2024-2025学年江苏省扬州市高邮市九年级上期末数学试卷（附答案解析）

2024-2025学年江苏省扬州市高邮市九年级上期末数学试卷

一、单选题

1.（3分）下列说法正确的是（）

A.打开电视，正在播放新闻节目是必然事件

1

B.抛一枚硬币，正面朝上的概率为万，表示每抛两次就有一次正面朝上

C.抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是3的概率为:

D.任意画一个三角形，它的内角和等于360°

2.（3分）边长为2的正三角形的外接圆的半径是（）

l2V3V3

A.2V3B.2C.-----D.—

32

3.（3分）某校举行了科学素质知识竞赛，进入决赛的学生共有10名，他们的决赛成绩如表所示:

决赛成绩/分100959085

人数/名1423

则这10名学生决赛成绩的中位数和众数分别是（）

A.92.5,93B.95,95C.92.5,95D.92.5,100

4.（3分）用配方法解方程,+8x+7=0,则配方正确的是（）

A.（x+4）2=9B.（x-4）2=9C.（x-8）2=16D.（x+8）2=57

5.（3分）如图，Rt4/BC中，ZC=90°,BC=9,AC=12,经过点8且半径为5的与48交于D,

与C5的延长线交于E,则线段。E的长为（）#ZZ01

A.6.4B.7C.7.2D.8

6.（3分）将抛物线夕=-2x2+1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为

（）

A.尸-2（x+1）2B.y=-2（x+1）2+2

C.--2（x-1）2+2D.尸-2（x-1）2+1

第1页（共27页）

7.（3分）如图，是。O的弦，C是N3的三等分点，连接OC并延长交。。于点。.若0C=3,CD=

2,则圆心。到弦AB的距离是（）

A.6V2B.9-V2C.V7D.25-3V2

8.（3分）已知二次函数y=ax2+6x+c（a为常数，且a>0）的图象上有四点/（-1,yi）,B（3,ji）,C

（2,丝），-0（-2,”）,则yi,>2,”的大小关系是（）

A.yi<y2<y3B.y2<yi<y3C.y2<y3<yiD.y3<yi<y2

二、填空题

34

9.（3分）已知一=-，火c_

zx—3y+5z

10.（3分）若关于x的一元二次方程k/+（k—2）乂+[=0有两个不相等的实数根，则左的取值范

围.

11.（3分）某班级计划利用暑假去研学旅行，他们准备订做一批容量相同的双肩包.活动负责人征求了全

班40名同学的意向，得到如下数据：

容量〃232527293133

人数/人4352332

为了满足大多数人的需求，此次订做的双肩包容量为L.

12.（3分）如图，已知传送带与地面NC所成斜面坡度为i=1：V2,如果它把物体送到离地面3米高

的地方，那么物体所经过的路程为米.

A刁

13.（3分）若实数a,6满足好庐=1,则片+皿？的最小值是.

14.（3分）开口向上的抛物线y=a（x+2）（x-8）与x轴交于8两点，与y轴交于。点，若NACB=

90°,则a的值是.

15.（3分）已知点/（4,yi）,5（-1,y2）,C（-3,”）均在抛物线-4ax+c（a>0）上.则yi,

歹2,y3的大小关系为•

第2页（共27页）

16.（3分）如图，二次函数/=-』+2»«:+2〃什1（机是常数，且机＞0）的图象与无轴交于/,2两点（点

4在点8的左侧），与〉轴交于点C,顶点为D.其对称轴与线段5c交于点E,与x轴交于点尸.连接

AC.若NBEF=2/ACO,则m的值为.

17.解方程

(1)X2+6X-5=0；

(2)(x+3)(x-3)=2.

18.某班开展“讲数学家故事”的活动.下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片/,B,C,D,

卡片除图案外其它均相同.将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲

述卡片上数学家的故事.

（1）请写出小明抽到的两张卡片所有可能出现的结果；

（2）求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率.

19.学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试已知七、八年级各有200人，现从两个年级分

别随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分进行统计：

七年级:86,94,79,84,71,90,76,83,90,87.

八年级：88,76,90,78,87,93,75,87,87,79.

整理如下：

年级平均数中位数众数方差

第3页（共27页）

七年级84a9044.4

八年级8487b6.6

根据以上信息，回答下列问题：

(1)填空：a—,b—；

/同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是年级的学生；

(2)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总

人数；

(3)你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由.

