2024-2025学年福建省三明市高三年级上册12月月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年福建省三明市高三上学期12月月考数学检测试题

一、单选题（本大题共8小题）

5i

1.若复数2+i在复平面内对应的点的坐标为（）

A.（2,2）B.（°，2）c,0,2）口.（2，-2）

2.抛物线N=2x2的准线方程是（）

1

X=——

A.2B.x=-l

11

y=--"二

C.2D.8

3.若xeR,下列选项中，使“V<1”成立的一个必要不充分条件为（）

A.-2<x<lB.C.0<x<2D.

4.已知函数/（X）在R上满足/（2-X）-2/（X）=*_4X+4,则曲线了=/（》）在点

。，/（1））处的切线方程为（）

A6x—y—5—0B—y+5=0

C2x—jv-1=0D2x—jv+1-0

5.如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的

正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点.若正八面体的表面积为

葭右，则正八面体外接球的体积为（）

A.4后B.4百兀C,12兀D.3671

6.为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学

在内的三所学校支教（每所学校至少安排一名教师）.受某些因素影响，甲乙教师不被

安排在同一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法有（）种.

A.144B,260c,320D.540

7,若函数/（x）=&sin0x（o>O）的图象与函数g（x）=^cos0x（0>0）的图象的任意三个

连续交点都是一个正三角形的三个顶点，则。=（）

7171

A.2B.4C.6D.8

22

C邑=1(a>0/>0)

8.已知双曲线的左、右焦点分别为",过点且作倾斜角为

（____f,\

昌+昌••一旗）=0

3。°的直线/与C的左、右两支分别交于点尸，。，若I恒尸।百°妙

则

C的离心率为（）

A.6B.6C.2D.Vs

二、多选题（本大题共3小题）

9.某机械制造装备设计研究所为推进对机床设备的优化，成立4?两个小组在原产

品的基础上进行不同方向的研发，/组偏向于智能自动化方向，B组偏向于节能增效

方向，一年后用简单随机抽样的方法各抽取6台进行性能指标测试（），测得/组性

能得分为：91,81,82,96,89,73,8组性能得分为：73,70967,99488,则（）

A.N组性能得分的平均数比8组性能得分的平均数高

B./组性能得分的中位数比B组性能得分的中位数小

C./组性能得分的极差比B组性能得分的极差大

D.8组性能得分的第75百分位数比/组性能得分的平均数大

10.已知等比数列｛°」的公比为9，前〃项和为邑，若豆=一1,且V〃eN*,a“+2>a”，

贝U（）

S<J_

A.。2>。B.c,a«+i>'D.—1

11.中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美

观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的结对应着数学曲线中的双纽线.已知在平

面直角坐标系中，到两定点耳（一凡°）,月3°）距离之积为常数/的点的轨迹c是

双纽线.若“（3，°）是曲线c上一点，则下列结论正确的是（）

A.曲线C的图象关于原点对称

B.曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）

C.曲线C上任意一点到坐标原点。的距离都不超过3

D.曲线C上有且仅有3个点P满足归用=忸月1

三、填空题（本大题共3小题）

12.若数列｛""｝满足%=1必用q-

综=〃+1,数列的前〃项和为贝°02023_____________

13.用1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数abode,若满足a>b>c<"<e的五位数有

〃个，则在1+（1+方+（1+功2+（1+劝3+…+Q+X严的展开式中,-的系数是

.（用数字作答）

14.如图，对于曲线G所在平面内的点0,若存在以。为顶点的角a,使得对于曲线

G上的任意两个不同的点A,瓦恒有44024。成立，则称角a为曲线G的相对于点

。的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点。的“确界角”.已知曲线

xex~l+l,x>0

y=\i

一X2+lyX<0

C：116（其中。是自然对数的底数）。为坐标原点，曲线C的相对于

点。的“确界角''为则4=.

四、解答题（本大题共5小题）

15.已知篮球比赛中，得分规则如下：3分线外侧投入可得3分，踩线及3分线内侧

投入可得2分，不进得0分；经过多次试验，某生投篮100次，有20个是3分线外

侧投入，20个是踩线及3分线内侧投入，其余不能入篮，且每次投篮为相互独立事

件.

（1）求该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率；

（2）求该生两次投篮得分4的分布列及数学期望.

