2024-2025学年北京市房山区高三年级上册学业水平调研数学试题+答案解析

2024-2025学年北京市房山区高三上学期学业水平调研数学试题

一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知全集U=｛]|i+l〉0｝,集合4=｛可则）

A.(1,2]B.(―1,1)U[2,+oo)

C.[1,2)D.(—1,1]U(2,+oo)

2.已知复数z满足。z=2+K则2的共辗复数是

A.-l-2iB.—1+2zC.l-2iD.l+2i

3.已知q,b,cWR，且0<b,0<c<L则()

ab

A.CL—c<b—1B.ac<bCb-a<b-aD.a+b>2A/O6

4.在（旅—3）5的展开式中，步的系数为（

A.15B.-15C.5D.-5

5.下列函数的图象中，不是中心对称图形的是（）

卜+1

A.沙=cosgB.y=x+—C.y=\x\D.y=x3—x+1

x

6.在平面直角坐标系xQy中，已知点尸（cos0,sin。），。eR，则尸到直线U=X-的距离的最大值为（）

A.1B.2C.2\/2D.3

7.已知非零平面向量a力，则”|a+6|=间+|“”是“存在非零实数入，使6=乂”的

A.充分而不必要条件B,必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7T

8.已知正三棱锥P-ABC的底面边长为2,侧面与底面所成角是工，则三棱锥P-46。的体积等于（）

21

A.-B.-C.2D.1

OO

9.已知实数a,6满足2°=Zog铲，/og2b=给出下列三个结论：

①就〉1;②2。=6;③外+1〈赢.

其中所有正确结论的序号是（）

A.①B.②C.①③D.②③

10.已知由正整数组成的集合4=｛的,。2,。3,…，。5。｝，S（4）表示集合/中所有元素的和，矶4）表示集合

A中偶数的个数.若S（A）=2025.则E（2）的最小值为（）

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A.5B.7C.9D.10

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.函数“4=MO：/)的定义域为.

12.在△ABC中，AB=1>BC=4,04=，^，则/口=；若。为8C边上一点，且/4DB=45°，

则AD=.

22

13.已知双曲线2+外=1(加九<0)的渐近线方程为y=±2*贝卜*，〃的一组值依次为.

mn

14.《九章算术》是我国古代的优秀数学著作，内容涉及方程、几何、数列、面积、体积的计算等多方面.

《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善

于织布，每天织的布都是前一天的2倍，己知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”由以上条

件，该女子第5天织布尺；若要织布50尺，该女子所需的天数至少为.

15.已知函数/(c)=-2m)(a:+m+1),g(x)=ex—1,给出下列四个结论：

①当机=1时，方程/(2)=9(乃有且只有一个实数根；

②当机e(—1,0)时，对任意areR,/⑸<0或g®)<0；

③当me(0,1)时,对任意cC(一oo,—2),f(x)g[x)<0；

④存在meH，对任意a?eR,/(①)一g(①)<0.

其中正确结论的序号是.

三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题12分)

7?\7f

(>0),f(Xi)=f(X2)=0,且M-徵|的最小值为了

(1)求3的值；

⑵设gQ)=/(2)+2COS2/-1,求函数g(功在区间0,-上的最大值及相应自变量x的值.

17.(本小题12分)

近年中国新能源汽车进入高速发展时期，2024年中国新能源汽车销售量已超过1100万辆，继续领跑全球.

某市场部为了解广大消费者购买新能源汽车和燃油汽车的情况，从某市众多4s店中任意抽取8个作为样本,

对其在12月份的新能源汽车、燃油汽车销售量(单位：辆)进行调查.统计结果如下：

1店2店3店4店5店6店7店8店

新能源汽车销售量108162320182211

燃油汽车销售量1411131921252326

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(1)若从该市众多门店中随机抽取1个，估计该门店12月份新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的概率;

(2)若从样本门店中随机抽取3个，其中12月份新能源汽车销售量不低于20辆的门店个数记为X,求X的

分布列和数学期望；

⑶新能源汽车销售量和燃油汽车销售量的样本方差分别记为S河口SQ式比较S浮口5之的大小.(结论不要求

证明)

18.(本小题12分)

已知三棱柱4BQ1中，侧面4413B为菱形，侧面441GC为正方形，AA1=2,AABBX=60°,

(1)求证：BQ〃平面

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.

