2024-2025学年人教A版高一数学同步训练：指数

4.1指数

目录

【题型归纳］....................................................................2

题型一：由根式的意义求范围......................................................2

题型二：利用根式的性质化简或求值................................................3

题型三：有限制条件的根式的化简..................................................4

题型四：根式与指数塞的互化......................................................4

题型五：利用分数指数塞的运算性质化简求值........................................6

题型六：整体代换法求分数指数幕..................................................7

【重难点集训】..................................................................9

【高考真题】...................................................................15

【题型归纳】

题型一：由根式的意义求范围

1.（2024・高一•全国•课后作业）若近71+0-1）°（工€电">1）有意义，则x的取值范围是（

A.且xwlB.C.xwlD.xGR

【答案】A

,fX+1...0,

【解析】直接根据开偶次方根，被开方数大于等于0,0的0次累无意义.要使原式有意义，则I；解

得工...T且xW1.

故选：A.

3

2.（2024・高一•全国•课后作业）若（3-2xp有意义，则实数%的取值范围是

36+00

A.(-oo,+co)B.—00,—

2

3

D.—,4-00

2

【答案】C

_31

【解析】要使（无尸需使3-2x>0,解得x<1,表示为区间形式即1-s怖

3-2而7?有意义

故选C.

3.（2024・高1•全国•课后作业）若（|刈-1廿有意义，则x的取值范围是（）

A.{x|x>l}B.{x\x<-l}C.{x\x^l}D.{x|x<—l或x>l}

【答案】D

【解析】因为（国一1二=岛=，要使（R_1）T有意义，

需满足|刘-1〉0,即x<-l或％〉1,

即或x〉l}.

故选：D.

1

4.（2024・高一•全国•课后作业）若（国-1户有意义，则x的取值范围是（）

A.{x|x>l}B.{x|x<-ljC.{小41}D.{X|X<-1B£X>1}

【答案】D

_1_1

【解析】因为（忖-1户=,要使（国-1户有意义，需满足国-1>0，即x<-l或x>l.

故选：D.

3

5.（2024・高一•全国•课后作业）若（1—2xp有意义，则了的取值范围是（）

八111

A.xeRB.x^-C.x<—D.x<—

222

【答案】D

【解析】因为0-2x）4=.「2X）3,所以l-2x>0即

故选：D.

题型二：利用根式的性质化简或求值

6.（2024・高一・江苏南京・竞赛）a=710-476,=710+476>求.

【答案】276

【解析】法一：因为J10_4&=J（&-2f=&-2,V10+4V6=7（76+2^=76+2>所以0+6=2几.

法二：a+b=^a+b）2=^10-476+10+476+2^/102-（4>/6）2=724=276-

故答案为：2而

7.（2024・高一・北京顺义・开学考试）设x<0,y<0,则入口-工舟+扃T化简为_____.

Vxy

【答案】-Xy[xy

【解析】由于x<0,J<0,所以

x.---y[x^+y[Ty=-]—x—（-j）X=^J~^y-\T^y-=

Yx>\xy

故答案为：-八母

8.（2024・高一•四川•开学考试）化简：J1>0）=.

【答案】3盯〃7

【解析】由二次根式的定义可知：18-/20,因为％>0,所以>20,

故答案为：3盯WV

9.（2024・高一・上海•期中）当x<0时，式子国+正+2行的值是.

【答案】0

【解析】因为x<0,4X，+2v^3=—x+卜|+2x——x-x+2x—0.

故答案为：0.

题型三：有限制条件的根式的化简

10.(2024・高一•上海黄浦•期中)当时，化简.

【答案】b-a

【解析】根据的正负，结合"("by=卜-6|得到结果.因为"(a-b)2=卜-6|,且”-6<0,

所以J(a-6)2-\a-b\=b-a，

故答案为：b-a.

11.(2024・高一•全国•专题练习)化简仅-⑹4仙+02。2。的结果为

【答案】V3+2/2+V3

[解析](2-V3)2019(V3+2)202°=[(2-^3)(^3+^]2019(73+：=△+2.

故答案为：V3+2.

12.(2024・高一・四川宜宾•阶段练习)化简的结果是.

【答案】2V3

【解析】一6『+j(6+ij=I一占卜G+i=和-i+4+1=2

故答案为：2g.

题型四：根式与指数第的互化

13.(2024・高一・江苏•专题练习)将下列根式化为分数指数幕的形式：

,(a>0);

1

⑵而叼；

____2

⑶1,(6>0).

