6类解三角形公式定理解题技巧（海伦、射影、角平分线、张角、倍角、恒等式）-高考数学必考模型归纳（解析版）

题型136类解三角形公式定理解题技巧

(海伦、射影、角平分线、张角、倍角、恒等式)

I技法01海伦公式的应用及解题技巧

|技法02射影定理的应用及解题技巧

|技法03角平分线定理的应用及解题技巧

|技法04张角定理的应用及解题技巧

|技法05倍角定理的应用及解题技巧

；技法0610类恒等式的应用及解题技巧

技法01海伦公式的应用及解题技巧

喟3•常见题型解读

海伦-秦九韶公式能够解决已知三边的三角形的面积求解，是解三角形中必不可少的解题利器，也会作为

材料题在高考及模考中出现，需加以练习.

知识迁移

海伦-秦九韶公式

三角形的三边分别是。、b、C,则三角形的面积为S=Jp(p—a)(p—b)(p—c)

a~I-h~i-c'

其中p=--------,这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。

2

我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式：

2

"a2+b2-c2>

S-a2b2-

4、2,

02

跟我学•解题思维剖析

例1.(2022・浙江・统考高考真题)我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把

这种方法称为“三斜求积"，它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式，就是

5=；*_广„,其中小人,。是三角形的三边，S是三角形的面积.设某三角形的三边

a=\/2,b=^3,c=2则该三角形的面积S=

技巧点拨o

【详解】因为S=£C——丁］，所以S=,4x2-［叱=1

故答案为：叵.

4

吃端卜知识迁移强化

1.(2022•全国,校联考模拟预测)在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用

三角形的三边长求三角形的面积.若三角形的三边分别为mb,c,则其面积S=Jp(p_a)(p_b)(p_c),

ci-\-hc

这里。=.已知在_ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a-6,b+c=10,则「.ABC

的面积最大值为().

A.6A/3B.80C.10D.12

【答案】D

【分析】根据给定信息列出关于6的函数关系，再借助二次函数计算作答.

［详解1依题意，P="+：=8,贝I］S=58义2义(8—b)(b-2)=4A/-^2+10^-16=4,-色-5『+9,

所以6=5,5max=12,

所以一ABC的面积最大值是12.

故选：D

2.(2023上•河北石家庄•高三校考阶段练习)海伦公式是利用三角形的三条边的边长a,b,c直接求三角

形面积S的公式，表达式为：S=Jp(p_a)(p_b)(p_c)(其中p="|±£)；它的特点是形式漂亮，便

于记忆.中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了"三斜求积术”，但它与海伦公式完全等价，因此海

伦公式又译作海伦-秦九韶公式.现在有周长为10+2近的“ABC满足sinA:sin8:sinC=2:3:g',则用以上

给出的公式求得一ABC的面积为()

A.8近B.4币C.673D.12

【答案】C

【分析】由正弦定理得三角形三边之比，由周长求出三边，代入公式即可.

【详解】0sinA:sinB:sinC=2:3:A/7，Ela:b:c=2:3:J7，

0.ABC周长为1O+2J7,即a+b+c=10+2V7,

回“=4,b=6,c=2夕，回〃=4+6+26=5+0,

2

0ABC的面积S=J(5+⑺(1+4)(4_1)(5-⑺=6A/3.

故选：C.

3.(2023•海南•校联考模拟预测)古希腊的数学家海伦在他的著作《测地术》中最早记录了"海伦公式J

S=qP(p-a)(p-b)(p-c),其中°="+；,小b,c分别为ABC的三个内角A,B,C所对的边，该

公式具有轮换对称的特点.已知在‘ABC中，sinA:sin3:sinC=8:7:3,且一ABC的面积为126，则()

A.角A,B,C构成等差数列B..ABC的周长为36

C.ABC的内切圆面积为gD.8C边上的中线长度为亚

【答案】ACD

【分析】利用正弦定理和余弦定理可知8=与，满足A+C=]=2B,即A正确；根据海伦公式可得a=8立，

所以周长为18近，故B错误；由等面积法可知内切圆的半径/=半，可知C正确，由利用余弦定理可得BC

边上的中线长度为底，即D正确.

【详解】对于A,由正弦定理可知。力:。=8:7:3,

设a=8左，b=7k,c=3k(k>0),

^22_/282+32-72_1

由余弦定理可得cosB=

lac2x8x32

所以3A+C=y=2B,故角A,B,。构成等差数列，故A正确;

对于B,根据海伦公式得〃=9左，S=49kxkx2kx6k=6®°=\2m,得k=血,

所以a=8直，b=1四,c=30，所以-1ABC的周长为18近，故B错误;

对于C,设“C内切圆的半径为厂，则！xl8扬=12百，得r=述,

23

8几

所以一ABC的内切圆面积为兀厂,故C正确；

对于D,设3C的中点为D,则3。=4近，

在ZXABD中，AD=^BEr+AB1-2ABXBDCOS60=726，故D正确.