16.在三棱柱NBC_44cl中，ACLBC,AC=BC=AA1=2JE>尸分别为44，

/C的中点，即=8.

⑴求证：AELBC.

(2)若/£=2,求二面角0一44一8的正弦值.

17.已知函数"x)=ln(l-x)+Aln(l+x),4/0

(1)若函数/(“)存在一条对称轴，求后的值；

(2)求函数f(x)的单调区间.

X1

18.己知椭圆°/+/一皿＞八°)的左、右焦点分别为耳、为"(-2,0)为椭圆的一

V2

个顶点，且右焦点外到双曲线=2渐近线的距离为2'

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设直线/"=近+"'0"°)与椭圆C交于/,3两点.

873

①若直线/过椭圆右焦点工，且的面积为亨'求实数人的值；

②若直线/过定点尸(°'2),且上＞O,在x轴上是否存在点7&°)使得以T/,以为邻边

的平行四边形为菱形？若存在，则求出实数f的取值范围；若不存在，请说明理由.

19.对于任意正整数n,进行如下操作：若〃为偶数，则对"不断地除以2,直到得

到一个奇数，记这个奇数为%;若"为奇数，则对%+1不断地除以2,直到得出一个

奇数，记这个奇数为%.若%=1,则称正整数〃为“理想数”.

⑴求20以内的质数“理想数”；

⑵已知%=俏一9,求机的值；

(3)将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列{"},记"J的前〃项

和为S”，证明.3、)

答案

1.【正确答案】C

__5i(2-i)

【详解】因为2+iQ+i)(2-i)，其对应的坐标为(L2),

故选：C.

2.【正确答案】D

【详解】由>=2/2得抛物线的标准方程为2,

1

y——

所以其准线方程为8.

故选：D.

3.【正确答案】A

【详解】不等式工2<1等价于

使“/<1”成立的一个必要不充分条件，对应的集合为A,贝M-U)是A的真子集，

由此对照各项，可知只有A项符合题意.

故选：A.

4.【正确答案】C

2

【详解】•••/(2-X)-2/(X)=-X-4X+4)

.•■/(X)-2/(2-x)=-(2-疗-4(2-x)+4.

解得/(乃=巴f\x)=2x,

••・y=〃x)在(lj(l))处的切线斜率为y=2.

又

.•.函数y=〃x)在(1J0))处的切线方程为VT=2(x-1),

即2__1=0.

故选：C.

5.【正确答案】B

【分析】根据正八面体的结构特征结合条件可得外接球的半径，进而由球的体积公式即

得体积.

【详解】如图正八面体，连接/C和8。交于点°,

E

F

因为区4=EC,ED=EB,

所以EOL/C,EOLBD,又NC和8。为平面4BCD内相交直线,

所以£°工平面NBC。，所以°为正八面体的中心，

8x—=12A/3

设正八面体的外接球的半径为R,因为正八面体的表面积为4,所以正

八面体的棱长为"，

22

所以EB=EC=BC=a,OB=OC=。,EO=^EB-OB=73；

44

_rrV=—itR3=—7tx3V3=4V37t

贝lj&=13,33

故选B.

6.【正确答案】B

【详解】先将丙安排在一所学校，有°；种分法；

若甲、丙在同一所学校，那么乙就有2种选法，

剩下3名教师可能分别有3、2、1人在最后一所学校（记为X校），

分别对应有1（3人均在X校）、C3,C2（2人在X校，另1人随便排）、

仁•《•A：（1人在*校，另2人分在同一所学校或不在同一所学校），

共1+CC+CC-A；=19种排法;

若甲、丙不在同一所学校，则甲有C种选法，

若乙与丙在同一所学校，则剩下3名教师按上面方法有19种排法；

若乙与丙不在同一所学校，则有剩下3人可分别分为1、2、3组，

分别有《、©,A；、A；种排法，故共有：

C；（C；-19+C；・（19+C；+C1A；+A；）］=26O种排法

故选：B.