20.关于x的一元二次方程/-(叶3)x+2左+2=0.

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若方程有一个根小于1,求人的取值范围.

21.图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图.已知屋面/£的倾斜角NEAD

为22°,长为3米的真空管45与水平线/。的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5

米.

(1)真空管上端8到水平线4。的距离.

(2)求安装热水器的铁架水平横管3C的长度(结果精确到0.1米).

24221K

(参考数据：sin37°〜宁cos37°笈宁tan37°V干sin22°«g,cos22°〜正，tan22°20.4)

22.如图，△NBC内接于。。，A8是直径，/C48的平分线交8C于点D,交O。于点£，连接防，作

EF//BC,交48的延长线于点R

(1)试判断直线M与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若3尸=9,即=15,求4D的长.

第4页(共27页)

cE

23.如图，公园原有一块长方形空地，长是宽的2倍.从这块空地上划出“”型区域栽种鲜花,

原空地的宽减少了2〃?，长减少了3根，剩余空地的面积是原空地面积的一半，求原空地的长和宽.

24.如图，43是。。的直径，C为。。上一点(C不与点3重合)连接NC,BC,过点C作。

垂足为点。.将△/CD沿/C翻折，点。落在点£处得△/(7£,NE交于点R

(1)求证：CE是OO的切线；

(2)若/比1C=15°,OA=2,求阴影部分面积.

25.为充分利用现有资源，学校“牧春园”计划用一块矩形地种植两种花卉.如图，矩形地NBC。一面靠

墙(墙的长度为12%),另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏所把它分成两个面积相等的矩形.已知

栅栏的总长度为27m.

(1)若矩形地4BCD的面积为42机2,求48的长；

(2)当48边为多少时，矩形地488的面积最大，最大面积是多少？

26.【提出问题】

(1)如图1,在等边△ABC中，点M是3c上的任意1•点(不含端点2、C),连接以为边

第5页(共27页)

作等边△4W,连接CN.求证：ZABC=ZACN.

【类比探究】

(2)如图2,在等边△48C中，点M是8C延长线上的任意一点(不含端点C),其它条件不变，(1)

中结论//CN还成立吗？请说明理由.

【拓展延伸】

(3)如图3,在等腰△/BC中，点〃是BC上的任意一点(不含端点2、C),连接以

为边作等腰△4W,使顶角连接CN.试探究/N5C与/NCN的数量关系，并说

明理由.

BMCBCMBMC

图1图2图3

27.如图1,E点为x轴正半轴上一点，交x轴于N、B两点,交y轴于c、。两点，尸点为劣弧比

上一个动点，且/(-1,0)、E(1,0).

(1)元的度数为__________°;

(2)如图2,连结PC,取PC中点G,连结OG,则。G的最大值为一

(3)如图3,连接/C、AP、CP、CB.若C。平分NPCD交力于。点，求4。的长；

PC+PD

(4)如图4,连接E4、PD,当P点运动时(不与3、C两点重合)，求证■值’并求出这

个定值.

ATOTETBXo[ETBXojETBXA\~

图1图2图3图4

第6页(共27页)

2024-2025学年江苏省扬州市高邮市九年级上期末数学试卷

参考答案与试题解析

题号12345678

答案CCCADCCB

一、单选题

1.（3分）下列说法正确的是（）

A.打开电视，正在播放新闻节目是必然事件

1

B.抛一枚硬币，正面朝上的概率为了表示每抛两次就有一次正面朝上

C.抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是3的概率为:

D.任意画一个三角形，它的内角和等于360°

【解答】解：N、“打开电视，正在播放新闻节目”是随机事件，故本选项说法错误；

1

5、“抛一枚硬币正面向上的概率为万”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面向上”这一事件发生的频

1

率稳定在万附近，故本选项说法错误；

。、“抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是3的概率为:”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的

6

点数是3”这一事件发生的频率稳定在;附近，故本选项说法正确；

。、任意画一个三角形，它的内角和等于180°,故本选项说法错误.

故选：C.

2.（3分）边长为2的正三角形的外接圆的半径是（）

l2V3V3

A.2A/3B.2C.-----D.—

32

【解答】解：如图，等边△/BC中，三边的垂直平分线交一点。，则。是△/8C外接圆的圆心，

第7页（共27页）

1

：.ZOBC=ZOCB=30°,BF=CF=*C=L

：.OF=^-BF,

：.OB=2OF=与.

