2024-2025学年九年级数学开学摸底考试卷（沪教版）（全解全析）

2024-2025学年九年级数学下学期开学摸底考

（上海专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项:

I.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题

目要求的）

1.病■的平方根是（）

A.±3B.3C.±9D.9

【答案】A

【详解】解：病=9,

■.-9的平方根为±3,

・•.J的的平方根是±3,

故选：A.

2.下列运算正确的是（）

11

A.（-43）,a=—aB.a3b2-a=a4b2

C.+1）="+1D.(tz—I)2=a2—1

【答案】B

【详解】解：A、故该选项不符合题意;

B、a3b2-a=a4b2,故该选项符合题意；

C、a（a+l）=a2+a,故该选项不符合题意;

D、（a-iy=a2-2a+l,故该选项不符合题意;

故选：B.

3.对于二次函数y=-（x-2y+5的图象的特征，下列描述正确的是（）

A.开口向上B.顶点坐标（-2,5）

C.对称轴是直线x=2D.在x>2时，V随x的增大而增大

【答案】C

【详解】解：A、-1<0,抛物线的开口向下，则该选项错误，故不符合题意；

B、顶点坐标为（2,5）,则该选项错误，故不符合题意；

C、对称轴是直线x=2,则该选项正确，故符合题意；

D、当x>2时，V随x的增大而减小，则该选项错误，不符合题意；

故选：C

4.如图，直线加,〃与直线a,b,B,C,点、D,E,F,其中若N2:2C=3:1,则。后：。产=

（）

A.1:2B.3:4C.2:3D.3:5

【答案】B

【详解】解:■：AB:BC=?>'.\,

.-.AB:AC=3:4,

直线a〃b〃c,

:.DE:DF=AB:AC=3:4,

故选：B.

5.下列说法正确的是（）

A.有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等

B.平分弦的直径垂直于这条弦

C.正方形既是轴对称图形又是中心对称图形

D.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

【答案】C

【详解】解：A,有两条边和其夹角对应相等的两个三角形全等，原命题是假命题;

2、平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，原命题是假命题;

C、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，是真命题;

。、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题;

故选：C.

6.如图，在△4BC中，点。、E分别在边43、4C上，点尸、G在边2c上，四边形DEG厂是平行四边形,

/N〃。尸交5c于点N.甲、乙两位同学在研究这个图形时：箓+5=底②器那么下列

说法中，正确的是（）

A.①正确②错误B.①错误②正确

C.①、②皆正确D.①、②皆错误

【答案】C

【详解】解：•••四边形DEG尸是平行四边形,

DE//BC.DF//EG,

•・.AN//DF,

・•.AN//EG//DFf

BF_BDNGAE

••嬴一行而一就

-DE//BC,

・•.△ADE~dABC,

AD_AE

,,布一就’

BFNGBDAEBDADAB

•___।___=____।___=____।___=___=]A

,BNCNABACABABAB'

LADE~AABC,

DEAD

,•加-IF'

•・.AN//DF,

Z\BDFsABAN,

..D京F_一B而D‘

DEDFADBD.

"BCANABAB'

故选：C.

第II卷

二、填空题(本大题共12小题，每小题4分，满分48分)

7.分解因式：3/_12a=.

【答案】3as+2)(0-2)

【详解】解：3a3-12a

=—4)

=3Q(Q+2)(Q-2),

故答案为：3a(a+2)(a-2).

8.方程：Jx-12=x的解为

【答案】x=4

【详解】解：Jx+12=x，

两边同时平方可得：x+n=x2,可化为：x2-x-n=o,

可解得：x=4或x=-3；

经检验x=-3不符，

故答案为：x=4.

9.将二次函数了=5/的图象向上平移3个单位长度，得到的函数的解析式是.

【答案】.=5》2+3//=3+5/

【详解】解：将二次函数了=5,的图象向上平移3个单位长度，得到的函数的解析式是y=5x2+3.