故选：ACD

技法02射影定理的应用及解题技巧

喟线♦常见题型解读

三角形中隐藏着许多性质，比如三角形射影定理就能够在解三角形中简化计算过程，但是在考试中解答

题不能直接使用，需要推导。不少高考原题用射影定理可以快速化简得出答案，在一些小题中，应用三

角形射影定理能够快速得到答案，需强化练习

知识迁移

射影定理a=Z?cosC+ccos3,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA

02

例2.（全国•高考真题）AABC的内角A,民C的对边分别为6,c,若2Z?cos3=acosC+ccosA,则8=

解题

在她5。中，acosC+ccosA=b,团条件等式变为2bcos5=。，［EcosB=^.

又0<B<n,

吃瓢•知识迁移强化

1.(2023•上海浦东新•统考二模)在团ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c,5acosA=Z?cosC+ccosB,

贝!Jsin2A=.

【答案】幽

25

【分析】由正弦定理得到cosA=(,求出正弦，利用二倍角公式求出答案.

【详解】5QCOSA=〃COSC+CCOS5,由正弦定理得5sinAcosA=sinjBcosC+sinCcos3=sin(jB+C)=sinA,

因为AE(0㈤，所以sinAwO,故cosA=(,

由于AG(0,TC),故sinA=Vl-cos2A=~~~，

贝1Jsin2A=2sinAcosA=2x—x?@=WE.

5525

故答案为：典

25

2.(全国•高考真题).ABC的内角4B,C的对边分别为o,b,c.已知2cosc(acosB+bcosA)=c.

⑴求角C；⑵若""S"吟求MBC的周长.

【答案】(1)c=|(2)5+不

【详解】试题分析：(1)根据正弦定理把2cosc(〃cosB+Z?cosA)=c化成2cosc(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,

利用和角公式可得cosC=《,从而求得角C；(2)根据三角形的面积和角C的值求得必=6,由余弦定理求

得边，得到AABC的周长.

试题解析：(1)由已知可得2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC

171

2cosCsin(A+B)=sinCncosC=—^>C=—

(2)~absinC~>\/3=~ab•ab=6

又二a2+b2—2abcosC=c2

a2+Z?2=13>.'.(a+b)2=25=>a+b=5

・・・AABC的周长为5+近

考点：正余弦定理解三角形.

3.(2023•全国,统考高考真题)记ABC的内角A,2,C的对边分别为。，"c,已知」十。一。二2.

cosA

⑴求Ac；

,acosB-bcosAb〕…

⑵若——―r--二1，求4BC面积•

acosB+PCOSAc

【答案】（1）1

⑵且

4

【分析】（1）根据余弦定理即可解出；

（2）由（工）可知，只需求出sinA即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出.

【详解】（1）因为a2=/+c2-26ccosA,所以〃+C?一片=26ccosA=2儿=2,解得：bc=l.

cosAcosA

,、〃cos5—bcosAbsinAcosB-sinBcosAsinB

（2）由正弦定埋可得-----------------=-----------------------；一

acosB+bcosAcsinAcosB+sinBcosAsinC

sin（A-B）sinBsin（A-B）-sinB】

sin（A+B）sin（A+B）sin（A+B）

变形可得：sin（A——sin（A+=sinB,即—2cosAsin3=sin3,

而。vsinBWl,所以cosA=—1,又OvAv兀，所以sinA=走，

22

故.ABC的面积为&ABC」）csinA=Llx^=^.

Ac2224

rA3

4.（上海虹口•高三上外附中校考期中）在AABC中，acos2—+CCOS2—=—Z?,贝!!（）

222

A.a,b,c依次成等差数列

B.b,a,c依次成等差数列

C.a,c,b依次成等差数列

D.a,b,。既成等差数列，也成等比数列

【答案】A

【分析】根据已知条件，利用三角函数余弦的二倍角公式以及正弦定理逐步化简可得出a+c=%,即可求

出。、b、c关系.