故选：C.

3.（3分）某校举行了科学素质知识竞赛，进入决赛的学生共有10名，他们的决赛成绩如表所示:

决赛成绩/分100959085

人数/名1423

则这10名学生决赛成绩的中位数和众数分别是（）

A.92.5,93B.95,95C.92.5,95D.92.5,100

【解答】解：这10名学生的成绩从小到大排列，中位数是第5个，第6个数据的平均数即

这10名学生成绩中95出现的次数最多，共出现4次，即众数为95,

故选：C.

4.（3分）用配方法解方程X2+8X+7=0,则配方正确的是（）

A.G+4）2=9B.（X-4）2=9C.（x-8）2=16D.（x+8）2=57

【解答】解：VX2+8X+7=0,

.*.X2+8X=-7,

=>/+8x+i6=-7+16,

（x+4）2=9.

，故选：A.

5.（3分）如图，中，ZC=90°,BC=9,AC=U,经过点5且半径为5的。。与45交于。,

第8页（共27页）

与CB的延长线交于E,则线段的长为()#ZZ01

A.6.4B.7C.7.2D.8

【解答】解：如图所示，连接。。并延长交于凡连接£尸，

'：D0是直径，

:.NDEF=90°,

在RtZk/BC中，ZC=90°,BC=9,/C=12,

：.AB=VXC2+BC2=15,

ABC—=中

:四边形是圆内接四边形，

/+/。5£=180°,

又；/ABC+/DBE=18G°,

：.ZABC=ZF,

sinZABC=sinF,

在RtADE尸中，sinF=§f=|>

.•.。£=瓶>尸=10x^=8,

故选：D.

6.(3分)将抛物线夕=-2X2+1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为

()

A.y=-2(x+1)2B.y=-2(x+1)2+2

第9页(共27页)

C.尸-2(x-1)2+2D.尸-2(x-1)2+1

【解答】解：•••抛物线＞=-2x2+1向右平移1个单位长度，

，平移后解析式为：＞=-2(x-1)2+1,

；•再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为：-2(x-1)2+2.

故选：C.

7.(3分)如图，48是OO的弦，C是43的三等分点，连接0c并延长交。。于点。.若。C=3,CD=

2,则圆心0到弦的距离是()

【解答】解：如图：过。作。GLN3于G,根据垂径定理有：AG=BG,

设/C=2a,则C2=4a,CG=a,GB=3a,

在RtA0CG中，=ocfi+CG1=OG2+(r①

在Rt^OBG中，。炉=。62+65=062+9/②

又0c=3,。5=5,代入①②中，解方程得：,=2,OG2=1.

所以圆心到弦的距离是位.

8.(3分)已知二次函数y=ax2+6x+c(a为常数，且a>0)的图象上有四点N(-1,yi),B(3,yi),C

(2,竺)，D(-2,/)，则yi,>2,”的大小关系是()

A.y\<y2<y3B.y2<yi<ysC.y2<y3<y\D.ys<yi<y2

【解答】解：依题意，/(-1,yi),B(3,yi),在二次函数y=a/+bx+c(a为常数，且。>0)的图

象上，

对称轴为直线％=二*=1,抛物线开口向上,

V2-1=1,1-(-2)=3,

，点C(2,竺)到对称轴的距离为1,点。(-2,”)到对称轴的距离为3,点3(3,ji)到对称轴

第10页(共27页)

的距离为2,

故选：B.

二、填空题

八心345r,2x+4y-z17

9.（3分）已知［=亍=7则工7三=一五一

345

【解答】解：设一=一=一=左,

xyz

r7|||345

贝!y=pz=p

616517

2x+4y—z计7一工T17

所以

%—3y+5z空=匹=I?

kkkk

故答案为：—.

10.（3分）若关于X的一元二次方程k/+（k-2）久+t=0有两个不相等的实数根，则左的取值范围_k

VI且20.

【解答】解：根据题意得20且/=(fc-2)2-4/cx=-4/c+4>0,

解得左＜1且左W0；

故答案为：左＜1且左W0.