(i)求证：平面

(ii)求44与平面AiBE所成角的正弦值.

条件①：EB=EAi；

条件②：BAilBiC.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

19.(本小题12分)

已知椭圆E:'+9l(a〉b>0)过点"0),离心率为彳，一条直线与椭圆£交于/、8两点，线

段AB的垂直平分线为/,M{x0,y0)为直线AB与直线/的交点.

(1)求椭圆E的方程；

(2)若3=1,直线/是否过定点？如果是，求出该定点的坐标；如果不是，说明理由.

20.(本小题12分)

已知函数f(x)=eax-X-l(a>0).

(1)当a=2时，求曲线沙=/(c)在点(0,/(0))处的切线方程；

⑵若对任意；re[0,+oo),都有/(/)》0,求实数a的取值范围；

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(3)求证：存在实数°,使方程〃乃+；=0有正实根.

21.(本小题12分)

已知｛aj和｛吼｝都是无穷数列.若存在正数/,对任意的neN*,均有*-bn\WA,则称数列｛aj与｛4｝

具有关系P(4).

(1)分别判断下列题目中的两个数列是否具有关系P⑴,直接写出结论；

①厮=2«,bn=n+2,neN*；

,dn=2x+1，neN*.

⑵设时=,bn=an+1+1,neN*,试判断数列｛厮｝与｛6/是否具有关系P(A).如果是，求出

N的最小值，如果不是，说明理由;

(3)已知｛厮｝是公差为d的等差数列，若存在数列｛5｝满足：｛4｝与｛厮｝具有关系P⑴，且与―瓦,

历―匕2，…，与01—近00中至少有100个正数，求d的取值范围.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】【分析】根据补集定义计算即可.

【详解】因为U={c|x+l〉O},集合4={/门</<2},则=(―1,1］U⑵+00).

故选：D.

2.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查复数的运算和共轨复数，考查计算能力，属于基础题.

先化简z,再利用共轨复数的定义即可求解.

【解答】

解：由题意，得2=2="少二=1—2人

所以5=1+21,

故选D

3.【答案】C

【解析】【分析】通过举反例即可判断4助，对于。根据不等式的性质即可判断.

1211

【详解】对于/：令Q=5,b=a,c=5，Q—c=0,b—1=——>所以a—c〉b—1,故4错误；

ZDZO

对于B：令Q=—2,b=—l,c=］今QC=—l=b,故5错误；

对于C：因为a<b,所以b—a>0今/^>0,所以Qx/—<bx=J—</一，故C正确;

对于。：当a<b<0时，显然不成立，令a=—2,b=—14a+6=—3<2，iK=2\/^，故。错误

故选：C.

4.【答案】B

【解析】【分析】写出二项展开式通项，令x的指数为2,求出参数的值，代入通项即可得解.

［详解］(旅-3『的展开式通项为乳+1=%(，月-(-3)fc=..(一3)4=0,1,2,•••,5),

由=2可得卜=1，故展开式中/的系数为Cl-(-3)=-15.

故选：B.

5.【答案】C

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【解析】【分析】利用函数的图像求解，选项出利用V=cos/的对称性和函数的图像变换得到

y=cos（力+g选项2：?/=7+1利用对号函数的对称性求解即可，选项C：利用绝对值函数的图像求

X

解即可，选项。：利用三次函数的对称性求解即可.

7T

【详解】选项4y=cos（力+；是由函数？/=COS6向左平移司个单位得到，因为V=COS/是中心对称图

O

形，所以沙=cos卜+1)也是中心对称图形，

选项8：/(—c)=—(c+!)=—/(2)故对号函数沙=z+1关于原点中心对称,

\X/X

选项C：易知沙=1引是偶函数，且在(-8,0)单调递减，在(0,+oo)单调递增，不是中心对称图形,

选项。：三次函数“=/—立+1关于(0,1)中心对称，因为/3)+/(_为=2.

故选：C.

6.【答案】D

【解析】【分析】分析可知，点P在圆/+/=1上，求出圆心到直线工一4一2四=0的距离，结合圆的

几何性质可得出产到直线沙=c-2班的距离的最大值.