【详解】设R是三角形AABC外接圆半径，0«COS2-+CCOS2-=1/7,

222

〃（l+cosC）c（l+cosA）3Qrl,

[?]-------------+------------L=—b,EPI+QCOSC+C+CCOSA=3Z7,

222

即a+c+(^zcosC+ccosA)=3b即a+c+(〃cosC+ccosA)=2b+b

〃+c+2R(sinAcosC+sinCcosA)=2Z?+2RsinB

tz+c+27?sin(A+C)=2Z?+27?sinB

团A、B、。在三角形A5c中，

所以sin(A+C)=sin5,所以a+c+2Rsin(A+C)=2Z?+2Rsin3

得至!Ja+c=2Z?,

即〃，b,。成等差数列,

故选：A.

【点睛】本题主要考查学生对三角函数余弦的二倍角公式、正弦定理以及等差数列性质的熟练掌握，解题

时要注重整体思想的运用，望同学们平常多加练习.

5.（2023・全国•高三专题练习）在中，三个内角A、B、。所对的边分别为，、b、c,若」15。的

acosB+bcosA八八

面积5ABe=2A/5,a+b=6,--------------------=2cosC,则。=

c

【答案】2#>

【分析】由正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简"8s'+6cos4=2cosC,由C的范围特殊角的三

C

角函数值求出C,代入三角形的面积公式列出方程，利用余弦定理列出方程，变形后整体代入求出C的值.

acosB+bcosA口„%—一

［详解］由-------------=2cos。可得<7cosB+Z7?cosA=2ccosC,

在「ABC中，由正弦定理得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC

sin(A+B)=2sinCcosC,

A+B=乃一C,

sin(A+5)=sinC=2sinCcosC,

sinCw0,cos。=；，

jr

由0<Cv万得，C=-

3

由S=2A/3得—ctbsinC—2y/3,

得"=8,

a+b=6,

团由余弦定理得/=«2+z?2-2abcosC=(a+b)2-2ab-2abcosC=36-16-S=12

解得c=2A/3，

故答案为：2道.

技法03角平分线定理的应用及解题技巧

需高N•常见题型解读

在解三角形中，应用角平分线定理及其变形公式能做到快速求解及其秒解，也是高考命题的高频考点,

需重点学习.

知识迁移

角平分线定理

4R

(1)在AABC中，4。为NBAC的角平分线，则有——

BD

,NBAC

2/?xcxcos------

(2)

AD=-------2_

b+c

(3)AD2=ABxAC-BDxCD(库斯顿定理)

ABuABD

⑷IE°ACD

02

跟我学•解题思维剖析

例3.（2023•全国•统考高考真题）在抽。中，ABAC=60°,AB=2,BC=y/6,的角平分线交8c于

D,则位＞=

解题

技巧点拨

由余弦定理可得，22+ZJ2-2X2XZ，XCOS60=6,因为b>0,解得：b=l+0,

文NBAC

2Z?XCXCOS2计算即可，故答案为：2.

AD——

b+c

你来练•知识迁移强化

1.（2023•全国•高三专题练习）aABC中，边3C内上有一点。，证明：AD是NA的角平分线的充要条件

【答案】证明见解析

【分析】证明两个命题为真：一个是由AD是/A的角平分线证明#=黑，一个是由*=黑证明AD

ACDCAC/yCz

是ZA的角平分线.

【详解】证明：设。：皿是々的角平分线,q；

如图，过点6作助〃AC交AD的延长线与点E,

⑴充分性（1办若N=2,则N=E,所以N2心，所以回的又△加盟3,所以嘉器,

由、1ABBD

所以法=而

AZ?RDDC,RD

(2)必要性(qnP)：反之，^―=-,则EI8E7/AC,0ABDE00CPA,0—=—,所以AB=3E,

ACDCACDC

所以N2=NE,又BE11AC,所以N1=NE,所以N1=N2.

ABBD

由（1）（2）可得，AD是-A的角平分线的充要条件是

ACDC

【点睛】本题考查充分必要条件的证明，要证明P是9的充要条件，必须证明两个命题为真：即充分性：。oq,

必要性：qnp.

2.（2023春•宁夏银川•高三校考阶段练习）在中，角A的角平分线交3c于点。，且A8=4,AC=2,

则A。等于（）

59

A.-AC+-ABB.-AB——AC

3333

C.-AC--ABD.-AC+-AB

3333

【答案】D

【分析】利用角平分线定理以及平面向量的线性运算法则即可求解.

【详解】因为AD是ABC的角平分线，所以=

ABBDAC_DC

所以由正弦定理得

sinZADBsinABADsinZADC~sinZCAD

又因为sinNADN=sin/ADC,sinZBAD=sinZCAD,

所以竺二生，即股=空二百=2,所以AD=A5+5D=AB+25c

BDDCDCAC23

r\-Ir\r\i

=AB+-（AC-AB\=-AB+-AC,upAD=-AC+-AB.