【解析】(1)原式=4

111=_]_」

(2)原式"

J

(3)原式=L3=b34[3)=b9-

14.（2024・高一・江苏•专题练习）用分数指数幕表示下列各式:

⑵八十痂（。>0/>0）.

15.（2024・高一•江苏•专题练习）把下列根式化成分数指数幕的形式，其中a>0,6>0.

（i）V7；

1

⑵疗；

Va

⑶后

（4）］（-a），-

【解析】⑴"

1-2

（2）I——=。3；

（3）禺=/=白=/%了;

Va

“），（-a.=cP=〃，.

16.用分数指数幕的形式表示下列各式（〃〉0）：

（l）a-yja;

⑵力立；

（3）,孤.

114

【解析】（）i+；

1Cai.\^C4,—-La-t,Cal3—-Lat3—-Cat3

_33H

（2）a2=a1-=a=a4

i1

------C1^2f1V，x」-

（3）yja-yfa=\a-a=/=6p=^>.

7

题型五：利用分数指数塞的运算性质化简求值

(211115

17.（2024・高一•全国•课后作业）（1）化简:2a3b-6a2b3-3a6b6(a>0,b>0)；

0

12

（2）求值:2-I+2-2X|2--O.O105-

54

(211115

【解析】（1）\\-3a6b6

2£_£,+!+$

=2x(-6)x(-3)ar+r«Z,rr«

5

=36°斯,

o

(2)f2-I+2-2X|2-120A

-0.01°5

54

1

io

61015

2

o6

37

18.（2024,IWJ-一全国•课后作业）（1）化简:X+8%也+(疡6)；

8

_2,

5x”万

（2）化简:1

—X6

4

7

/、—,,11=5'求三的值・

(3)已知—

6

i]_(1、6(131

34323

【解析】（1）原式=xl+f2！4x2+2x32=2+2^4+2X3=112；

7\

(2)原式=5x(—4)x=24x°y^=24yz.

(3)因为/+j!_s，

人T人—J

两边同时平方得，%+2+短=25,

整理得，x+x~}=23,

所以上―=x+x~l=23.

x

2J_

5x

/

19.化简:5

,2

八8

【解析】原式=[x2xg2,12111121

x333y2266=16x3y3.

20.（2024・高河南漠河•期末）计算.

1_

-12

/、_178产+园「

(1)(0.0081尸-3x(S。X

8

（2）为元+%36）2+也一4）6一址3-兀丫.

£

2

-13

8a25+口

【解析】(1)(0.008Ip-3xX

(8；

2

(2).-125+[(—36)2+[(兀-4)6一](3—兀丫

=[(一5)[：+(64)1+|兀一4|一(3-兀)

=-5+6+4—兀-3+兀=2.

题型六：整体代换法求分数指数第

21.（多选题）（2024・高一•黑龙江哈尔滨•期中）已知0+成1=4,则（

后+尸=*>B./+尸=14

C./+/3=52D.”二=2百

【答案】ABC

（1，丫11_

22

【解析】A：因为°+<7-=a+a—2=4,所以L“t5+IC〃l一5—_—+、\l斯U，

\7

显然）+/；>0,所以）+/；=&,故正确；

B：因为a?+a"=（a+）—2=16-2=14,故正确；

C：因为。3+〃-3+-1+4-2）=4X13=52,故正确；

2i\2

所以-_/=±也,所以

D：因为4+QTa2-a2+2=4,所以a*1-a2=2,

7

a—a1出+。2=±26，故错误;

故选:ABC.

22.（多选题）（2024・高一・河南漂河•阶段练习）已知「百+.6=3,下列各式中正确的是（）

A.+。-2占=7B.N+产=18

-26

C1

-a^+aD.a275

【答案】ABCD

【解析】A：/6-2a-=9-2=7,故A正确;

373,_2A/3Q-6+6_1_〃2百

B：a+a=3x(7-1)=18,故B正确;

C：a2+a2—y/3+,a"Ji+.2ca22=J3+2=囱,故C正确;

D：

3733石(&_V3

122

a2+-f=-=a2+a2a2+a2+a^-a=3(3-1)=2君

5

a4-a,3

,故D正确;

故选：ABCD.

3x.-3x

23.设Q2X=2,且a〉0.求的值.

ax+a~x

【解析】因为/，=2,且。＞0,

3

3x+n~3x—X

所以a".".a

ax+a~xax+a~x

xx2x-xx,-lx

a+a-\(a-a,Cl+Cl

ax+a~x

1.„-2x

=a—1+(2

a2x

…13

=2-1-1—=一.

