点尸(1，一2)的直线斜率不存在，直线x=1.代入-4-21=1,

34

可得M(l,-孚)，N(l,半)，代入A3方程y=：%-2,可得

T(-后+3,-半)，由=77/得到H(-2x/6+5,-平)•求得HN方程:

y=(2+半)x—2,过点(0,-2).

②若过点尸(1，-2)的直线斜率存在，设丘-y-(&+2)=0,M(和y),N(x2,%).

kx-y-(k+2)=0

联立x2y2，得(3k2+4)x2-6k(2+k)x+3k(k+4)=0,

——+—=1

34

=612+k)一8(2+k)

x+x力.238+4

}23k2+4

可得，

3k(4+A)4(4+42-2公)'

-3A2+4%力=—3^+4—

口一24人小

且凡为+当另=领彳()

AX3v

联立〈2，可得丁(Y_+3,y),//(3y+6-工］,凹).

［广针-22

可求得此时HN,y-y2=；------(x-x2),

3yl+6一而―/

将(0,-2),代入整理得2(x+x2)-6(y1+y2)+^y2+x2y1-3^72-12=0,

将(*)代入，得242+12公+96+482-242-48-482+24公一36公一48=0,

显然成立，

综上，可得直线”N过定点(0,-2).

【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：

①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

答案第14页，共29页

13.⑴氐+y+2m=0

⑵HH

【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；

（2）方法一：联立/与。的方程，采用换元法处理，根据新设。的取值范围求解机的范围

即可.

【详解】（1）因为/：psin^+yj+/n=O,所以gpsin®+等/cos6+m=0,

又因为夕•sine=y，acose=x,所以化简为+等工+m=。，

整理得/的直角坐标方程：J，x+y+2机=0

（2）［方法一］:【最优解】参数方程

联立/与。的方程，即将x=Gcos2f,y=2sin/代入石x+），+2m=0中，

可得3cos2/+2sin/+2m=0=3（1-2sin2/）+2sin/+2m=0,

化简为-bsin?，+2sinf+3+2〃?=0,

要使/与C有公共点,则2m=6sin2-2sinf-3有解，

令sinf=a,则令/（a）=6/-2。-3,（TWaWl）,

对称轴为。=。，开口向上，

6

••・/（砌皿=/（T）=6+2-3=5,

I1719

/（aU=/（6）=6-6-3=-T，

19F195'

:.~<2,n<5,即加的取值范围为.

［方法二］:直角坐标方程

由曲线C的参数方程为卜=£8s2'，，为参数，消去参数，可得/=一挛X+2,

y=2sinr3

>/3x+y+2m=0

联立42b，f#3/-2v-4/n-6=0（-2<>'<2）,即

y2=---x+2

I3

答案第15页，共29页

4〃2=3y2_2y-6=3(y-g)号，即有号W4mG0,即*•."?的取值范围是

Lr_1>22,，2j,

【整体点评】方法一：利用参数方程以及换元，转化为两个函数的图象有交点，是该题的最

优解；

方法二：通过消参转化为直线与抛物线的位置关系，再转化为二次函数在闭区间上的值域,

与方法一本质上差不多，但容易忽视》的范围限制而出错.

14.(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)利用三元均值不等式即可证明；

(2)利用基本不等式及不等式的性质证明即可.

【详解】⑴证明：因为a>0,b>0,。>0,则1>0，涓>0，1>0，

所以/+庐+C%心涓艰,

3

即(如成4,所以上J,当且仅当/=/=1,即a=b=c=4时取等号.

(2)证明：因为。>0,b>0,c>0,

所以力+c22\[bc>a+c>2>/ac,a+b>2\[ab>

333

所以，-4」_=上_,

b+cl4bc2>Jahca+c2\fac2yJabca+h2-Jab2\[abc

323333

:

a+力+cv/+b+―出+庐+^一1

b+ca+ca+h24abe2>Jabc2\[abc2\labc2\[abc

当且仅当。=b=c时取等号.

15.(1)x=10J=10.3,5,2=0.036,=0.04；(2)新设备生产产品的该项指标的均值较旧设

备有显著提高.

【分析】(1)根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.

答案第16页，共29页

(2)根据题目所给判断依据，结合(1)的结论进行判断.

…-9.8+103+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.7，八

［详解］(］)4=-------------------------------------------=10,

-10.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5…

y=-------------------------------------------------=10.3,

10

20.22+0.32+0+0.22+0.12+0.22+0+0.12+0.22+0.32八八“

s；=--------------------------------------------------------------------------=().036,

110

20.22+0.12+0.22+0.32+0.22+0+0.32+0.22+0.12+0.22八〜

s；==0.04.

10

(2)依题意，y-x=0.3=2x0.15=2\/0.152=2^0.0225>2^°'03^0,04=2V0.0076,

,所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.

16.（1）证明见解析；（2）也.

3

【分析】（1）由尸。，底面ABCD可得PD/4W,又由线面垂直的判定定理可

得AM1平面PBD,再根据面面垂直的判定定理即可证出平面PAM_L平面PBD；

（2）由（1）可知，AM由平面知识可知，^DAB-^ABM,由相似比可求出人力，

再根据四棱锥P-A8C。的体积公式即可求出.

【详解】（1）因为尸£）_L底面A8C£）,AMu平面A8CO,

所以

又必J_AM,PBPD=P,

所以平面产斑＞,

而AMu平面EW,

所以平面AIM_L平面PBD.

（2）［方法一］:相似三角形法

由（1）可知

〒日ox4。AE

于是AABD^BMA,故F=二7.

ABBM

因为BM=；BC,AD=BC,AB=l,所以^8。?=1,即§C=&.

答案第17页，共29页

故四棱锥P-A8C。的体积丫=1483。/。=巫.

3