3、>3333

故选：D

3.（2023春•湖北•高一赤壁一中校联考阶段练习）在ABC中，内角A,B,。所对的边分别是b,c,

若从=亍，〃=7,b=3,则角A的角平分线AD=.

【分析】运用正弦定理和两角和差公式求解.

正,ZA=芋,.都是锐角,

143

cosB=—,sinC=sin----B=sin—cosB-cos—sinB=------,

14I3J3314

sinZADC=sin（B+ZDAB）=

ADACsinC15

在ZW）。中，由正弦定理得:/.AD=AC»

sinCsinZADCsinZADCT

故答案为：-

O

4.（2023春•安徽滁州•高一统考期末）在二ABC中，角A,B,。所对的边分别为。，b,c已知

asinA-bsinB-csinC-bsinC=O.

⑴求角A的大小；

（2）若AB=5,AC=3,是0ABe的角平分线，求A。的长.

【答案】⑴■

【分析】（1）先利用正弦定理角化边，再利用余弦定理即可得到答案;

（2）根据SABC=SABD+SAC"，再利用三角形面积公式得到关于AD的方程，解出即可.

【详解】（1）由正弦定理可知〃-〃-。。=床.

由余弦定理可得cosA="ci-be_1

2bc2bc~~2

又Ae(CU),所以A=(.

(2)由题意知SABC=SAB0+SACD

]2冗17T1TT

所以一xABxACxsin——=—xABxADxsin—+—xACxADxsin—,

232323

LU—x5x3x^-=—x5xA£)x^-+—x3xA£)x^-,

222222

解得4。弋.

o

技法04张角定理的应用及解题技巧

叫曾考•常见题型解读

在解三角形中，应用张角定理能做到快速求解及其秒解，也是高考命题的高频考点，需重点学习.

知识迁移

张角定理则2+包吧=迦空0

ABACAD

02

跟我学•解题思维剖析

例4-1.(内蒙古呼和浩特•统考一模)如图，已知AQ是AABC中/54c的角平分线，交3C边于点£>.

AB_BD

(1)用正弦定理证明:耘一而;

(2)若NB4c=120。，AB=2,AC=\,求AZ)的长.

［解题

技巧点拨o

9

先用面积之和来证明张角定理，然后直接由张角定理求得AD的长为冷.

o

例在中，角、B所对的边分别为、b已知点。在边上,

4-2.1tAA、Ca、c,

AD1AC,sinABAC=3纥AB=3屈,AD=3,则CD=

3--------------

解题

技巧点拨

sinZBACsinZBADsinZDAC

------=--------1--------

2后

丁

3A/2

2a-cosABAC1

9AC372

2V2__31

~9~~^C+3^2

AC=3近

.-.CD=^AD2+AC2=3石

你来练•知识迁移强化

1.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,c=4,zSXC=120°,ABAC的角平分线交边

BC于点D,贝IAD=

解析由张角定理，得C0SNB4D制偿+匀，即1=KT+T)!解得AD=i

2.在ABC中，角A、5、C所对的边分别为。、反c,AD是ABAC的角平分线，若

ABAC=y,|AD|=273，则2b+c的最小值为.

【解析】如图:

AD是N5AC的角平分线

171

/BAD=ZCAD=一ABAC=-

26

sinZBACsinZBADsinND4c

由张角定理得:---------------1---------------

ADACAB

.71.71.71

sin—sin—sm—

即=_6+6

2Gb

111

.•・一+—=一

bc2

.,/I2c46/,.[2c4br.nr

2b+c=（26+c）—+—\x2=11-6>6+4J—x——=6+4^2

\bc）bc7bc

（当且仅当上=竺卸c=®时取"=”）

bc

3.（2023上•河南信阳•高二河南宋基信阳实验中学校考期末）ABC中，角A,B,C所对的边分别为4瓦c,

ZABC=120°,即_13。交AC于点。，且3£）=1,2a+c的最小值为（）

A.|B.卓C.8D.8.

【答案】B

【分析】根据题意由面积关系可得,+2=追，再结合基本不等式运算求解.

ac

【详解】由题意可知：ZABD=nO0,

因为SABC=ABD+SCBD，BP-acx^-=—xlxcx—+—xlxa，

22222

整理得4+2=退，

ac

当且仅当c=2〃=逑时，等号成立.

3

所以2a+c的最小值为鼠I.

3

故选：B.

技法05倍角定理的应用及解题技巧

・常见题型解读

在解三角形中，应用倍角定理能做到快速求解及其秒解，也是高考命题的重要考点，需重点学习.

