2024-2025学年江西省萍乡市高三年级上册月考（五）数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年江西省萍乡市高三上学期月考数学检测试卷

一、单选题（本大题共8小题）

1.已知。为正数，则“。＞3”是"/＞「，的（）.

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

2.已知cosa+sin«，贝|I4J（）

1

A.3B.-3C.3D.3

3.斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例

子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，在

数学上，这一数列以如下递推的方法定义：/0）=1

F（n）=F（n-l）+F（n-2）（n＞3,ne^记此数列为{"〃},贝|J。2。19+。2。2（）+。2。22+。2。24等于

（）5'八'

2026

A.。2023B.。2024Q.%025D.^

22

二—匕=1

4.双曲线/b2的左、右焦点分别为片，片.P是双曲线右支上一点，且

直线0耳的斜率为2,△尸月耳是面积为5的直角三角形，则双曲线的方程为（）

x2y2x2y2

--------------1-------------——107

5555尤丁/,

A.4B.4c.28D.82

5.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如

堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖席指的是四个面均为直角三

角形的三棱锥如图，在堑堵/BO-44G中，ZACB=90\若/C=8C=1,皿=2,直

线8c与平面所成角的余弦值为（）

3V10厢

A.I。B.10C.3D.3

6.已知函数f（x）的部分图象如下图所示，则可能的解析式是（）

A./（x）=eFnRB.e'

C./W=ex+ln|x|口./W=ex-ln|x|

7.已知2"尸VAJ是平面直角坐标系中的点集.设d是

河中两点间距离的最大值，S是M表示的图形的面积，则（）

A.d=3,S<1B.d=3,S〉1

C.d=丽，S<\D.d=屈,S>1

f（x）=—cos2x__

8.若曲线2在苫=再与x=Z处的切线互相垂直，且交点P在直线V=a上,

则。的值可能是（）

]兀771

A.2B.2c.4D.2兀

二、多选题（本大题共3小题）

9.在某次英语四级考试中，若甲、乙、丙通过考试的概率分别为①4,0.6,。，且

04,0.6,。成等比数列，三人各自是否通过这次考试相互独立，则（）

AP=0.08

B.甲、乙都通过这次考试的概率为0.24

C.甲、丙都不通过这次考试的概率为0.12

D.乙、丙中至少有一人通过这次考试的概率为0.96

/（X）=/sin（4x+0]（/>0,0<夕<兀）0,--|

10.己知函数（3）的图象经过点I.，将“X）的部

分图象沿x轴折成直二面角（如图所示），若MN=5,则（）

,.兀

//、y=Asm-x

C.将“X）的图象向左平移2个单位即可得到函数3的图象

23k-2,3k-L（左eZ）

D.函数y=（〃x））的单调递减区间为L2」

V2

C:-----||=1

11.“大鹏曲线”的方程为4,其图像因为形似一只展翅高飞的大鹏而得名

直线＞="+6与C的交点可能个数的集合记为D（a,b）,下列选项正确的是（）

A.该曲线关于了轴对称

B.。（见2）={0,1,2}

Q£＞（a,-3。）={0,1,2}

£

D.，，必。/）={3}，，的充要条件是“田＞5且6＜0„

三、填空题（本大题共3小题）

f（x）=—x'1+-YYIX（tn£

12.若函数3''在R上单调递增，则实数加的取值范围为

13.这次月考五有8道单选题，你朋友童同学对其中5道题有思路，3道题完全没有

3

思路，假设有思路的题能做对的概率为4,没有思路的题仅随机猜，你恰好看到了她

一道题的答案，这个答案是正确的概率为.

14.已知1风廿代c°sd+2）,4=-5］，则归一』的最小值为.

四、解答题（本大题共5小题）

15.已知动点P到直线》=-5的距离是它到点/(T，°)距离的右倍，记动点P的轨迹为

r.

(1)求「的方程；

(2)若点尸关于原点对称的点为A,。为「上一点，且尸为直角三角形，求

△“0尸的面积.

16.雅礼中学是三湘名校，学校每年一届的社团节是雅礼很有特色的学生活动，几十个

社团在一个月内先后开展丰富多彩的社团活动，充分体现了雅礼中学为学生终身发展奠

基的育人理念.2022年雅礼文学社举办了诗词大会，在选拔赛阶段，共设两轮比赛.第

一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令.第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手

从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手正确回答出下句可得10分，若

不能正确回答出下可得0分.