22

24.（2024・高一・江苏南通•阶段练习）已知x-x-=2道（尤＞0）,求下列各式的值:

2-2

X-X

(1)

X2+X-2

x+x-1

⑵

X2+x2

【解析】(1)因为X-XT=2G，故1+/=12+2=14,

故X2+1+2=16，而x>0,故x+尤T=4，

故f_h一工-)卜+尸)_2百x4_4A/3

x2+x~2~14-14~~

(2)由(1)可得x+无T=4,故尤+无一+2=6，

,1x+x~l__4_2&

故/+-=逐，故g[一展一3.

X1+X1

【重难点集训】

2]

1•右Q=V^，b=，。=46，贝U()

A.c>a>bB.c>b>aC.b>c>aD.b>a>c

【答案】B

【解析】因为°=痣=2上6=后=3,，c=/=2；，

111

因为基函数V=6在(0,+8)上单调递增，所以Q=2《<3《=b，

(iV5(iV5

又因为3》=33=27<32=25=23|,所以6<c,

由上可知。>6>Q,

故选：B.

2.已知、尺，贝UY—。-2=()

ClLI—J

A.375B.±375C.2175D.±216

【答案】C

iic」丫

【解析】由-a=^5a2—a2=a-l+a'=5,即a+aT=7,

故"-/=(a+々-)(々_0-)=21石.

故选：C

3.估计enj占（e^2.718）的值应在（）

A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间

【答案】C

［解析］因为e.、际/（2.718x3.14）］耳j12.43，

Ve+KVe+7iV2.718+3.14V5.858

且3=®<J12.43<加=4,

所以3<e•7i•J---<4.

Ve+兀

故选：C.

4.若实数6满足等式2。—62=2cr-21b-2T—,则/=（）

2

［［5

A.-B.—C.V2D.4

42v

【答案】A

【解析】由条件知;（2。-1）2+e-2）病5=0,根据非负性可知。=g,6=2,所以/=；,

故选：A.

5.已知正数满足4/6+6加=60+6,则2".（亚广的最小值为（）

A.16B.872C.8D.4

【答案】D

13

【解析】由正数。力满足4a2。+692=6。+6，可得2。6（2。+36）=6。+6,即2。+36=—+-,

2ab

9i7V）3b6a1

则（2a+36）=（2a+3/>）^-+-）=10-H^->10+-----------=］（,

2ab

当且仅当一=一时，即6=2a时，等号成立，所以20+36"

2ab

又由2".（及广=（物“x（向初=（行严3士向4=4,

所以2J（0广的最小值为4.

故选：D.

6.“x=2”是“尤-2=6-4x+4”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由x-2=Jx?-4x+4，得x—2=|x—2,则x»2,

故“x=2”是“x-2=j2-4x+4”的充分不必要条件.

故选：A.

7.下列各式中成立的是（）

m

n

C-也3=(x+yjy/9=A/3

【答案】D

【解析】对于A选项，f-Y=（m-»-,）7=«V7,A选项错误;

对于B选项,NF=3a=33=密片口，B选项错误;

对于C选项，（工+歹尸=4（X+歹）3W#%3+y3,C选项错误;

对于D选项,=3飞=3M，D选项正确.

故选：D.

8.若实数x,y满足4、+*=2（2"+2'）,则2-+2JT的值可以是（）

13

A.-B.1C.-D.

22

【答案】C

【解析】因为4—传+2>）,又4'+4"=（2'+2>2x2，x2",

所以（2*+2呼-2x2*x2>=2（2，+2,'），

设2、+2、=%«>0）,则产一2x2、x2N=2，即2x2、x2卜=/一2%.

2x+2y

因为0<2x2、x2"2.1,

产

BP0</2-2^<-,当且仅当2、=2L即工=>=1时等号成立，

2

解得2</V4,2，T+2>T=；（2，+2，’），所以2，T+2日的取值范围是。，2]

故选：C.

9.（多选题）已知正数°,6满足/+"=2,则（）

A.ab<\B.a+b<2C.46-4石44D.+2^>4

【答案】ABD

【解析】A,因为/+〃=2,a2+b2>2ab,当且仅当。=6=1时等号成立,

所以222仍，即以41,正确；

B,（6/+Z?）2=a2+b2+lab=2+lab<4,当且仅当Q=Z）=1时等号成立，

因为Q〉0,Z?>0,所以〃+正确；

C,（&+〃『=。+6+2娠V2+2=4,当且仅当a=b=l时等号成立，

所以G+所以4G.4折=4向心W16，错误；

D,-+->2.f^>2,当且仅当a=b=l时等号成立，

ab\ab

所以21+232=2：27122万=4'正确.