故答案为：—十3

10.点/(T/1),8(4,%)是二次函数/=^-1)2图象上的两个点，则必%(填"或

【答案】＜

2

【详解】解：当x=-l时，71=(-1-1)=4；

2

当x=4时，J；2=（4-1）=9,

v4<9,

・•・%<%,

故答案为：<.

11.如图，某小区计划用总长为20m的铁栅栏围成一个两边靠墙的矩形车棚45CQ（墙足够长），为了方便

存车，在5c（5C〉2m）边上开了一个2m宽的门所（门不是用铁栅栏做成的），设边的长为仙，车棚

面积为四？，则歹与》之间的函数关系式是.

【答案1jv=-X2+22x

【详解】解：••・Z5=xm,

AD=（20+2）-x=（22-x）m

y=AB-AD=x（22-x）=-x2+22x,

故答案为：y=--+22X.

12.定义：在△ZBC中，NC=30。，我们把N/的对边与/C的对边的比，叫做乙4的邻弦，记作

thU=—.解决问题：在A48C中，ZC=30°,thL4=V3,BC=12,则/C=________.

AB

【答案】8也或4出

【详解】解：：thM=W=JL8c=12,

■-AB=4百

如图所示，过点八作4018。于点。，设NC=x,则4D=1x

2

.S=/CxcosC=旦，DB=\CD-BC\=^-x-U

2/

在RtLADB中，AD2=AB2-DB2

2

-Xx-12

解得：x=8G或4G

故答案为：8g或4g.

13.如图，△4BC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin//C3的值为

连接力。,也9,

•••AC=ylAD2+CD2=5

AF)4

/.sin/ACB=sinZACD=——=-

AC5

4

故答案为：—

14.如图，标明了甲地、乙地与丙地的大致位置，请用规范的数学用语指明:丙地在甲地的

方向上.

【答案】南偏东30°

【详解】解：由题意可知，丙地在甲地的南偏东30。方向上，

故答案为：南偏东30。.

15.如图，已知正方形/BCD的边长为30,点E是AB的中点，DHLCE于H,BD交CE于G,则

【答案】4布

【详解】解：•••正方形的边长为30,

...AB=BC=CD=30,/ABC=/BCD=90°,AB//CD,

・・•点E是4g的中点,

；.BE二L4B=15,

2

••CE=^BE2+BC2=1575，

•/AB//CD,

・•・ABEGsADCG,

CGDCc

-----=-------=2,

EGBE

：.CG=-CE=10y/5f

3

•:DHICE,

・•.ZDHC=ZDCB=ZCBE=90°,

ZHCD+ZHDC=90°=ZHCD+/BCE,

/.ZHDC=/BCE,

:・AHDCsABCE,

CHCDCH_30

"~BE^~CE'n'n015_1575，

CH=6yf5,

■■HG=CG-CH=4yf5,

故答案为：4石.

16.如图，在中，点G是重心，过点G作GD〃BC,交边/C于点D,联结3G,如果%欣=36,

那么S四边形BGDC=

【答案】16

【详解】解：连接/G,延长/G交于点并延长至尸，使得=延长BG交/C于点E,连

接CG,8G

点G是重心，

分别为3C,4C的中点，

BH=CH,

••・四边形CGBF是平行四边形,

：.CF//BE

AGAE1

--------=---------=1

FGEC

AG=GF=2GH

■:S丛ABC=36，

*''S&ABH=^^ACH—^^ABC=18,

S"BG=12,S.BGH=6,

•••GD//BC,

:,八AGDs小AHC,

S&AGD+S四边形GHCD=54AHe=18

SAAGD=8,S四边形G”。=10,

••・S四边形BGDC=S&BGH+S四边形Gac。=6+10=16

故答案为：16.