(1)已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；

(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个

回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团体有相同

的机会抢答下一问题.记第"次回答的是甲的概率是P",若4=L

①求片和尺；

\p--1

②证明：数列〔”刊为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的

可能性的大小.

17.如图，四棱锥中，PA=PD=4D=CD=2,底面/台。是个直角梯形，

ADHBC,NDAB=90°,NADC=60°.

(1)证明：PC1AD.

(2)从下面条件①、条件②、条件③三个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题

条件①：PBLAD.

条件②：田=0

条件③：二面角P-4D-2的大小为60°.

在棱心上是否存在点G(不与端点重合)，使得直线CG与平面所成的角的正弦

叵PG_

值为〒？若存在，求砺的值，若不存在，说明理由.

(注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.)

18.已知。为坐标原点，对于函数/(x)=asiru+6cosx,称向量=(。，方)为函数

/(无)的相伴特征向量，同时称函数/(X)为向量质的相伴函数.

_(_Tl_二］

(1)记向量°'=0"3)的相伴函数为"x),若当"x)=3且=8'引时，求x的值；

g(x)=Gcos|x—|+coslX£R)z\___k

(2)设I3J16)，试求函数以苫)的相伴特征向量0”,并

求出与0M同向的单位向量；

c/_/zx］、i/\4B-2,cos。—hII

⑶已知为函数”(町的相伴特征向量，若在V/2C中，16九

若点G为该V48c的外心，求历•刀+瓦•屈的最大值.

19设数列.，：4,a?,L,ci",B:小瓦,L,b"已知"必e{0,1}(7=1,2,"〃"=1,2,1,“)，定义

再］xi2…xin

X(48)=.：\X2；•••

1%=bj,

X0qwb.,

“X"数表*”2­••nn),其中

⑴若/:1,1,1,0,8:0,1,0,0,写出X(48)；

(2)若48是不同的数列，求证："X"数表X(48)满足“

xy=xji('=1,2,"〃;/=1,2,L,n;i卡,)”的充分必要条件为+4-\(k-

(3)若数列A与B中的1共有力个，求证：〃x”数表X(4B)中i的个数不大于2.

答案

1.【正确答案】A

【详解】当。>3时，所以了=优为增函数，所以aa>a3,

当时，当时，贝［］。>3,当0<a<l时，则。<3,此时0<a<l；

所以“。>3"是的充分非必要条件.

故选：A.

2.【正确答案】D

cosac1ci

-------:---=2--------=2tana=——

【详解】由cosa+sina,得1+tana,解得2,

兀11

/、tana+tan----Fl.

tan〃+工=----------£=*=1

I4J1-tanatan—1+—

所以42

故选：D.

3.【正确答案】C

【详解】由题意得，%=1,0"+%+1=°，，+2,“eN*,

贝|J°2019+^2020+02022+°2024=a2021+°2022+°2024=a2023+02。24=02025

故选：C.

4.【正确答案】A

【详解】如图：由题可知，点尸必落在第四象限，/居PF2=90。,

.9=2_

设附上加，NPFE=4,NPF,Fi,由场■LtaneL2,求得‘皿「忑,

.1］.Q_1

因为4%=90。,所以降%=!求得即2=5,广忑，

由正弦定理可得:附片用=sin4：sina：sin9()o=2:l:据，

则由飓卜力得附1=2加，国鸟|=2c=后.

由2晔=；附卜|*=*2加=5得加=6，

_5

c

则|即卜右，附|=2米，阳阊=2c=5,=2；

「3-

22

由双曲线定义可得：附卜熙1=2。=括，°一2,b=^c-a=V5（

《上=1

55

所以双曲线的方程为4^

故选：A

5.【正确答案】A

［详解］在堑堵ABC-AACi中，CC^平面ABC,

ZACB=90°,44=2,AC=BC=1t

以点C为原点，C/、CE；、Cj所在直线分别为X、了、Z轴建立如下图所示的空间直

角坐标系，

,vyc,

4

则用（0,1,2）、。（0,0,0）、4（1,0,0）、8（0,1,0）,

函=（0,1,2）,切=（1,-1,0）,瓯=（0,0,2）,

设平面的法向量=（x,y,z）,

n-BA=x-y=0

〈

则［为.网=2z=°,取入=1,得万=（1，1，0）,

.〃」两臼1_1

sinu-I„1—I—I——I—

二〃EC4•同VSXA/2V10

设直线用。与平面所成角为。，则1w1,

cos^=Vl-sin20=J13>/10

所以、Ho-io

3而

因此，直线8c与平面所成角的余弦值为IF.