【详解】设点PQ』)，则/+/=1,所以，点尸在圆/+/=1上，

该圆的圆心为原点，半径为1,

原点到直线x-y-2V2=0的距离为d=4^=2，

v/TTT

因此，P到直线y=x-2四的距离的最大值为2+1=3.

故选：D.

7.【答案】A

【解析】【详解】“|a+“=同+也说明a,b共线同向，能推得“存在非零实数*使b=_Xa”的，所

以充分性具备，但反过来，“存在非零实数入，使6=入屋’a,b可能共线同向，也可能共线反向，所以必要

性不具备.

故选/

8.【答案】B

【解析】【分析】根据正三棱锥的定义和侧面与底面所成二面角的定义求出三棱锥的高，代入体积公式即

可.

【详解】如下图所示：

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p

由正三棱锥的定义，底面△ABC为正三角形，且边长为2,作正三棱锥的高PO,垂足。为△A3。的中心,

连接40并延长，交BC于M点；

由正三棱锥的几何的性质可知：AMLBC,PMLBC,/PMO就是侧面P8C与底面所成二面角的平面

-7T

角，APM0=~,可得△POM是等腰直角三角形，PO=OM.

根据正三角形的性质，OM=—^即正三棱锥的高为

33

三棱锥的体积为：-x-x22xsin-x^=-.

32333

故选：B

9.【答案】D

【解析】【分析】根据函数图象及反函数的概念确定a力的关系，即可得到2。=6;结合函数图象分析a力的

范围即可得到就<1；利用a=把不等式等价转化，通过构造函数求导即可证明不等式成立.

X

J=logiX

如图，设函数沙=2"与y=/。9/的图象交于点/,函数4=/0。22与9=(])的图象交于点3,

则点/的横坐标为a,即4(a,2B(a>0),点3的横坐标为6,即3(b>l).

•.,函数沙=2,与沙=/。比2互为反函数，y=log/与期=互为反函数,

.•.点/与点8关于直线沙=/对称,

,2。=6,②正确.

2]=>logi—=1,log心=1>

27一屋

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/.0<a<I，1<^<2,/.<L①错误.

由y得2一2b+1<最等价于:+1<e°,

令2=工，则立〉2,不等式等价于工+1</,

a

设f⑺=e"—（2+1）（/〉2）,则f'（x）—ex—l>e2-l>0,

/（乃在（2,+oo）上为增函数，

/（z）>/⑵=e2-3>0,即2+1<e"，

6

...2+1<e«>③正确.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是把a力转化为函数图象交点的横坐标，利用反函数的概念得到a,b

的等量关系，逐个判断即可确定选项.

10.【答案】B

【解析】【分析】先排除有5个偶数不可能，再找一个有7个偶数的实例后可得正确的选项.

【详解】45个正奇数的和不小于1+3+5+•••+（2x45-1）=2025,

因为N中有50个不同的正整数，故/中不可能有不超过5个不同的偶数.

={1,3,5,•••,2x43-1,18,20,22,24,26,28,38},

则A中共有元素个数为43+7=50,

6x5

这50个数的和为432+18x6+Q—x2+38=1849+108+68=2025,

故E（⑷的最小值为7.

故选：B.

【点睛】思路点睛：对于组合最值问题，我们一般先找到一个范围，再验证临界值存在即可.

11.【答案】（—l,0）U（0,+oo）

【解析】【分析】根据对数的真数大于零、分母不为零可得出关于x的不等式组，由此可解得函数/（，）的

定义域.

【详解】对于函数八为=皿/，有{>0,解得/〉一1且

因此，函数/（乃的定义域为（—1,0）U（0,+oo）.

故答案为：（―l,0）U（0,+oo）.

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7T

12.【答案】—；；；；；

O

.\/6

【解析】【分析】空1使用余弦定理求解即可，空2使用正弦定理求解即可.

22222

【详解】在△/口。中，由余弦定理得Ra+c-b4+I-(A/13)1又Be(0,7r)则

2QC2X4X12

ZB=-.

3

..AD_1^6

在△46。中，由正弦定理得：斗二.所以

smBsmAADB___—

22

13.【答案】1；—4（答案不唯一，满足n=—4m即可）

【解析】【分析】根据渐近线可得打=-4皿，即可得结果.