17.RtA45C中，已知NC=90。，4B=50。,点。在边5C上，2cz)(如图).把ZU5C绕着点。逆时

针旋转机(0<m<180)度后，如果点5恰好落在初始RtA45C的边上，那么加=.

【答案】80。或120°

【详解】解：如图，在线段AB取一点引，使DB二DB，，在线段AC取一点B〃，使DB二DB〃,

②在Rt^B〃CD中，vDB/z=DB=2CD,

.•.NCDB”=60",

旋转角NBDB”=180°-NCDB"=120°.

故答案为80。或120°.

18.半径为2的正六边形最长对角线长为.

【答案】4

【详解】解：如图，六边形/5CDE尸为正六边形，点。是正六边形外接圆的圆心，半径为2

・•,正六边形ABCDEF为中心对称图形，

它的一条最长对角线过点O,

■-AD=20A=2x2=4,

二半径为2的正六边形最长对角线长为4.

故答案为：4.

三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分。解答应写

出文字说明，证明过程或演算步骤）

-1

19.计算：y/n-----------------（3-7）°+

1+tan60017

【答案】3

【详解】解：原式=26^-1+2

=26-（26-2）-1+2

=3.

—

49

20.解方程组：

f=*+3）

x=2、x=-2、x=0

【答案】y=0或y=0或

尸一3

"2+4必=36①

【详解】解：方程组整理得

9x2=12y+36(2)

②代入①得：12尸36+4/=36,即，=-3人

解得：y=0或了=-3,

将》=。代入②得：9/=36,

解得：x=2或x=-2,

[x=2[x=-2

即n或n；

b=ob=o

将V=-3代入②得：9X2=0,

解得：x=0,

\x=0

即V

卜=-3

[x=2(x=—2fx=0

综上，方程组的解为：c或n或J

[y=ob=o。=-3

21.如图，半径为5的。。经过ZUBC的顶点48,与边2c相交于点。，BD=8,AB=AD.

⑴求AB的长；

4

(2)如果tanC=1,判断直线与以点C为圆心、9为半径的圆的位置关系，并说明理由.

【答案】⑴4君;

(2)直线N3与0c相交，理由见解析.

【详解】(1)解：连接工。并延长交3c于点E,连接OB,

AB=AD,

・•.AELBD,

：.ZAEB=ZAEC=90°,BE=-BD=4,

2

OE=OB2-BE2=552-42=3，

AE=AO+OE=5+3=8,

AB=YIAE2+BE2=A/82+42=4A/5；

(2)解：直线与。。相交，理由如下:

过点。作CHLZB于H,

A

4

-ZAEC=90°tanC=-,

f3

.AE_4

•*,一，

CE3

8_4

一，

CE3

：.CE=6,

BC=BE+CE=4+6=Wf

•••SA/AIDRC=—2BCAE2=—ABCH,

—xl0x8=—x4A/5xCH,

22

•••CH=4y[5<9,

二直线与。C相交.

22.我们定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的正对.如图，在△/BC中，AB=AC,顶

底访BC

角N的正对记作preN,这时pre/=隼>=F.仔细阅读上述关于顶角的正对的定义，解决下列问题(第

(1)(2)不必写出过程)

A

A.vB.1C.—D.2

22

⑵对于0。<4<180。，NA的正对值pre/的取值范围是.

Q

⑶如果=sinA=—,其中//为锐角，试求pre/的值.

【答案】⑴B

(2)0vpre/<2

⑶pre/=^^

【详解】(1)解：在△/8C中，AB=ACN4=60°,

△4BC为等边三角形,

AB=BC,

pre60°==1

AB

故选:B；

(2)在中，根据三角形的三边关系得：BC<AC+AB,

•・•AB=AC,

BC<2AB,

pre/上2

AB

,/preA>0,

0<pre<2,

故答案为：0<pre/<2；

(3)如图，过点B作8O14C于点。，则4408=90。，

,“BD8

•/sinA=----=——,

AB17

...设45=17左，BD=8k,

在RtAABD中，AD=JAB2-BD2=J(17左『-(8后7=15后，

•・•△45。是等腰三角形,

AB=AC=17k,

CD=AC-AD=ilk-i5k=2k,

在RtzX5CZ）中，BC7BD?+CD2=，（8左丁+（2左）2=2后k,

BC2后k2M

preA

AB-17k-17

23.如图所示，在平行四边形48czi中，点E是边8上一点，点下是边4。的中点，BEDE+AB

(1)求证：EF1BF；

(2)如果BE平分NCAF,求证：DFAD=CDCE.