故选：A.

6.【正确答案】C

【分析】利用特殊值及函数的单调性排除A,B,D,分析函数的单调性及函数值的特

征判断C.

【详解】对于A,因为/6）=。'/巾|,

e22

所以｛l)=e，ln|T=O,/(-e)=e-.ln|-e|=^/(-e)=e-<ln|-e|=A

2ee<e2e<ee；所以3<2=工

而ee2eeee,

即春…,e）,所以/（x）在ST上并不单调递减，故人错误;

对于B,因为小）邛,

，/、In1年）小1Ine22

/(1)=4=0/(5)=

所以e1ee-e

显然l<e<e="e)〉/。).

所以小）在°，+s）上并不单调递增，故B错误;

对于D,因为，（x）=e'-M国，

所以/（7）=1-吁1|=：/（-e）=e--ln|-e|=^-l

显然一e<-l,/（-e）</（-l）,

所以，（x）在（一°0，。）上并不单调递减，故口错误；

对于C,因为/（x）=e*+ln同定义域为2力0},

当x>。时，/（x）=e*+lnx,由复合函数的单调性易知/（X）在（"+8）上单调递增;

当x<0时，/（x）=e*+ln（-x）,y=e*在（-8,0）上单调递增且0</<1,

N=ln（r）在（-吗0）上单调递减，

当Xf~00时"x）f+°°,当Xf0时/（x）f一°°,符合题意，

结合前面ABD的分析，可知只有C中解析式符合题意，故C正确.

故选C.

7.【正确答案】C

【详解】对任意给定则/-x=x（l）Z0,且

可知XW%+/（X2_X）VX+X2_X=X2,即1《）《工2,

y<x2

<y>x

再结合X的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域〔

A(1,1),B(2,2),C(2,4)

d=4C='(1—2)2+(1—4)2=厢

可知任意两点间距离最大值

S<SAABC=-xlx2=l

阴影部分面积2

故选：C.

8.【正确答案】C

f(x)=—cos2xf

【详解】因2，故)'（x）=rin2x,易知切线的斜率存在.

f(x)=—cos2x

因曲线2在x=M与:处的切线互相垂直，

则/'(xJ/'(X2)=sin2X|Sin2x2=-1

因sin2x1,sin2x2G[-1,1]

不妨设sin2X|=l,sin2x2=-l；

x1=左i兀+—eZ)x2=k2Tl--(k2eZ)

fcos(2左兀+'；)=oJ(%)=；cos(2/兀+^-)=0

此时"2:

J0

/P\

如图，设尸（物“）,/（再，°）,3区0）,

则A/5尸是以尸为直角顶点的等腰直角三角形（切线8尸的斜率为1,切线/尸的斜率为

-1）.

“2=（左1一归2）兀+~（左1，k2WZ）

由图知,

|a|=hz^+（左］,左2£Z）

易得2

1177c］兀

取左一&=-4,得网一彳.经检验，当配色"时,无法使。的值取到万,万和27t.

故选:C.

9.【正确答案】BD

【详解】因为64，0-6,P成等比数列，

所以0.”=06,解得p=0.9,故A错误；

所以甲、乙都通过这次考试的概率为0.4x0.6=0.24,故B正确；

所以甲、丙都不通过这次考试的概率为。-04)义(1-0・9)=0.06,故c错误；

所以乙、丙中至少有一人通过这次考试的概率为l-(l-0.6)x(l-0,9)=0.96；故口正确.

故选：BD.

10.【正确答案】AB

【详解】

如图，过N作NC'x轴，垂足为C,过M作轴，垂足为。.