7.【正确答案】A

/(x)=V6sina)x

<—

g(x)=&cosox,令/(x)=g(x),得tanox=l,

【详解】解法一由

7T

a)x=kn+—(kEZA/

所以4,不妨取无=0,1,2,得三个连续的交点依次为

5兀

BC

4。'

兀兀

9兀兀G(9

因为V4BC为正三角形，4。4。为V/2C的边长，21404。为VZ5C的高,

/(X)=V6sincox和g(x)="cosox的图象的交点处

由正弦函数、余弦函数的图象可知在

sin®x-cos«x=±—

2,

2xV6x—=273

所以VN8c的高为2

兀

CD=—

解得2

解法二：如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数/(x)=nsin°x和

g(x)=J^coso尤的图象，

设两图象的三个连续交点分别为A,B,C,连接AC,BC,

则V/2C为正三角形，过点B作8OJ_NC,垂足为。，

〃x)=V6sina)x和g(x)=V6cos的的图象的交点处

.,V2

smcox=coscox=±——

2,

|SJD|=2xV6x—=273

所以2,

2兀,71

i_____4-

所以MC=4,所以/(x)=J6sinox的最小正周期7=4,即。一，所以2.

故选：A.

8.【正确答案】A

昌+昌•库-理）=0

【详解】依题意，由［归“归01,

，膏+图5=0

得〔归HIMJ,即乙隼。的平分线与直线产0垂直,

设乙典。的平分线月。与直线9。交于点。，如图，

则NP工。=/0工。，ZF2DP=ZF2DQ=90^又|。名|=|M|,

所以△包岑丝QD9所以|尸必=|"|,户用=|0用.

由题得，（-的°）,8（。，。），设1。阊=$,阀之，

在Rt△。尸也中，/月。月=90。，/D耳&=30。，贝Ij〃=c,R|=V3C

QF［—QF2=卢9+/-S=2Q

由双曲线的性质可得［盟-3=s—=2。，解得同|=4a,

则|尸口=|。。|=2。，所以在RtAQZ）B中，s=J/+（2a）,

又/=|。耳日尸必=Gc-2a,s-t=2a,所以J7记了一心。-2。）=2-

即荷+（2。）2=辰,整理得2a2=02,所以e_/_0.

故选：A

9.【正确答案】AD

【分析】根据计算公式分别计算48两个小组的平均数、中位数、极差、第75百分

位数，再对各选项逐一判断即可.

91+81+82+96+89+73-

--------------------------------«85.3

【详解】由题意可得“组性能得分的平均数为6,

73+70+96+79+94+88…

---------------------------------®83.3

B组性能得分的平均数为6,

所以“组性能得分的平均数比B组性能得分的平均数高，故A正确；

82+89…

-o5.5

Z组性能得分73,81,82899196的中位数为2,

79+88”「

------=X3.5

8组性能得分70,7379&89496的中位数为2,

所以/组性能得分的中位数比B组性能得分的中位数大，故B错误；

4组性能得分的极差为96-73=23,8组性能得分的极差为96-70=26,

所以/组性能得分的极差比B组性能得分的极差小，故C错误；

B组性能得分70,7379&89496共6个数据，6x0.75=4.5,

所以B组性能得分的第75百分位数为94,比工组性能得分的平均数大，故D正确.

故选AD.

10.【正确答案】BC

【分析】首先排除公比的特殊情况，结合给定条件解出公比范围，利用等比数列的性质

逐个分析即可.

【详解】A：%=7<0,故A错误；

B：S|=%=.1,%>。“对恒成立，

则％,q"+'>qW'=-q"+l>=>q"~'(q2-1)<0恒成立，

贝寸一1<0,故0<q<l,故B正确；

flaX

c：„+i~n=-Q"+=Q"~(1-^)>oan+l>an故c正确；

s.=卫一如=_L+£>_L

D：由i-q"qq-ijq一1,故D错误.

故选BC.

11.【正确答案】AC

【详解】对于选项A：\PF'\'\PF2\=7(x+a)2+/•\l(,x-a)2+y2=a2,

化简得到：G")=2/6_/),

将M(3，。)代入可得2/=9,

所以曲线匚(犬+/)2=9(?_/).

2222

把(fT)代入(Y+V)=9(x-y)得(?+/)=9(X-/)；

所以，曲线C的图象关于原点对称，故A正确；

对于选项B：令k°解得x=°，x=±3,即：曲线经过(°，°)，(3,°)，(TO),

结合图象，得-3S玄3.