22

【详解】因为双曲线上+外=l（mn<0）的渐近线方程为沙=±22,

mn

n

则一=一4,即八二一46，

m

例如m=l,n=—4.

故答案为：1；—4（答案不唯一，满足八=—4机即可）.

14.【答案】於21|；；；；

;9

【解析】【分析】由题意可得该女子每天织布的尺数构成一个等比数列，且数列的公比为2,由题意求出数

列的首项后可得第5天织布的尺数；再令与五（1—2“）’50,求出〃，即可得出答案.

1—2

【详解】由题意可得该女子每天织布的尺数构成一个等比数列，且数列的公比为2,前5项的和为5,

设首项为勤，前〃项和为Sn，

则由题意得S5=电?—：）=31al=5,.9=1

1—2ol

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ronon

.•95=1x24=、，即该女子第5天所织布的尺数为

O.LoJ.J_L

5

令乳(12"),50，解得：2"^311,所以？2》9.

所以若要织布50尺，该女子所需的天数至少为9.

故答案为：|^;9.

OJ.

15.【答案】①②③

【解析】【分析】画出二次函数图象和指数函数图象，根据加的不同取值范围，分析二次函数图象的分布,

即可求解.

【详解】对于①，当m=l时，/(,)=(c—2)(立+2),由/(乃与g(c)图象可知，方程/(M=g(c)有且只

有一个实数根，①正确；

对于②，当/C(—oo,0)时，g[x)<0,当ze(0,+oo)时，g(/)〉0.当加C(―1,0)时函数/(乃为开口向

下的二次函数，令函数的两个零点分别为3=2me(—2,0),©=-机一Ie(—1,0),所以当

ce(0,+oo)时，/(乃<0,所以②正确.

对于③，当机C(0,1)时，/(乃为开口向上的二次函数，2；i=2mG(0,2),©=—m—2,—1),所

以对任意xe(-00,-2),f[x)<0,g(x)<0,所以(工)<0,③正确.

对于④，当m>0时，当立一>一oo时，/(x)—>+oo,此时/(2)—。(2)>0；

当m=0时，/(①)=0,当力e(-oo,0)时,f[x)-g(x)>0；

当wi<0时，/(—1)=m2(-l-2m)》m)(—m)(2m+1)>—(―^——2m+11-i

——>e

27

—1=g(-l),即/(-I)—g(-l)〉0,

所以不存在加eH,对任意a；eR，f(x)-g(x)<0,④错误.

故答案为：①②③.

16.【答案】⑴因为函数/⑵=sin(3z—小(3〉0),f(xi)=f(x2)=0,且血一期|的最小值为看

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所以，函数的最小正周期为T=2x；=7T,则3=彳=2.

⑵由⑴知,f⑺=sin\2x-,

贝Ug(i)=/(6)+2cos之力一1=sin2x--cos2x+cos2x=sin2x+-cos2x

=sin(2c+1),

、r,c//穴„t.TT_、7T77r

当°<力(万时,—2x,

2666

TP-7FTVTV

故当2c+w=］时，即当C=d时，函数g(2)取最大值，即g(c)max=sin5=1.

【解析】【分析】(1)根据题意可得出函数/Q)的最小正周期，即可求得“的值；

(2)由0《cwJ可求出2c+1的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求出函数/(为在区间［o,：上的

最大值及其对应的X值.

17.【答案】(1)由题可知：8家门店中新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的有2家，分别是：门店3,

门店4,

所以若从该市众多门店中随机抽取1个，估计该门店12月份新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的概率

c21

P=-=-

84

(2)12月份新能源汽车销售量不低于20辆的门店个数为3,分别是：门店4,门店5,门店7,

从样本门店中随机抽取3个，12月份新能源汽车销售量不低于20辆的门店个数记为X,X的所有可能取值

为：0,1,2,3

所以P(X=0)=舄515

P(X=1)c^cl

2828

15P(X=3)=^=1

P(X=2)clcl

~cT5656

所以X的分布列为

X0123

515151

P

28285656

求X的分布列和数学期望

5x至+2X竺639

E(X)=0x—+1+3XL

ZO285656568

(3)新能源汽车销售量的样本平均数

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10+8+16+23+20+18+22+11”

--------8--------=16

新能源汽车销售量的样本方差

=g[(10-16)2+(8-16)2+(16-16)2+(23-16)2+(20-16)2+(18-16)2+(22-16)2+(11-16)2]=号

燃油汽车销售量的样本平均数

14+11+13+19+21+25+23+26”

----------------8----------------5

燃油汽车销售量的样本方差

^=|[(14-19)2+(11-19)2+(13-19)2+(19-19)2+(21-19)2+(25-19)2+(23-19)2+(26-19)2]=?