11.（3分）某班级计划利用暑假去研学旅行，他们准备订做一批容量相同的双肩包.活动负责人征求了全

班40名同学的意向，得到如下数据：

容量〃232527293133

人数/人4352332

为了满足大多数人的需求，此次订做的双肩包容量为29L.

【解答】解：：29出现23次，出现次数最多，

众数是29,

故答案为：29.

12.（3分）如图，已知传送带与地面NC所成斜面坡度为i=1：V2,如果它把物体送到离地面3米高

的地方，那么物体所经过的路程为二百—米.

第11页（共27页）

V)B

Aj

【解答】解：：8C=3米，斜坡4g的坡度是1：V2,

；./C=3鱼米，

：.AB=-JAC2+BC2=J(3企尸+32=3A/3(米)，

则物体所经过的路程为3百米，

故答案为：3W.

13.(3分)若实数a,b满足a+b2=l,则a2+4b2的最小值是1.

【解答】解：'：a+b2=l,

庐=1-a,

a2+4b2=a2+4(1-a)=a2-4a+4=(a-2)2,

・"2=1-心0

••a1j

可见，Q=1时，取得最小值1.

故答案为1.

14.(3分)开口向上的抛物线歹=Q(x+2)(x-8)与x轴交于45两点，与y轴交于。点，若NACB=

1

90°,则。的值是-.

—4—

【解答】解：,・•抛物线y=q(x+2)(x-8)与x轴交于4,5两点，与》轴交于。点，

：.A(-2,0)、B(8,0)、C(0,-16。)

VZACB=90°,

：.AC2+BC2=AB2,

A22+(16Q)2+82+(16。)2=102,

1

解得：a=±~,

4

・・•开口向上，

,_1

・・。-4，

故答案为：

4

15.(3分)已知点4(4,yi),5(-1,二)，C(-3,/)均在抛物线-4"+c(a〉0)上.贝(Jyi,

第12页(共27页)

>2,y3的大小关系为"1<."2<了3•

【解答】解：-4QX+C（Q>0）,

，抛物线开口向上，对称轴为直线％=-妥=2,

距离对称轴越近的点的纵坐标越小，

V4-2<2-（-1）<2-（-3）,

・“1<及<?3,

故答案为：y\<yi<y?>-

16.（3分）如图，二次函数>=-7+2加什2加+1（冽是常数，且冽>0）的图象与x轴交于4,5两点（点

4在点5的左侧），与歹轴交于点C,顶点为。.其对称轴与线段5c交于点E,与x轴交于点尸.连接

V2

AC,若/BEF=2/ACO,则用的值为—彳_.

【解答］解：在》=-x1+2mx+2m+l中，当＞=0时，-f+2冽X+2冽+1=0,

解方程，得xi=-1,X2=2m+1,

・・•点/在点B的左侧，且加＞0,

：.A(-1,0),B(2m+l,0),

在〉=-x2+2mx+2m+l中，当x=0时，y=2m+l,

：.C(0,2m+l),

OB=OC=2m+l,

VZBOC=90°,

：.ZOBC=45°,

・・・斯〃丁轴，

・•・/BEF=ABCO,

,/NBEF=2/ACO,

：.ZBCO=2ZACO,

作/。C5的平分线交05于点G,过点G作于点〃，贝iJOG=GH,如图,

第13页（共27页）

ZBCO=2ZOCGfGH=GO,

：.ZACO=ZGCO,

：.AACO^AGCO(ASA)f

：.OA=OG=GH=\,

:.GB=OB-0G=2m+l-\=2m,

■:GH工BC,ZGBH=45°,

...△8G〃是等腰直角三角形，

；.GB=V2GH,

即2nl=V2>

._V2

••772—2,

V2

故答案为：—.

三、解答题

17.解方程

(1)X2+6X-5=0；

(2)(x+3)(x-3)=2.

【解答】解：(1)Vx2+6x-5=0,

.,.x1+6x—5,

贝!J，+6X+9=5+9,即(x+3)2=14,

；.x+3=+V14,

；.xi=-3+V14,X2=-3-V14；

(2)整理为一般式，得：x2-11=0,

.■.x2=lI,

.*.xi=Vil,X2=—Vil.

18.某班开展“讲数学家故事”的活动.下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片/,B,C,D,

第14页（共27页）

卡片除图案外其它均相同.将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲

述卡片上数学家的故事.