2-11+V153,

「y=--------------<1

今工=±1,得,2

令"，得"—2

因此，结合图象曲线C只能经过3个整点（°，°），（3，°），（一3，0）

故B错误；

对于选项C：（*+力=9#-r）可得x+'―+/-9

所以曲线0上任意一点到坐标原点0的距离、=43,

即：都不超过3,故C正确；

对于选项D：点尸满足归用=归阊，则尸在丹玛垂直平分线上，则马=°,

所以匕,=0，

故只有原点满足，故D错误.

故选AC.

202311011

12.【正确答案】同/而

［详解］由%+|一°"="+1,则々一%=2,%一出=3,…,a“一%=”（〃22）,

当力22时，上式相加得%一%=2+3+4+…+”，又％=1,

,c。，n2+n

=1+2+3+44----\-n=---------i

所以2,又4=1符合上式，

a…f］

可知”2,所以册I"”+1人

c1111112023

所以I22320232024J1012

2023

故答案为.而I

13.【正确答案】56

【详解】由五位数需满足a>b>c<-<e可知，c=l,

再从2,3,4,5中任取两个数，大数是。，小数是6,剩下两个数按照大小分别是e,

d

故能组成C；=6个这样的五位数，贝。〃=6

则在1+(1+X)+(1+无>+...+(1+无)7的展开式中，含/项系数为

C：+C：+C；+C：+C；+C；=56

故56.一

14.【正确答案】2

【详解】当x>0时，过原点作>=xen+l的切线，

设切点/区,个为-+1),j/=(x+l)e：勺=(网+1九号，

则切线方程为尸(XiexT+l)=(X|+l)e*T(x-xJ,

又切线过点(°'°),所以一平巾-1=(-匹2-匹)2,所以承,1-1=0

设g(x)=x2ei,(x>0),则(3=(?+2。->0,故gG)为增函数，且g(l)=L

所以玉=1湛=2,

y=—x2+1

当x<0时，过原点作.16的切线，

(X),--X；+1,_1,_1

y=~x^2=x

设切点一16-~2

记x；+ij=-x(x-x)

22(0,0),

则切线为,又切线过点

因为左的=-1,所以两切线垂直，所以P=2.

71

故5

16

15.【正确答案】(1)625

(2)分布列见解析，E⑹=2

【详解】(1)“3分线外侧投入”，“踩线及3分线内侧投入”，“不能入篮”分别记为事

件A,B,C,

尸⑷Jp(K

由题意知1005

因为每次投篮为相互独立事件，故4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率为

（2）两次投篮后得分片的可能取值为0,2,3,4,5,6,

由于该生两次投篮互不影响，是相互独立事件，

4=°表示两次投篮都不能入篮，即得分都为0,

则尸（。=。）=|义|=:；

4=2表示一次是踩线及3分线内侧投入，另一次不能入篮,

4=3表示一次是3分线外侧投入，另一次不能入篮,

4=4表示两次都是踩线及3分线内侧投入,

4=5表示一次是3分线外侧投入，另一次是踩线及3分线内侧投入,

尸（J=6）=J-XL=]

自=6表示两次都是3分线外侧投入，则I一;"55-25,

故J的分布列为

自023456

966121

P

252525252525

EG)=0X——+2X—+3x——+4x—+5x——+6x—=2

所以252525252525

16.【正确答案】（1）证明见解析

⑵7

【详解】（1）如图，连接EC,取中点为。，连接。E,DF,

因为8c=2,所以。尸=1,

因为。，E为AB,44的中点，且“4=2,

所以DE=2,所以。£2=防2+。尸2,

所以。尸人EF,

又因为。尸〃8C,所以BCLEF,

又因为/CL8C,且加7口所=尸，

所以8(7_1平面/£尸，

因为/Eu平面AEF,

所以NEL8C；

(2)因为/£=2,在△/£尸中，AE2=EF2+AF2,

所以£T_L4C,又EF工BC,ACcBC=C,AC,BCu平面4BC,故EF_L平面48C,

以尸为坐标原点，以FD,FC,跳所在直线分别为x,>,z轴建立空间直角坐标系,

/(0,-1,0),8(2,1,0),C(0,l,0),E(0,0,VJ),。(1,0,0),

所以就=(0,2,0),羽=历=(一1,0,6),万=(2,2,0),

设平面/℃|4与平面"“由的一个法向量分别为=(x”％，zj,«2=(x2,y2,z2)

AC-n—02y=0

<__,x<1

则二>〔F+6Z2=0,令4=1,解得X1=G,故4=(6,0,1),

<AA]•%=0~x2+V3Z2=0

AB-n2=0[2x2+2y2=0,令Z2=l,解得工2=百，丫2=-右,故％=(瓜-瓜1)

设二面角°一4^-2的平面角为。，

|cos昨叵义=-==生

则I«iII«2IJ4xj7/

sin”亘

所以7,

叵

所以二面角0一/4一8的正弦值为〒.