由题意可知平面NCDL平面MC。，平面MRn平面MCr»=CZ),

又NCu平面NCO,则NCJ_平面MCD,

MDu平面MC。，则NC_LVD,

贝I］丽7=觉+函+说，

故而.丽=历•两=而•丽=0,

/（x）=/sin四％+0（/>0,0<°<兀）

由【3J

则"x)的周期3

|M?|=|DM|=N，3=T=3

A项，由图象可知

I*12/*►►>^2*2*2--------*2/**►*►►、

所以=QVC+CZ)+DMJ=NC+CD+DM+2砥•CD+CD,DM+NC,DM)

\2\2

=|M?|2+|CZ)|2+|1W|2=21+9=13

由/>0,解得A=C；

/(x)=V2sinf—x+«j

A项可知」(3，

B项，由o<e〈兀

V2K71

/v)=-----cos

3

则、

J即"°)=/sme=gsmV

因为了()图象经过点。*

X

71271

：.(P=—(p=---

•••0<。<兀，"3或"3

―、/Y0)=(pco

由函数/(x)图象可知3cos

2兀

则cose<0,所以3,故B正确;

/(x)=V^sin]x+g]

C项，由AB可知,

/(x+2)=拒sin?》+2)+$

7171

y=-V2sin—x+—

即将〃x)的图象向左平移2个单位即可得到函数的图象.33

-0sin$+3*夜sin工尤

33；13人故c错误；

(/(x))2=2sin2f—x+—=1-cosf—x+—=l+cosf—x+—

D工而<33)<33)\33)

2兀兀]

2kji<——x+—<2kji+ii,keZ3k——<x<3k+l,keZ

由33,解得2,

23左一工,34+1(A-eZ)

故函数y=("x))的单调递减区间为L2」，故D错误.

故选：AB.

11.【正确答案】AC

x2_,_,1

、n—y2=1y=±-x

【详解】当了20时，曲线为双曲线4•,渐近线方程为.2,

八—y-1

当了<°时，曲线为椭圆4',

对于A,根据双曲线及椭圆的性质可得该曲线关于了轴对称，故A正确；

对于B,因为y=^+2恒过点（°，2）,

当直线2时，此时直线>="+2与渐近线平行，直线与C的交点为1,

|a|>—

当2时，直线与C的交点为1,

当“<2时，直线与C的交点为2,故2）=乩2},故B错误，

对于C,因为y=办-3a=a（x-3）恒过点（3,0）,

X22_1

联立>=a（x-3）与椭圆4一得（1+4。2k-24入+36/-4=0,

贝UA=（-24a2J-4（l+4a2）（36a2-4）=-16（5a2-l）

a=也

当“-5时，此时A=0,故直线与下半椭圆相切，结合图象可知：

故“一行时，直线与C的交点为1,

旧小

当52时，直线与°的交点为0,

d>-1d</--1

当2或-2时，直线与C的有1个交点，

----<Q<0

当2时，直线与C的交点为2,

故DQ-3“）={0,1,2},故c正确，

对于D,取。=1，b=-3,由c可知直线与C的交点为1,

故">5且6<0不能得到0（。1）={3},故D错误.

故选：AC

(-00,-1]

12.【正确答案】

f（x）=—x3+x2-mx（mE：R）

【详解】因为函数3,在R上单调递增，

所以/'（%）=/+2苫一加20在R上恒成立，

即"Wf+2x在R上恒成立，所以加#+2文，

因为/+2X=（X+1）2-1NT,所以加4-1,

所以实数m的取值范围为（一叫一”.

故答案为.（一0°'一”

9

13.【正确答案】16

【详解】设事件/表示“恰好看到这道题小张的答案是正确的”，

设事件3表示“恰好看到的这道题小张有思路”，则恰好看到了小张一道题的答案,

--5331189

P(N)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|S)=-x-+-x-=—=-

这个答案是正确的概率为

9

故16

14.【正确答案】7一有

［详解］由4=6$也0+1/《«0+2）得4_2=石51116+6（：05劣，

所以|z「2i|=8,所以复数4对应的点心在以40,2）为圆心，g为半径的圆上;

而z?=_5i对应的点Z2（0,-5）；易知k-Z21的最小值为|g一厂=7-3

15.【正确答案】（1）54

4A/5

⑵5

【详解】（1）设点P的坐标为a”

因为动点尸到直线x=-5的距离是它到点“（T°）距离的石倍,

所以|x+5卜国（x+l）—,

-------1-------=1

化简得54,

d

故「的方程为54.

（2）设点。的坐标为（X。/。），已知尸为直角三角形.

①若/4FQ=90。，此时毛=一1,

I4475

②若/尸/。=90。，由①同理可得，A/Q尸的面积工,"一y

FO\

③若4"=9。°,因为尸(-1，。)「(1，。),

所以尸0=6+1,%),/0=(%-1,%),

x

____/、/、2=尤：-1+(4--o।3

所以F0/2=(X°-1)G°+1)+K=X；_1+WI5J-y+%0,

所以N/Q/290。，即此时不符合题意.