所以S：=S?

【解析】【分析】(1)根据新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的有2家，利用古典概型概率公式求解即

可.

(2)X的所有可能取值为0,1,2,3,分别求出随机变量对应的概率即可得到分布列，然后利用数学期望公

式求解即可；

(3)根据表格中数据，计算样本数据的平均数，再利用方差公式求出样本方差，然后直接判断即可.

18.【答案】⑴连接481交4B于点连接EN,

在三棱柱ABC-43G中，四边形44113为平行四边形，

因为4场门小8=四，则M为481的中点，

又因为E为/C的中点，则

因为EATCZ平面BACAiBE,故场。〃平面

(2)若选①：EB=EAi.

⑴因为四边形441GC为正方形，则N4ZE=90°,

'EAi=EB

在和△ABE中，AAi=AB,所以，△AAEgZSABE,

、AE=AE

所以，ABAE=AA^AE=90°,

所以，AC±AB,ACLAAx,

因为43nA4i=4,AB、AAi因此，AABxB；

(行)因为四边形4415B为菱形，贝!且AC,平面441由，

以点M为坐标原点，而抽、而瓦、就的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

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因为441=2,ZABBi=60°,则4（0,-1,0）、4（—乃,0,0）、6（通0,0）、E（0,—1,1）,

设平面AiBE的法向量为元=（,,y,z）,41g=（2代,0,0）,%而=（石,-1,1）,

m•AiB=2v3rc=0阳qr'曰一/n,

l，取?Z=l,可得加=OJJ）,

{m-A^E=V3x-y-\-z=O

因为而=（一伍l,。），所以，cos：区）=苛株=七=彳，

因此，441与平面小BE所成角的正弦值为VI；

4

若选②：BAilBiC.

⑶因为四边形441百口为菱形，则

因为AiBrBi。，ABiCBiC=Bi，AB^61。。平面4右1。，所以，413,平面ABi。，

因为47U平面481。，所以，ACVA^B,

因为四边形441GC为正方形，则40,441,

因为43aA4=4，AiB.AA1C^AArBiB,所以，4C_L平面44场3；

（莅）因为四边形441田为菱形，贝且AC,平面441归，

以点M为坐标原点，诵、而、前的方向分别为X、产z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标

因为44=2,ZABBj=60°,则4（0,—1,0）、4（一遍,0,0）、3（血,0,0）、E（0,-l,l）,

设平面4归后的法向量为记=Q,g,z）,9=（2代,0,0）,而=（石,一1,1）,

m•Aij^=2V^x=0g1-—小ri\

，L，取V=1,可得沅=（0」i）,

{m-AyE=\—y+z=0

因为而=（一乃，1，°），所以，cos时屈=*^；='=G，

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因此，44i与平面小8E所成角的正弦值为V2

4

【解析】【分析】⑴连接4场交48于点跖连接£〃，利用中位线的性质推导出后河〃81。，结合线面

平行的判定定理可证得结论成立；

⑵选条件①：1）推导出4441石出山18石，可得出/艮4后=/44&=900,可得4018,AClAAi，

再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；

侬）以点M为坐标原点，M6、MB；、力方的方向分别为x、＞、z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用

空间向量法可求得441与平面小88所成角的正弦值；

选条件②：⑴由菱形的几何性质得出结合已知条件以及线面垂直的判定定理可证得出3,平

面A3。，进而可得出再由正方形的几何性质得出4。，441，利用线面垂直的判定定理可证

得结论成立；

侬）以点M为坐标原点，调、而用、彳方的方向分别为x、八z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用

空间向量法可求得441与平面由88所成角的正弦值.

