2024-2025学年福建省福州市福建师大附中高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建师大附中高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知数列{an}为等比数列，a5=1，aA.9或−9 B.9 C.27或−27 D.−272.若方程x2m−y2m+1A.m<−1或m>0 B.m>0

C.m<−1 D.−1<m<03.如果实数x，y满足(x−2)2+y2=3A.33 B.32 C.4.与圆C1：(x+2)2+y2=1和圆A.双曲线的一支 B.椭圆 C.抛物线 D.圆5.如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，点D，E分别为PA，PC的中应，AP=4AM，PA=AC=2AB=4，则点M到平面BDE的距离是(

)A.12

B.22

C.6.某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元．

设该设备使用了n(n∈N∗)年后，年平均盈利额达到最大值(盈利额等于收入减去成本)，则n等于A.6 B.5 C.4 D.37.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x−4y=0交椭圆EA.(0,32] B.(0,8.已知b是a，c的等差中项，直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y−1=0交于A，B两点，则A.2 B.3 C.4 D.2二、多选题：本题共3小题，共104分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知空间中三个向量a=(1,2,0)，b=(−1,2,1)，c=(−1,−2,1)，则下列说法正确的是A.a与c是共线向量

B.与a同向的单位向量是(55,255,0)

C.c在a10.已知有穷数列{an}共有4项，前n项和为SnA.若这个数列是等差数列，则a1+a4=a2+a3

B.若a1+11.已知曲线C：x2+y|y|=1，若直线y=kx+b与C的交点的可能个数的集合记为A(k,b)，则(

)A.C关于y轴对称

B.A(k,−1)={1，2}

C.A(k,−2k)={1，2}

D.“A(k,2)={3}”的充要条件是“3三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。12.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点M在C上，且|MF|=3，则M到y轴的距离为______．13.已知数列{an}中，a1=2，an+114.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，两条直线l1，l2均过坐标原点O，l1和C交于M，N两点，l2和C交于P四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

倾斜角为60°的直线l过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点．

(1)求抛物线的准线方程；

(2)求△OAB的面积(O为坐标原点)．16.(本小题12分)

记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2=7，S5=45．

(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn17.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，DP=AD，E，F分别在棱PC，PB上，E是PC的中点．

(1)若F是PB的中点，求直线EF与平面EDB所成的角的余弦值；

(2)若EF⊥PB，求平面DEF与平面ABCD的夹角的余弦值．18.(本小题12分)

如图，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(1,22)，且E的离心率为22.直线l：y=x+t与E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交E于C，D两点．

19.(本小题12分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an−2n+1，数列{bn}满足bn=log2ann+1．

(1)证明：{参考答案1.B

2.A

3.C

4.A

5.B

6.D

7.A

8.C

9.BC

10.ACD

11.ABD

12.2

13.1214.215.解：(1)已知抛物线C：y2=4x，

此时抛物线C的焦点在x轴上且p=2，

则抛物线的准线方程为x=−1；

(2)易知抛物线C的焦点F(1,0)，

因为倾斜角为60°的直线l经过抛物线焦点，

所以直线AB的方程为y=3(x−1)，

联立y=3(x−1)y2=4x，消去y并整理得3x2−10x+3=0，

解得x1=1316.解：(1)设{an}的公差为d，因为S5=45，

所以S5=5(a1+a5)2=5a3=45，解得a3=9，

又a2=7，所以d=a3−a217.解：(1)以D为原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系D−xyz，

不妨设DC=2，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，

由题意，F是PB的中点，则F(1,1,1)，

故EF=(1,0,0)，DB=(2,2,0)，DE=(0,1,1)，

设平面EDB的法向量为m=(x1,y1,z1)，

则DB⊥mDE⊥m，则DB⋅m=2x1+2y1=0DE⋅m=y1+z1=0，

令y1=−1，得m=(1,−1,1)；

记EF与平面EDB所成角为θ，

则sinθ=|m⋅EF||m|⋅|EF|=13×1=33，

故cosθ=1−sin2θ=63，

18.解：(1)根据题意得，a2−b2=c2ca=221a2+12b2=1，

解得a2=2b2=1c2=1，

所以椭圆E的标准方程为x22+y2=1．

(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4)

联立y=x+tx2+2y2=2，整理得3x2+4tx+2t2−2=0，

所以x1+x2=−43t，x1x2=2t19.解：(1)证明：因为Sn=2an−2n+1，

当n=1时，