17.【正确答案】(1)后=1

(2)答案见解析

【详解】(1)因为函数/㈤=畋-力神(1+x),

所以函数定义域为(-1,1),且函数/(X)存在一条对称轴，故对称轴为x=0,

所以/(x)=/(r),

即In(1-x)+Mn(1+x)=In(1+x)+A：ln(1-x)

所以（i）ln（l-x）+（"l）ln（l+x）=O,故（-）1n£=°,

当且仅当1-左=°时上式恒成立，故k=l.

/,（X）=旦+上=一［（:+1）「一（_—1）］

⑵由题意j1+x（l-x）（l+x）,

当左<0时，有（左+1）-（4-1）=2>0且（％+1）（-1）-（"1）=-2左>0,

所以/'（x）<0,故f（x）的单调减区间为（—1,1）；

当心。时，令/'（x）=°,x=lih「ilr（Ti）,

且当【后+U时，/（%）>0,当5+1J时，/（%）<0,

所以/⑴,、的单调增区间为f（-1，—人+1人单调或区间为1+1人

综上，当发<0时，“X）的单调减区间为无增区间；

（-1匕）（匕1）

当尢>0时，“X）的单调递增区间为‘左+1,单调递减区间为人+1'.

---1---=1

18.【正确答案】（1）43；

1，。1

⑵①人=±百；②L6J.

【详解】（1）由双曲线--V=2的渐近线方程为x土尸0,

再由椭圆或b的右焦点分别为竹由年到渐近线的距离为2可得:

且=交

叵2,因为c>°,所以解得c=l,

再由椭圆的一个顶点为N（-2,0）,可得。=2,

所以由Z>2=a2-c2=4-l=3,

----1-----=1

即椭圆C的标准方程为43.

（2）①直线/号=履+加。2°）过椭圆右焦点名可得：Q=k+m,即机=-左，

所以由直线/0=后（”一1）与椭圆c的标准方程工十§一联立方程组，消去V得:

（4k2+3卜2_sk2x+4左2-12=0

8kl4k2-12

设两交点/⑶%）’8（%，%）,贝值国+"2=赤？占“2=而百，

\2

8k之4人2—1212（左+1

\AB\=4+左2,-x|=J1+」

2-4

4^+3/4公+34E2+3

所以

心上攻

又椭圆左焦点耳（T'°）到直线/"（XT）-V=°的距离为VTTF

1

2\AFB一

X24左2+3

所以5

K=---[―

解得：k9=3或11（舍去），即k=±yj3.

②假设存在点76°）使得以以，72为邻边的平行四边形为菱形，

由于直线过定点P02）,且后>0,可知直线方程为了=b+2,

2

X1122

与椭圆4+3一联立方程组，消去，得：（4廿+3”+16丘+4=0,

由/=192父_48〉°,且%>0,解得>2,

_-16k4

设两交点工（*'M）''（孙力）,中点"Go，%）,则有（+三一4左2+3'%“2丁公+3'

x,+x9-8k6

所以24/+3为04左2+3,

6

k--J-—4k之+3t_2k_2

™~k-8kt「祈I一R

即叱+3,整理得k,

r也、

k>-4左+3$4石,+oo）te——,0

又因为2,所以kL乙则L°人

19.【正确答案】（1）2和5为两个质数“理想数”

（2）机的值为12或18

（3）证明见解析

【分析】(1)根据“理想数”概念，结合列举法可解；

(2)分析题意知道%=加一9必为奇数，则加必为偶数，结合整除知识得解;

(3)将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可.

【详解】(1)20以内的质数为2,3,5,7,11,13,17,19,

2=1,

2,故出=1,所以2为“理想数，，；

12=5

3x3+1=10,而2,故3不是“理想数，，；

生1

3x5+1=16,而2,，故5是，，理想数，，；

22

—=11—

3x7+1=22,而2,故7不是“理想数，，；