19.【答案】⑴因为椭圆婚+,=1仙＞6〉0）过点（，6,0）,离心率为j

a=A/6

b=\/a2—c2

＜

22

因此，椭圆片的方程为4+＜=i.

63

7/2）＞1+C2=0,

⑵设点4（处明）、B（X2,则，2必

当直线AB的斜率存在且不为零时，设直线AB的方程为y=kx+m,

联立二二：6可得RM+1W+4km+2/-6=0,

则△=16Mm2-4(2k2+1)(2m2-6)=8(6fc2+3-m2)>0,可得/<6k2+3,

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4r»*7D

当g=l时，由韦达定理可得g+/2=—整理可得2k2+1=—2km，

2kz+1

可得m=—k-3，

2k

此时，讥+92=卜⑶+©)+2m=2A;+2m,则y。=阴/范=卜+m=-J-,

22K

所以，直线/的方程为4+£=—%/—1),即沙二—;(2—3),

此时，直线/恒过定点(Jo)；

当直线ABLc轴时，则线段的方程为2=1，此时点/、8关于X轴对称，

则直线/为x轴，此时，直线/过点(，0)；

当直线轴时，此时点/、3关于/轴对称，则3=0,不合乎题意.

综上所述，直线/恒过定点(和).

【解析】【分析】(1)根据已知条件可得出关于°、6、c的等式组，求出这三个量的值，即可得出椭圆£的

方程；

(2)对直线/的位置进行分类讨论，设出直线/的方程，将直线/的方程与椭圆E的方程联立，根据线段N3

的中点横坐标为1可得出参数的关系，化简直线/的方程，即可得出直线/所过定点的坐标.

【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：

(1)“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；

(2)“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，

再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；

(3)求证直线过定点(3/0)，常利用直线的点斜式方程4—yo=k(x-皿)或截距式“=kx+b来证明.

20.【答案】1)当a=2时，函数/@)=€2工—2―1,求导得尸(力=2e2,—1,则〃0)=1,而/(0)=0,

所以曲线沙=/(2)在点(0,/(0))处的切线方程为4=

(2)对任意XGa+00),不等式/(/)20=60'-7-120060'》出+1,

当出》0时，令2/=6'一/一1,求导得“=e'—l20,函数g=e，—力—1在[0,+oo)上递增，

%iin=。，因此e'2N+l,当时,V/C[0,+00),6尤》》力+1,即/(/)20恒成立,则Q2l;

当0<a<l时，=aeax-1,由/Q)=0,得/二工上工，

aa

当0<①<Ln4时，/3)<0,函数/(立)在(0」hJ)上单调递减，/侬)</(0)=0,不符合题意，

aaaa

所以实数。的取值范围是1.

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产（工+》,

(3)由1〉0,/(力)+]=0,得6如_力_1_o今e。，一力+!今Q

Z,C"2-U5-7O-«Xy|2"

X

1X1/

令()3+1)求导得[皿+2

g@)=x〉°，⑺=——

*乙

①11

1

令岫)=1-MR+]),立>0,求导得»(x)=2——<(),

x+2(2+下"(2+孑

9329167

函数以2)在(0,+00)上单调递减，而入⑴=--ln->--ln^=--->0,从3)=--ln-<0,

OZiOZa(乙

则存在力oG（1,3）,使得无（四））=0,当0</〈/0时,h（x）>0,即，（力）〉0,

函数g（优）在（。,3）上单调递增，g（®））〉g（；）=0,取正数aWgQo）,

则直线9=a与函数g=gR）在（0,费）上的图象有交点，此交点横坐标在区间（；,药,

所以存在实数。，使方程/（2）+；=0有正实根.

【解析】【分析】（1）把a=2代入，求出导数，利用导数的几何意义求出切线方程.

（2）证明+1恒成立，再按a2l,0<a<1分类，结合不等式的性质及导数探讨单调性得解.

（3）由方程有正实根分离参数并构造函数（_ln^+,利用导数探讨函数能取到正数即可推理

得证.

【点睛】关键点点睛：借助恒成立的不等式立+1,再借助不等式的性质及导数分类求解是关键.

21.【答案】⑴①因为斯=2律，K=n+2（7zeN*）,若数