(1)请写出小明抽到的两张卡片所有可能出现的结果；

(2)求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率.

【解答】解：(1)列表如下:

ABcD

A(A,B)CA,C)(/,D)

B(B,N)(B,C)(5,D)

C(C,A)(C,B)(C,D)

DCD,A)(D,B)(.D,C)

由表格可知，共有12种等可能的结果.

(2)由表格可知，小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的结果有：(/,C),(2,C),

(C,A),(C,B),(C,D),CD,C),共6种，

...小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率为。=1.

19.学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试已知七、八年级各有200人，现从两个年级分

别随机抽取10名学生的测试成绩x(单位：分进行统计：

七年级:86,94,79,84,71,90,76,83,90,87.

八年级：88,76,90,78,87,93,75,87,87,79.

整理如下：

年级平均数中位数众数方差

七年级84a9044.4

八年级8487b6.6

第15页(共27页)

根据以上信息，回答下列问题：

(1)填空：a—85,b—87；

/同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是七年级的学生:

(2)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总

人数；

(3)你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由.

【解答】解：(1)把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71,76,79,83,84,86,87,90,90,

94,

根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为a=/卡=85,

八年级10名学生的成绩中87分的最多有3人，所以众数6=87,

/同学得了86分，大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生；

故答案为：85,87,七；

56,

(2)—X200+7^x200=220(人)，

1010

答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数大约为220人；

(3)我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好，

理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所

以八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好.

20.关于x的一元二次方程，-1+3)x+2左+2=0.

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若方程有一个根小于1,求左的取值范围.

【解答】(1)证明：：在方程--(眉*3)x+2好2=0中，△=[-(R3)]2-4XlX(2^+2)=F-2左+1

=(k-1)220,

方程总有两个实数根.

(2)解：•Zx2-(左+3)x+2k+2=(x-2)(.x-k-1)=0,

•«xi=2,X2~~1.

..•方程有一根小于1,

：.k+\<\,解得：k<0,

.."的取值范围为左<0.

21.图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图.已知屋面/£的倾斜角NE4D

第16页(共27页)

为22°,长为3米的真空管48与水平线/。的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管的长度为0.5

米.

（1）真空管上端3到水平线的距离.

（2）求安装热水器的铁架水平横管2C的长度（结果精确到0.1米）.

QA?a1q

（参考数据：sin37°《引cos37°七引tan37°七彳，sin22°七百，cos22°七左，tan22°20.4）

【解答】解：（1）过5作现LL4。于足

在RtZk/AF中，sin/34F=黑，

Q

则2尸=ABsin/3/F=3sin37°«3x|=1.8（米）.

答：真空管上端3到/。的距离约为1.8米；

4/7

（2）在中，cosZBAF=

则/尸=/8cos/B/F=3><cos37°-2.4（米），

"：BFLAD,CDLAD,BC//FD,

...四边形3EDC是矩形.

:.BF=CD,BC=FD,

V£C=0.5米，

：.DE=CD-CE=1.3米，

在RtAEAD中，tanZEAD=卷，

则"=而携而=W=3.25（米），

：.BC=DF=AD-AF=3.25-2.4=«0.9（米），

答：安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.9米.

第17页（共27页）

图2

22.如图，△/BC内接于。。，N5是直径，的平分线交8C于点D,交。。于点£,连接即，作

EF//BC,交48的延长线于点尸.

（1）试判断直线即与O。的位置关系，并说明理由;

（2）若3尸=9,即=15,求的长.

【解答】解：（1）直线M是。。的切线.理由如下:

连接OE,0C,

平分/C43,

；.NCAE=/BAE,

：.CE=BE,

；.NCOE=/BOE,

'：OC=OB,

：.OE±BC,

'：BC//EF,

：.OE±EF,

是。。的半径，

即是OO的切线；

（2）在Rt^OM中，由勾股定理得：

OE2+EF2=OF2,

：OE=OB,

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：.OE2+EF2^(OE+BF)2,

即：OE2+152=(OE+9)2,

解得：OE=8,

..・O。的半径为8；

是。。的直径，

ZAEB=90°,

VZO£F=90°,

NBEF=ZAEO,

；OA=OE,

：./BAE=ZAEO,

：.NBEF=/BAE,

'：NF=NF,

:.△EBFs^AEF,

BEBF93

AE~EF~15~5

AE=诳，

在RtA48E中,

由勾股定理得：AE2+BE2=AB2,即+2=162,

解得：8£=嚼i

20734

：.AE=

34'

■:BC//EF,

ABAD18AD

而=.’即行=还

34

.3誓.