故选：ABD

10.（多选题）下列根式与分数指数幕的互化中正确的有（）

A・%3=-近（工£0）B.^a4a=a^>0）

_123I~2「-------2工

C.x5.3=«（X〉。,P〉。）D.d（-x[4=-x^（x>0）

【答案】BC

【解析】对选项A：x-=9（xH0）,错误；

1

I------（31

对选项B：^]a4a==a^（a>0y正确；

\7

/—2

3^7§_1£

对选项c：牛=—=X2歹3a>0/>o),正确；

X2

3

对选项D：q(一%3=［人=x^(x>0)

错误；

故选：BC

1L(多选题)已知实数〃满足"+”7=4,下列选项中正确的是（）

A.Q2+Q-2=14B.a-cTx=2百

3_3

「*+。万.

C*+〃5=遥D。i_i=4

+。5

【答案】AC

【解析】丁Q+Q-1=4,「.(q+4T)=4z2+«-2+2=16a2+a~2=14,故选项A正确；

,.，(a-Qi)—(a+cii)-4=4?-4-12,:.a-a—士2/,故选项B错误；

(,、2I_I_

*/+〃亍=a+2+〃T=4+2=6,:.a2+a2=&,故选项C正确；

3_3

3_3<_1V<J

•/非+〃"=+a2=\a2+a2ya+a~x-l)a\+a\=a+ax-\=3，故选项D错误.

故选：AC.

3,-3

12.已知a+/=3,则______.

a+Q

i418「4

【答案】—/2-

77

【解析】因为〃+/=3,

所以(。+/)2=。2+。—2+2=9,即/+。-2=7，

所以/+〃-3_(Q+qT)(/_i+Q_2)_3x6_18.

a2+a-2~a2+a-2-7-7

1Q

故答案为：亍

3

13.已知正数x,y满足2-=8>，则x+-一的最小值为______.

>

【答案】9

331r

【解析】T-3=8V=23V,可得x=3y+3又x>0,y>0,所以x+—=3y+—+322x3jy----1-3=9,

yyvy

当且仅当了=’，即y=l时取得最小值.

故答案为：9

什22122l22

14.右凉+庐=4，x=a+3〃犷尸b+3a^b^9贝U(x+)尸+(%一)尸二------.

【答案】8

122J<JjV

【解析】丁x+y=Q+3Q§川+6+3”凉=+苏，

2

2/1_1_\21_1_2_

.二(x+y)3=dJ+及=”+2?办+63,

2C1J_A221_1_2_

(%-)户=。§_庐=a^-2a3b3+b3,

/22、

所以，原式=2a3+/jJ=2x4=8,

故答案为：8

15.若yjx2+2x+\+y]y2+6y+9=0,贝!](x2023)'=

【答案】-1

【解析】因为\jx2+2x+l+y]y2+6j+9=0，

所以J(x+1)2+J(y+3)2=0,

所以|x+l|+|y+3|=0

所以x=-l,y=-3,

所以(x2023)y=[(-I)2023]-3=(-1)-3=-1.

故答案为：-1.

2

16.(1)计算：(2；1-0.752+6V；

11〃T]

(2)已知/+〃一万=3(a>0)，求值：:

v)a+a+1

2

522?

【解析】(1)^|J'-0.75+6-X^J

3__9_1

2-1616

=1,

(2)

因为1+.=3，所以储+”)2=°+/+2=9,所以a+〃-1=7,

则(a+/)2=/+a-2+2=49,所以/+分=47,

+42+148

所以

Q+Q+1

83-(-曰_1-£|+敢3-兀A+0.027^

17.(1)计算:-V256；

（2）已知〃>0且Ct求T下—列J各式的值:

①a+a1

②/+/•

//

2(33、3=4-49-1+兀-3+@-4=-9+无；

【解析】（1）原式=(2半-(-7)2-1+|3-兀］+

33

2

（2）①因为Q；+QT=3，所以a2+a2=9,即〃+〃一〔+2=9，所以“+〃一1=7;

1、2

②因为4422，所以/

a+a=a+a+2=3+2=5,又因为非+〃4>0+a4

7

18.计算求值:

1

(1)+(3-2A/2)°-心+M应一勿4；

V2-116

-1

⑵若1+x1x+x

2=V6,求值.

x2+x~2—2

4xi3

V2+13—-V2=兀+工=2K+1

【解析】（1）原式=+1-|+71^2=>/2+1+1