【答案】⑴见解析

(2)见解析

【详解】(1)证明：如图，延长E尸交切的延长线于M,

•.•四边形ABCD是平行四边形,

CD//AB,

：.ND=NMAF,

,•,点尸是边4D的中点，

・•・AF=DF,

•••ZMFA=ZDFE,

.・.AMFA%EDF(ASA),

：.EF=MF,DE=AM,

BE=DE+AB,

BE=AB+AM=BM,

••EF1BF；

(2)证明：・・・班平分NC8尸，

AEBC=NEBF,

vBM=BE,EF=MF,

••・ZMBF=ZEBF,

/.ZMBF=ZEBF=ZEBC,

•・•四边形ABCD是平行四边形，

ZC=ZBAF,AD=BC,AB=CD,

ABCES^BAF,

BCCE

,•而一万’

,・・点尸是边40的中点，

・•・AF=DF,

ADCE

"~CD~^F"

；,DFAD=CDCE.

24.在平面直角坐标系MV中，已知抛物线》=-X2+笈+0经过点4(3,0)和点5(0,3),其顶点为C

1-

।।।।।।।।।।.

01x

(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标；

⑵求N/C3的正切值；

⑶点尸在第一象限的抛物线上，且/尸=求点尸的坐标.

【答案】⑴>=*+2x+3,C（l,4）

（2）3

【详解】（1）解：将点“（3,0）和点8（0,3）代入了=—-+/+0中，得

j9+36+c=0[b=2

a，解得a，

[c=3[c=3

••・抛物线的解析式为y=〜2+2x+3,

X"y=-x2+2x+3=-（x-l）~+4,

・•・顶点C的坐标为（1,4）；

（2）解：•・•/（3,0）、8（0,3）、C（l,4）,

AB—V32+32=3y[2，

AC=^（3-1）2+（0-4）2=275，

BC=^（l-0）2+（4-3）2=>/2,

■-AB2+BC2=AC2,

.•.△4BC是直角三角形，且/48C=90。，

/.tmZACB=—=3；

BC

（3）解：由题意，设点尸（加，一加2+2加+3）,m>0,

过夕作尸〃_L%轴于凡贝！JPT/=—冽2+2冽+3,OH=m,ZOHP=90°,

VAPOA=NACB，

/.tanZPOA=tanZACB=3,

PH-m2+2m+3.

-----=------------------=3,

OHm

解得"士巫，色=土姮（舍去）,

22

"-1+V13-3

.・・满足条件的点尸坐标为

-2L

25.如图1,梯形48cD中，AD//BC,N/=90。，AD=2,AB=4,BC=5,M在边CO上，连接期，

BMLCD.

图1图2蔷用图

⑴求CD的长；

⑵如图2,作NEA"=90。,ME交AB于点、E,MF交BC于点、F,若4E=x,BF=y,求y关于x的函数

解析式，并写出定义域;

⑶在(2)的条件下，若△MC厂是等腰三角形，求NE的值.

【答案】⑴8=5

3

(2)y=~x+2(0<x<4)

2

⑶/E=0或］或8

【详解】(1)解：过点。作。于点尸，

••・AD〃BC,44=90。，

/ABC=90°,

DPVBC,

ZDPB=90°,

•・•四边形/鳍。为矩形，

BP=AD=2,DP=AB=