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23.如图，公园原有一块长方形空地，长是宽的2倍.从这块空地上划出“I_____I”型区域栽种鲜花,

原空地的宽减少了2%，长减少了3加，剩余空地的面积是原空地面积的一半，求原空地的长和宽.

乘除空地

【解答】解：设原空地的宽为山”，则长为2xm,

1

根据题意得：(2%-3)(x-2)=2炉2%,

整理得：X2-7x+6=0,

解得：％=1或6,

当％=1时，2x=2,2x-3=-1VO(不符合题意，舍去)，

当％=6时，2x=12,

答：原空地的长为12冽，宽为6冽.

24.如图，45是。。的直径，。为上一点(C不与点4,5重合)连接4C,BC,过点。作CQJ_45,

垂足为点。.将沿/C翻折，点。落在点E处得△ZCE,AE交。0于点F.

(1)求证：CE是。。的切线；

(2)若NB/C=15°,OA=2,求阴影部分面积.

【解答】(1)证明：连接。C,

u：CDLAB,

：.ZADC=90°,

,/AACD沿AC翻折得到△4CE,

AZEAC=ABAC,ZAEC=ZADC=90°,

,：OA=OC,

：.NACO=/BAC,

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・•・NACO=NEAC,

：.OC//AE,

：.ZAEC+ZECO=1SO°,

AZ£CO=90°,BPOCLCE,

・・・C£是。。的切线；

(2)解：连接OR过点。作OGL4E于点G,

VZBAC=15°,

:./BAE=2NBAC=30°,ZCOF=2ZEAC=2ZBAC=30°,

•・S=2,

OG=^OA=lfAG=V3,

U：OA=OF,

：.AF=2AG=243,

VZBOC=2ZBAC=30°,CD工AB,OC=OA=2,

：.CD=^OC=1,OD=遮，

AE=AD=AO+OD=2+V3,

:・EF=AE-AF=2-W,CE=CD=\,

S阴影=S梯形OCEF-S扇形OCF

=7Tx(2—V3+2)X1—丁(「XTCX22

L36U

一2一彳一尹

25.为充分利用现有资源，学校“牧春园”计划用一块矩形地种植两种花卉.如图，矩形地N3C。一面靠

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墙（墙的长度为12%）,另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏所把它分成两个面积相等的矩形.已知

栅栏的总长度为27,力.

（1）若矩形地48CD的面积为42n?2,求Ag的长；

（2）当48边为多少时，矩形地48co的面积最大，最大面积是多少？

;

BFC

【解答】解：设的长为x"z,则3c的长为（27-3x）m,

根据题意得：（27-3x>x=42,

解得x=2或x=7,

当x=2时，27-3x=21>12,不合题意，舍去，

当x=7时，27-3x=6<12,符合题意，

，x=7,

答：的长为7冽；

（2）设矩形的面积为5混，

则S=（27-3x）x=-3/+27X=-3（x-9尤）=-3（x-J）2+学，

Z4

■:BC=27-3xW12,

••x5,

-3<0,

・••当x=5时，S有最大值，最大值为60,

...当48边为5时，矩形地/BCD的面积最大，最大面积是60混.

26.【提出问题】

（1）如图1,在等边△NBC中，点M是3。上的任意一点（不含端点8、C）,连接以为边

作等边△WW,连接CN.求证：/ABC=NACN.

【类比探究】

（2）如图2,在等边△48C中，点M是8C延长线上的任意一点（不含端点C）,其它条件不变，（1）

中结论//CN还成立吗？请说明理由.

【拓展延伸】

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（3）如图3,在等腰△4BC中，R4=8C,点”是8C上的任意一点（不含端点8、C）,连接4W,以

为边作等腰△/跖V,使顶角//跖V=//2C.连接CM试探究//3C与//CN的数量关系，并说

明理由.

图1图2图3

【解答】（1）证明::△48C、△/的是等边三角形,

：.AB=AC,AM=AN,ZBAC=ZMAN=60°,

ZBAM^ZCAN,

:在和△CAN中，

AB=AC

ABAM=乙CAN

AM=AN