知识迁移

倍角定理

在6ABC中，三个内角4B、C的对边分别为。、b、c,

⑴如果A=25,则有:储=/+儿，（2汝口果C=2A,则有:c?⑶如果3=2C,则有:〃=c?+ac

倍角定理的逆运用

在，ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,

⑴如果储二尸+加,则有：A=26,（2）如果0?=储+",则有:C=2A,（3）如果从=c2+ag则有：B=2C。

02

跟我学•解题思维剖析

例5.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若B=2A,a=l,b=V3,则c=

［解题

技巧点拨o

,•aB=24由倍角定理得：b2=a2+ac

2

即（百）=I2+1XC

••c=2

•知识迁移强化

1.在AABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,己知8b=5c,C=2B,则cosC=

【解析】8b=5c,令b=5,c=8,,:C=2B

由倍角定理得：c2=b2+ab,即82=52+ax5

a2+b2-c2

•••a=y,由余弦定理得：cosC=

2ab

管)2+52-82

2xx5

2.在4ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若A=2B,则的最小值为

【解析】vA=2B

由倍角定理得：a2=b2+be=b(b+c)

bb(b+c)

b+c

bc4b

=-1+

b+c4b

(当且仅当中£=:时取“=”)

bb+c/

3.△48C中，角/、B、C所对的边分别为a、b、c,若小—庐=儿,且sin/=gsmB,则角/=

【解析】•・,a2—b2=be

•••a2=b2+be

・•・A=2B

sinA=V^sinB

•••sin2B=V3sinB

即2sinBcosB=y/3sinB

vsinBH0

V3

•••cosB=——

2

0<B<7T

7T

:・B=—

6

n

A=2B=—

3

4.(2023•重庆,统考模拟预测)在锐角她中，角A,B,c所对的边分别是a,b,c,满足b2=c(c+a).

(1)证明：B=2C；

11

⑵求+3sinB的取值范围.

tanCtanB

【答案】⑴证明见详解

⑵6'J

【分析】(1)利用正余弦定理得sinA=sinC(2cos5+l),再利用两角和与差的余弦公式化简得

sin(B-C)=sinC,再根据反。范围即可证明;

1

(2)根据三角恒等变换结合(1)中的结论化简得丁=+3sinB,再求出5的范围，从而得到sin3的范

sin3

围，最后利用对勾函数的单调性即可得到答案.

【详解】(1)由"=c?及〃之=4+/—2〃CCOS5得,〃=C(2COSB+1).

由正弦定理得sinA=sinC(2cosB+l),

又A+B+C=7i,

/.sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinCcosB+sinC,

sini5cosc—cos5sinC=sinC,

/.sin(B-C)=sinC,

△81都是锐角,则8(€(0,5,8-(7€7171

2'2

:.B—C=C,B=2C,

11c.八cosCcosB「.「

(2)令y=——+3smB=------------------1-3sinB

tanCtanBsinCsinB

sinBcosC-cosBsinC_.,,sin(B-C)_.八

----------------；-------------+3sinB~--+3sinB,

si;nBsinCsinBs:inC

1

由(1)5=2。得y一+3sinB.

sinB

在锐角三角形A3C中,

71

0<A<-0<兀—(5+C)<—

22

JT71c兀

0<B<~,即.•「0<B<-,—<B<一

232

0<C<-0<C<-

22

/.sinBe,1,.令/=sinBw

］上单调递增,

根据对勾函数的性质知y=/«)=1+3,在1

I2)

11

•••y=于(t)£,4,即+3sinB的取值范围是

tanCtanB

技法0610类恒等式的应用及解题技巧

喟线♦常见题型解读

在解三角形中，应用恒等式能做到快速求解及其秒解，也是高考命题的重要考点，需重点学习.

知识迁移

三角恒等式

在AABC中，

©sinA+sinB+sinC=4cos—cos—cos—；

222

ABC

®cosA+cosB+cosC=l+4sin-sin-sin一；

222

③sin2A+sin2B+sin2C=2+2cosAcosBcosC；

(4)cos2A+cos2B+cos2C=l-2cosAcosBcosC；

.2.2Btc.A.B.C

◎sin——I-sin——bsin一=l-2sin-sin-sin一；

222222

(6)cos2—+cos2—+cos2—=2+2sin—sin—sin—；

222222

©tanA+tanB+tanC=tanA-tanB-tanC；

⑧cotA-cotB+cotA-cotC+cotBcotC=l；

不ABCABC

⑨cot——I-cot——I-cot—=cot-cot-