综上，人/8的面积为5

16.【正确答案】（1）12

⑵①39；

②证明见解析，第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大

【详解】(1)设该选手答对的题目个数为该选手在第一轮的得分为〃，则

婚，易知&的所有可能取值为°』，2,

上=1)=等=1

2

P抬=2)=与C=上3

故4的分布列为

012

133

P

10510

■■■^(^)^xO+fxl+Ax2=^则£(〃)=10£(0=12.

(2)①由题意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答,

.•上=0,则月="二1-11xl=2

339

②由第力次回答的是甲的概率为得当"22时，第1次回答的是甲的概率为Pf

第次回答的不是甲的概率为「Ei,

n—1

31

•・日_i_P=-x+—

是以4为首项，§为公比的等比数列,则“44

，第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大

17.【正确答案】(1)证明见解析

(2)答案见解析

【详解】(1)取幺。的中点°,连接℃、OP,因为尸/=尸0=/。=8=2,

所以尸0_L，又ZADC=60°,所以OC=V12+22-2xlx2cos60°=百,

所以。£»2+。72=。。2,即/CO0=9O。，所以。

又℃n。尸=0,℃。尸(=平面尸。C,所以4D_L平面POC,

又尸Cu平面尸。C,所以尸CL4D；

p

（2）因为/D〃8C,ZDAB=90°,又OCLAD,所以OC///8,所以四边形48co为矩

形，

如图以°为坐标原点，0z,平面N5CZ）,建立空间直角坐标系，

则4（1,0,。），°（-L°，°）,。（。,百，。），3（百,0）

若选条件①：PBLAD,显然Pe平面侬，设尸（O,6,c）0>O,c>O）,

则成=G小疯c）,52=（2,0,0）,所以而而=-2/0,与尸6矛盾，故条件①

不符合题意；

若选条件②：।-7，显然尸e平面〃)Z设厂(uw,c,八〃，u,c，uj

r/-------------拒

J（O-l）+/+°2=2F=E

3〕

J@一百）+<?=V3c=；

!UJ2、

则），解得I2,j

—（右3）—（63）PB-[l百3

"=T，千,5CP=0,-手弓〔亍型

所以（2"，<刀,

设而=2丽（0<2<1）

—————————1h八，631〃包g3.3

CG=CP+PG=CP+APB=0,--+

则122>(22)(2222

0•AD=-2x=0

<

设平面尸4D的法向量为"=（x，y，z）,则〔n-AP=-x+—2y+-2z=0,取n"-(S0y

.△CG-«3-32V2

司•司2次+3(2一1)27

设直线CG与平面P4D所成的角为0,则

。3PG3

A——------

解得5或4=3（舍去），所以网的值为5；

若选条件③：二面角尸的大小为60°.

由（1）可知即为二面角尸-的平面角,即ZPOC=60°又

PO="-I?=V3,

尸2*12

所以、

CP=PB=亍

°,-第22］)1

则1

设闲=4而（0<4<1）

\

八月3।一拒”37行"3

CG=CP+PG=CP+APB=0,------+21,——

222222

则J

n-AD=-2x=0

--A~nV33

n•AP=—xH-----yd--z=0(

设平面P4O的法向量为力=（""）,则122,取n=0,V3,-l)

|CG-H|3-32叵

sin6=

2荷+3(4-1)~T~

设直线CG与平面尸4D所成的角为0,则

。3PG3

/L——-----

解得5或2=3（舍去），所以P3的值为5.

兀

18.【正确答案】（1）7

（1忖

⑵的41，6），「下力

⑶14

【详解】（1）根据题意知，向量0V=G8）的相伴函数为

f(x)=3sinx+>/3cosx=2A/3sin(x+—)

6,

/(x)=2A/3sinfx+—I=3sin1x+—

当I时，I62

x+—x+-=-x=-

则6(62),所以63,故6.

（2）因为

^(x)=V3cosX+—+cos—~x=V3cosxcos--sinxsin—+cosxcos—+sinxsin—

(3)(6JI33)66

OM=(-l,43^

整理得到g«=-sinJC+V3cosx；故函数g（x）的相伴特征向量

_/「、盟」（一1,a=［」当

则与。"=（T百）同向的单位向量为1

(3)由题意得，〃(x)=cosx,

cosC=//(—)=cos—=—C=—

在V4BC中，AB=2,662,因此6,